Кривая доходности — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 30: Строка 30:
 
:<center><math>dr_0 = \mu(r_0,t)\, dt + \sigma(r_0,t)\, \delta W.</math></center>
 
:<center><math>dr_0 = \mu(r_0,t)\, dt + \sigma(r_0,t)\, \delta W.</math></center>
  
В этом случае стоимость портфеля также будет случайной величиной, и в силу леммы Ито его изменение равно: \begin{eqnarray*} d\Pi &=& \left[\frac{\partial B_1}{\partial t} + \mu(r_0, t)\,\frac{\partial B_1}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2(r_0, t)}{2}\,\frac{\partial^2 B_1}{\partial r_0^2} \right] \, dt + \sigma(r_0,t)\, \frac{\partial B_1}{\partial r_0}\, \delta W\\ &-& \nu \, \left[\frac{\partial B_2}{\partial t} + \mu(r_0, t)\,\frac{\partial B_2}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2(r_0, t)}{2}\,\frac{\partial^2 B_2}{\partial r_0^2} \right] \, dt - \nu \, \sigma(r_0,t)\, \frac{\partial B_2}{\partial r_0}\, \delta W.\\ \end{eqnarray*}
+
В этом случае стоимость портфеля также будет случайной величиной, и в силу леммы Ито его изменение равно:  
 +
 
 +
:<center><math>
 +
\begin{array}{lcl} d\Pi &=& \left[\frac{\partial B_1}{\partial t} + \mu(r_0, t)\,\frac{\partial B_1}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2(r_0, t)}{2}\,\frac{\partial^2 B_1}{\partial r_0^2} \right] \, dt + \sigma(r_0,t)\, \frac{\partial B_1}{\partial r_0}\, \delta W\\ &-& \nu \, \left[\frac{\partial B_2}{\partial t} + \mu(r_0, t)\,\frac{\partial B_2}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2(r_0, t)}{2}\,\frac{\partial^2 B_2}{\partial r_0^2} \right] \, dt - \nu \, \sigma(r_0,t)\, \frac{\partial B_2}{\partial r_0}\, \delta W. \end{array}
 +
</math></center>
  
 
Выберем долю <math>\textstyle \nu</math> таким образом, чтобы изменение портфеля ''не зависело'' от стохастической компоненты <math>\textstyle \delta W</math>:
 
Выберем долю <math>\textstyle \nu</math> таким образом, чтобы изменение портфеля ''не зависело'' от стохастической компоненты <math>\textstyle \delta W</math>:
Строка 36: Строка 40:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial B_1}{\partial r_0} = \nu \cdot \frac{\partial B_2}{\partial r_0}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial B_1}{\partial r_0} = \nu \cdot \frac{\partial B_2}{\partial r_0}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.20)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 45: Строка 49:
 
то это изменение пропорционально краткосрочной процентной ставке.
 
то это изменение пропорционально краткосрочной процентной ставке.
  
Приравняем левые части этого соотношения и уравнения, полученного по лемме Ито, подставив значение для <math>\textstyle \nu</math> ():
+
Приравняем левые части этого соотношения и уравнения, полученного по лемме Ито, подставив значение для <math>\textstyle \nu</math> (8.20):
  
:<center><math>\frac{\displaystyle\frac{\partial B_1}{\partial t} + \mu\,\frac{\partial B_1}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 B_1}{\partial r_0^2} - r_0 \, B_1} {\displaystyle \frac{\partial B_1}{\partial r_0}} \\ \;=\; \frac{\displaystyle\frac{\partial B_2}{\partial t} + \mu\,\frac{\partial B_2}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 B_2}{\partial r_0^2} - r_0 \, B_2} {\displaystyle \frac{\partial B_2}{\partial r_0}}.</math></center>
+
:<center><math>
 +
\frac{\displaystyle\frac{\partial B_1}{\partial t} + \mu\,\frac{\partial B_1}{\partial r_0}  
 +
+ \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 B_1}{\partial r_0^2} - r_0 \, B_1}  
 +
{\displaystyle \frac{\partial B_1}{\partial r_0}}  
 +
\;=\; \frac{\displaystyle\frac{\partial B_2}{\partial t} + \mu\,\frac{\partial B_2}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 B_2}{\partial r_0^2} - r_0 \, B_2} {\displaystyle \frac{\partial B_2}{\partial r_0}}.
 +
</math></center>
  
 
Левая часть выражения зависит от <math>\textstyle t_1</math>, а правая &mdash; от <math>\textstyle t_2</math>. Обе эти даты ''независимы'', поэтому уравнение будет выполняться, если его части равны некоторой функции, которая ''не зависит'' от времени истечения облигации. Её принято выбирать пропорциональной функции <math>\textstyle \sigma</math>, в следующем виде <math>\textstyle \lambda(r_0,t)\,\sigma(r_0,t)</math>. Поэтому окончательно имеем:
 
Левая часть выражения зависит от <math>\textstyle t_1</math>, а правая &mdash; от <math>\textstyle t_2</math>. Обе эти даты ''независимы'', поэтому уравнение будет выполняться, если его части равны некоторой функции, которая ''не зависит'' от времени истечения облигации. Её принято выбирать пропорциональной функции <math>\textstyle \sigma</math>, в следующем виде <math>\textstyle \lambda(r_0,t)\,\sigma(r_0,t)</math>. Поэтому окончательно имеем:
Строка 53: Строка 62:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> { \frac{\;\partial B}{\partial t} + \bigl( \mu- \lambda\,\sigma\bigr)\cdot\frac{\partial B}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 B}{\partial r_0^2} - r_0 \cdot B = 0\; }, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> { \frac{\;\partial B}{\partial t} + \bigl( \mu- \lambda\,\sigma\bigr)\cdot\frac{\partial B}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 B}{\partial r_0^2} - r_0 \cdot B = 0\; }, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.21)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 62: Строка 71:
 
Заметим, что в приведенных выше рассуждениях функция <math>\textstyle B</math>, вообще говоря, могла быть ценой самых разнообразных финансовых инструментов, поведение которых тесно связано с поведением процентной ставки. Например, это может быть колл-опцион на краткосрочную процентную ставку с датой истечения <math>\textstyle t_e</math> и страйковой ценой <math>\textstyle K</math>. Для него начальные условия будут иметь следующий вид: <math>\textstyle B(r_0,t_e,t_e) = \max(r_0(t_e)-K, 0)</math>. В случае с опционами американского типа, кроме этого, необходимо накладывать граничные условия.
 
Заметим, что в приведенных выше рассуждениях функция <math>\textstyle B</math>, вообще говоря, могла быть ценой самых разнообразных финансовых инструментов, поведение которых тесно связано с поведением процентной ставки. Например, это может быть колл-опцион на краткосрочную процентную ставку с датой истечения <math>\textstyle t_e</math> и страйковой ценой <math>\textstyle K</math>. Для него начальные условия будут иметь следующий вид: <math>\textstyle B(r_0,t_e,t_e) = \max(r_0(t_e)-K, 0)</math>. В случае с опционами американского типа, кроме этого, необходимо накладывать граничные условия.
  
Несмотря на "теоретический" характер рассмотрения динамики кривой доходности, мы имеем существенно феноменологическую составляющую в лице неизвестных функций, являющихся коэффициентами в уравнении (). Рассмотрим один из примеров их выбора.
+
Несмотря на "теоретический" характер рассмотрения динамики кривой доходности, мы имеем существенно феноменологическую составляющую в лице неизвестных функций, являющихся коэффициентами в уравнении (8.21). Рассмотрим один из примеров их выбора.
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Известная модель Васичка (Vasicek, 1977) получается, если задать стохастическую динамику для блуждания краткосрочной процентной ставки в виде процесса Орнштейна-Уленбека (стр. \pageref{sol_OU}):
 
<math>\textstyle \bullet</math> Известная модель Васичка (Vasicek, 1977) получается, если задать стохастическую динамику для блуждания краткосрочной процентной ставки в виде процесса Орнштейна-Уленбека (стр. \pageref{sol_OU}):
Строка 72: Строка 81:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial B}{\partial t} + \bigl( \gamma - \beta \cdot r_0 \bigr)\cdot\frac{\partial B}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 B}{\partial r_0^2} - r_0 \cdot B = 0 </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial B}{\partial t} + \bigl( \gamma - \beta \cdot r_0 \bigr)\cdot\frac{\partial B}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 B}{\partial r_0^2} - r_0 \cdot B = 0 </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.22)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 81: Строка 90:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial r}{\partial \tau} - \bigl( \gamma - \beta \cdot r_0 \bigr)\cdot\frac{\partial r}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2\tau}{2}\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial r_0}\right)^2 - \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 r}{\partial r_0^2} + \frac{r - r_0}{\tau} = 0. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial r}{\partial \tau} - \bigl( \gamma - \beta \cdot r_0 \bigr)\cdot\frac{\partial r}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2\tau}{2}\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial r_0}\right)^2 - \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 r}{\partial r_0^2} + \frac{r - r_0}{\tau} = 0. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.23)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
При решении этого уравнения необходимо учитывать "начальное" условие <math>\textstyle r(r_0, 0)=r_0</math>, имеющее смысл равенства процентной ставки её краткосрочному значению, когда до истечения облигации времени уже не осталось. Прямой подстановкой можно проверить, что решением уравнения () является следующее выражение:
+
При решении этого уравнения необходимо учитывать "начальное" условие <math>\textstyle r(r_0, 0)=r_0</math>, имеющее смысл равенства процентной ставки её краткосрочному значению, когда до истечения облигации времени уже не осталось. Прямой подстановкой можно проверить, что решением уравнения (8.23) является следующее выражение:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> r(r_0, \tau)=\frac{1}{\tau}\left[ r_0\cdot b(\tau) + \Bigl(\tau - b(\tau)\Bigr) \cdot r_\infty + \frac{\sigma^2}{4\beta} \cdot b^2(\tau) \right], </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> r(r_0, \tau)=\frac{1}{\tau}\left[ r_0\cdot b(\tau) + \Bigl(\tau - b(\tau)\Bigr) \cdot r_\infty + \frac{\sigma^2}{4\beta} \cdot b^2(\tau) \right], </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.24)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 95: Строка 104:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> b(\tau)= \frac{1}{\beta}\left(1-e^{-\beta\cdot \tau}\right). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> b(\tau)= \frac{1}{\beta}\left(1-e^{-\beta\cdot \tau}\right). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.25)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
При малых <math>\textstyle \tau</math> справедливо приближённое соотношение <math>\textstyle b(\tau)\approx \tau</math>.
 
При малых <math>\textstyle \tau</math> справедливо приближённое соотношение <math>\textstyle b(\tau)\approx \tau</math>.
  
Несложно видеть, что решение () удовлетворяет начальному условию <math>\textstyle r(r_0,0)=r_0</math>, а при <math>\textstyle \tau\to\infty</math> равняется <math>\textstyle r(r_0,\infty)=r_\infty</math>. В данной модели ультрадолгосрочная процентная ставка <math>\textstyle r_\infty</math> не зависит от текущего значения краткосрочной ставки <math>\textstyle r_0</math> и определяется только её стохастическими параметрами <math>\textstyle \sigma</math>, <math>\textstyle \beta</math>, <math>\textstyle \alpha</math> и константой <math>\textstyle \lambda</math>.
+
Несложно видеть, что решение (8.24) удовлетворяет начальному условию <math>\textstyle r(r_0,0)=r_0</math>, а при <math>\textstyle \tau\to\infty</math> равняется <math>\textstyle r(r_0,\infty)=r_\infty</math>. В данной модели ультрадолгосрочная процентная ставка <math>\textstyle r_\infty</math> не зависит от текущего значения краткосрочной ставки <math>\textstyle r_0</math> и определяется только её стохастическими параметрами <math>\textstyle \sigma</math>, <math>\textstyle \beta</math>, <math>\textstyle \alpha</math> и константой <math>\textstyle \lambda</math>.
  
 
----
 
----

Текущая версия на 21:07, 6 марта 2010

Формула Блэка-Шоулза << Оглавление >> Стохастические уравнения

Пусть — это стоимость бескупонной облигации (векселя) в момент времени с датой погашения , т.е. через интервал . Будем считать, что её номинальная стоимость равна единице, и, следовательно, . Бескупонная облигация эквивалентна депозиту с единичной стоимостью в конце. Функция при этом обозначает сумму , которую необходимо разместить на депозите под ставку , чтобы через время его величина равнялась единице.

Процентный доход облигации в момент времени равен:

Функция двух аргументов является ставкой заимствования на срок в момент времени . По мере приближения к дате погашения стоимость облигации возрастает, стремясь к своему номинальному значению, но делает это неравномерно, так как может изменяться и ставка.

В фиксированный момент времени функция , зависящая от времени до истечения , называется кривой доходности (yield curve). Она определяет временную структуру процентных ставок (term structure of interest rates). Если на рынке присутствуют облигации (депозиты) с различными длительностями обращения , то, вычисляя их эффективные доходности, мы получим, вообще говоря, различные значения процентных ставок . Их совокупность и формирует кривую доходности .

Кривая доходности постоянно изменяется . Она может сдвигаться вверх или вниз, когда все ставки изменяются на одну величину, или определённым образом изгибаться. Прогнозирование формы кривой доходности является исключительно важной задачей для всех участников финансовых рынков.

Краткосрочной процентной ставкой (short term rate) называют значение процентной ставки в момент времени с истечением депозита "тут же": . Естественно, мгновенных депозитов не бывает, однако, если аппроксимировать реальные данные для значений некоторой гладкой функцией, то обычно она имеет ненулевое значение в точке . Хорошим аналогом краткосрочных ставок является рынок банковских ночных заимствований для поддержания резервных требований Национального банка.

Рассмотрим пример простой однофакторной модели описания кривой доходности. В ней предполагается, что динамика цен векселя с датой истечения полностью определяется динамикой краткосрочной ставки . Она является единственным фактором, задающим кривую доходности. Напомню, что, если нам известна функция двух аргументов , то фактически известны и форма кривой доходности , где , и её эволюция .

Рассмотрим портфель, состоящий из двух бескупонных облигаций с датами погашения и . Пусть отношение суммы, на которую куплен первый вексель , ко второму равно коэффициенту . При этом второй вексель продан (куплен в короткую). В случае банка можно рассматривать выданный кредит со сроком и полученный депозит на . Суммарный портфель равен:

В рамках однофакторной модели предполагается, что стоимость облигаций зависит от краткосрочной процентной ставки , которая, в свою очередь, подчиняется стохастическому процессу:

В этом случае стоимость портфеля также будет случайной величиной, и в силу леммы Ито его изменение равно:

Выберем долю таким образом, чтобы изменение портфеля не зависело от стохастической компоненты :

(8.20)

Тогда члены, пропорциональные , сократятся, и динамика портфеля окажется полностью детерминированной. Если цена некоторого безрискового актива (в нашем случае портфеля из двух облигаций) гарантированно изменяется на :

то это изменение пропорционально краткосрочной процентной ставке.

Приравняем левые части этого соотношения и уравнения, полученного по лемме Ито, подставив значение для (8.20):

Левая часть выражения зависит от , а правая — от . Обе эти даты независимы, поэтому уравнение будет выполняться, если его части равны некоторой функции, которая не зависит от времени истечения облигации. Её принято выбирать пропорциональной функции , в следующем виде . Поэтому окончательно имеем:

(8.21)

где , , и . Это уравнение определяется двумя функциями — волатильностью процентной ставки и сносом с устранённым риском (risk adjusted drift): . После их задания можно определить зависимость от времени облигации с произвольной датой истечения , а, следовательно, и кривую доходности. Её форма будет полностью определяться одной точкой — текущим значением краткосрочной процентной ставки .

Для решения дифференциального уравнения требуется задание начального условия. В случае с облигацией оно выбирается в следующем виде: , так как в момент истечения стоимость облигации равняется единице.

Заметим, что в приведенных выше рассуждениях функция , вообще говоря, могла быть ценой самых разнообразных финансовых инструментов, поведение которых тесно связано с поведением процентной ставки. Например, это может быть колл-опцион на краткосрочную процентную ставку с датой истечения и страйковой ценой . Для него начальные условия будут иметь следующий вид: . В случае с опционами американского типа, кроме этого, необходимо накладывать граничные условия.

Несмотря на "теоретический" характер рассмотрения динамики кривой доходности, мы имеем существенно феноменологическую составляющую в лице неизвестных функций, являющихся коэффициентами в уравнении (8.21). Рассмотрим один из примеров их выбора.

Известная модель Васичка (Vasicek, 1977) получается, если задать стохастическую динамику для блуждания краткосрочной процентной ставки в виде процесса Орнштейна-Уленбека (стр. \pageref{sol_OU}):

где , , — константы модели. В рамках модели предполагается, что функция также является некоторой константой. В результате уравнение для цены облигации:

(8.22)

зависит от трёх параметров модели , , и "начального" условия ( C).

Перейдём к времени , оставшемуся до истечения облигации, и введём процентную ставку , которая ассоциируется с данной облигацией (кривую доходности). Эта кривая определяется единственным фактором — краткосрочной процентной ставкой. В результате:

(8.23)

При решении этого уравнения необходимо учитывать "начальное" условие , имеющее смысл равенства процентной ставки её краткосрочному значению, когда до истечения облигации времени уже не осталось. Прямой подстановкой можно проверить, что решением уравнения (8.23) является следующее выражение:

(8.24)

где введены обозначения и:

(8.25)

При малых справедливо приближённое соотношение .

Несложно видеть, что решение (8.24) удовлетворяет начальному условию , а при равняется . В данной модели ультрадолгосрочная процентная ставка не зависит от текущего значения краткосрочной ставки и определяется только её стохастическими параметрами , , и константой .


Формула Блэка-Шоулза << Оглавление >> Стохастические уравнения

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения