Электродинамике, рассмотренной в четвертой главе, можно придать элегантный вид при помощи ковариантных обозначений. Напомним, что 4-вектор потенциала определён таким образом, что его нулевая компонента является скалярным потенциалом , а пространственные — компонентами векторного потенциала (стр.\,\pageref{transf_poten}). Кроме этого мы определили 4-вектор тока :
где — плотность заряда, а — плотность тока зарядов, движущихся со скоростью . Пространственные компоненты 4-ковектора имеют обратный знак по сравнению с 4-вектором: . Событие в пространстве-времени также является 4-вектором . Для операции взятия частной производной по было введено обозначение:
Определим антисимметричный тензор второго ранга:
|
(EQN)
|
Компоненты этого тензора выражаются через напряжённости электрического () и магнитного () полей. Так:
где минус появился, так как . Напомним, что когда пишется проекция 3-вектора не с индексом (), а с именем оси , подразумевается, что это контравариантная компонента 4-вектора (). Аналогично находятся , или . Остальные компоненты связаны с магнитным полем:
В результате . Подъём индексов осуществляется при помощи метрического тензора. Для компонент с нулевым индексом происходит смена знака (по повторяющимся индексам сумма от 0 до 3):
Компоненты без нулевого индекса знак не меняют:
Напомним, что , см. стр.\pageref{metr_tens_g}.
Таким образом, с учётом антисимметричности , получаем:
В 4-мерном пространстве любой антисимметричный тензор имеет 6 независимых компонент, которые можно представить в виде проекций двух 3-мерных векторов. Условно это записывается так (см. стр.\,\pageref{anti_sym_ten_sec}):
При помощи антисимметричного тензора Леви-Чевиты (стр.\,\pageref{Levi_Chev}), определим ещё один антисимметричный тензор второго ранга, который будем помечать звёздочкой (это не комплексное сопряжение!):
|
(EQN)
|
Расписывая сумму по и несложно (\,H) найти его компоненты:
Аналогично тензорам и можно записать:
Поля поменялись местами, поэтому называют дуальным к .
Введём единичный () 4-вектор. Пусть в данной системе отсчёта он имеет компоненты . При помощи преобразований Лоренца можно найти его компоненты в произвольной инерциальной системе отсчета (они будут зависеть от скорости этой системы относительно ). Вектор и тензоры напряженности , позволяют определить 4-векторы напряженности электрического и магнитного поля:
Они ортогональны вектору , т.е. , а в системе их компоненты равны и . При помощи этих 4-векторов можно, в свою очередь, выразить тензор напряженности:
что проверяется расписыванием его компонент в системе . В электродинамике сплошных сред вектор имеет смысл макроскопической скорости среды. Подробнее мы рассмотрим это в главе .
При помощи введенных обозначений 4 уравнения Максвелла можно записать в виде двух явно ковариантных уравнений (имеющих одинаковый вид во всех инерциальных системах):
|
(EQN)
|
Распишем в первом уравнении сумму по индексу , положив :
Также (\,H) записываем для и т.д. В результате, получается пара уравнений Максвелла с источниками:
Аналогично (\,H) второе ковариантное уравнение (), приводит к уравнениям Максвелла без источников:
Естественно, уравнения Максвелла в векторной форме также являются ковариантными. В них можно подставить преобразования для напряженностей полей, плотностей зарядов-токов и преобразования Лоренца для времени и координат. В результате, в произвольной ("штрихованной") инерциальной системе, двигающейся относительно исходной со скоростью , получатся такие же уравнения, но со штрихами. Тем не менее, уравнения Максвелла () нагляднее демонстрируют такую ковариантность, так как в силу своего тензорного характера, по определению, имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта.
Из первого ковариантного уравнения Максвелла следует уравнение непрерывности для зарядов. Действительно, возьмём от него производную по :
Это соотношение равно нулю, так как вторая производная симметрична (перестановочна) , а тензор антисимметричен , поэтому их свёртка равна нулю (см. стр.\,\pageref{m_antisym_sym}):
Таким образом, "самостоятельный" закон сохранения заряда "заложен" в уравнения Максвелла и непосредственно связан с их линейностью и антисимметричностью тензора .
Второе ковариантное уравнение Максвелла () без источников может быть переписано в эквивалентном виде для тензора электромагнитного поля без звёздочки:
|
(EQN)
|
Заметим, что индексы слагаемых в этом уравнении циклически переставляются: . Уравнение () несложно получить (\,H) непосредственно из определения тензора . Чтобы получить () из необходимо (\,H) последнее свернуть с и воспользоваться тождеством (см. стр.\,\pageref{math_varepsilon_0123}):
|
(EQN)
|
где — антисимметричный по парам индексов тензор.
Уравнению движения пробного заряда во внешнем электромагнитном поле также можно придать явно ковариантный вид:
|
(EQN)
|
где — 4-вектор скорости. Действительно, вдоль траектории частицы интервал равен . Поэтому для уравнение () имеет вид:
так как для 4-ковектора компоненты равны , а . Полученное уравнение является производной кинетической энергии по времени. Эта производная равна скалярному произведению силы Лоренца на скорость частицы:
Аналогично, если , то , поэтому:
и т.д., что приводит к силе Лоренца (стр.\pageref{E_B_main}). В четвертой главе мы получили силу Лоренца при помощи преобразований Лоренца для силы. Понятно, что она будет иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта, что явным образом и демонстрирует ковариантное уравнение (). В качестве упражнения (\,H) предлагается решить уравнения движения заряда в постоянном электрическом поле для 4-скорости , как функции собственного времени заряда (интервала ).
Опишем в ковариантных обозначениях заряд, который равномерно движется со скоростью . Потенциал поля такого заряда можно записать в следующем виде (см. стр. \pageref{poten_Lien_Vih}):
|
(EQN)
|
где сделана подстановка так как в общем случае начало координат не совпадает с положением заряда (см. стр.\,\pageref{sec_macswell_eqs}). Кроме этого введен параметр для регуляризации сингулярности, возникающей при обращении знаменателя в ноль при .
Выражение для потенциала можно существенно упростить, если ввести следующий 4-вектор:
|
(EQN)
|
или в безиндексной форме:
где и (не путаем 3-скорость и пространственные компоненты 4-скорости ). Так как , несложно видеть, что этот вектор ортогонален 4-скорости:
а его квадрат равен:
Перепишем теперь выражение в знаменателе 4-потенциала следующим образом:
Это равенство проверяется прямым раскрытием квадратов в левой и правой частях. Заметим, что и , поэтому это выражение равно . Таким образом 4-потенциал точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью равен:
|
(EQN)
|
Проделанное выше преобразование знаменателя явным образом демонстрирует, что квадрат всегда отрицателен, поэтому выражение под корнем остаётся положительным и в пределе .
Найдём теперь тензор напряженности электромагнитного поля точечного заряда. Для этого возьмём частную производную по от :
или
|
(EQN)
|
При помощи этого соотношения не составляет труда найти производную 4-потенциала ():
Обратим внимание, что 4-потенциал удовлетворяет калибровке Лоренца . Это и понятно. В системе отсчёта где заряд покоится, потенциал не зависит от времени, а (закон Кулона). Поэтому калибровка Лоренца выполняется автоматически. В силу своей ковариантности она будет иметь одинаковое значение (ноль) и в любой другой инерциальной системе отсчёта. Соответственно, по определению тензора электромагнитного поля , имеем:
|
(EQN)
|
Найдём также регуляризованную плотность 4-тока для точечного заряда. Используя
|
(EQN)
|
и первое ковариантное уравнение Максвелла ():
после несложных вычислений (\,H), имеем:
|
(EQN)
|
В силу () и ортогональности , автоматически выполняется уравнение непрерывности . При стремлении параметра к нулю, плотность тока становится пропорциональной сингулярной -функции Дирака:
(см. аналогичный предельный переход при обсуждении неподвижного точечного заряда на стр.\pageref{em_delta_function_Dirac}).
После того, как основные величины определены как 4-векторы или тензоры, несложно записать их преобразования при смене системы отсчёта. Так, 4-потенциал и 4-ток являются 4-векторами, поэтому они преобразуются так же, как и компоненты 4-вектора . Например, для потенциалов имеем:
где и . Обратим внимание, что в правой и левой части преобразований стоят функции координат и времени, которые соответствуют "своей" системе отсчёта: , , и аналогично для функций и .
Преобразование для плотности заряда запишем в виде одного соотношения, так как между временной и пространственной частями 4-тока существует связь: , где — скорость зарядов в точке, где измеряется их плотность :
Не стоит забывать, что скорость , как и плотность , является функцией координат и времени .
Ковариантное выражение без индексов является инвариантом. Оно имеет одинаковое значение во всех системах отсчёта. Построение соответствующих выражений позволяет легко получать различные инварианты физических величин. Так, вычислим свертку тензоров электромагнитного поля:
где многоточием обозначены такие же слагаемые с переставленными индексами. Так как и — антисимметричны, одновременная перестановка индексов ничего не изменит. Подставляя значения компонент, имеем:
|
(EQN)
|
В безиндексном виде этот инвариант можно записать следующим образом: , где , а обозначает суммирование диагональных элементов (след матрицы). Аналогично получается ещё один инвариант при свёртке тензора с дуальным к нему тензором :
|
(EQN)
|
Эти два инварианта были уже найдены ранее (стр.\,\pageref{vB_transf}).
Получим ещё раз преобразования для напряжённостей электромагнитного поля. Величина преобразуется как тензор:
где во второй матрице преобразования переставлены индексы по горизонтали и поставлен знак транспонирования. В результате этих действий порядок индексов становится соответствующим правилу перемножения матриц. Поэтому, опуская индексы, запишем преобразование тензора напряженности электромагнитного поля в матричном виде:
В случае когда оси и выбраны в направлении относительной скорости, матрица преобразований Лоренца выглядит достаточно просто (см. стр.\,\pageref{matrix_Lambda_alpha_beta}):
Поэтому в явном матричном виде преобразование для тензора можно записать следующим образом:
Перемножая матрицы, получаем:
Если относительная скорость двух систем отсчёта направлена не вдоль оси , а в произвольным направлении, то преобразования имеют вид (см. стр.\,\pageref{E_to_Ep}):
где и определены точно также, как и в преобразованиях Лоренца. Эти преобразования можно получить при помощи тензора , если записать общий вид матрицы преобразования при произвольном направлении скорости (стр.\,\pageref{matrix_Lambda_alpha_beta}). Можно также воспользоваться преобразованием для двух 4-векторов , и определением .
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии