Ковариантная формулировка

Материал из synset
Версия от 19:49, 4 апреля 2011; WikiSysop (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Четырёхмерное пространство-время << Оглавление (Глава 2) >> Матричные преобразования


Многие соотношения теории относительности могут быть записаны в элегантном ковариантном виде. Пусть — четвёрка чисел, которые будем называть компонентами 4-вектора (четырёхмерного вектора). Для нумерации этих компонент используются верхние индексы, и их не стоит путать с показателем степени. Будем считать, что для наблюдателей в двух инерциальных системах отсчёта и компоненты вектора и связаны следующим преобразованием:

(EQN)

Нулевая компонента 4-вектора называется временной, а остальные компоненты — пространственными. Их будем обозначать как обычные 3-мерные векторы (3-векторы): . Иногда их обозначают как декартовы проекции , но подразумевается, что это тоже компоненты с верхними индексами.

Несложно видеть, что время и координаты образуют 4-вектор, который обозначается по пространственным компонентам:

а () являются преобразованиями Лоренца стр.\pageref{Lorenz_txy}. Как мы увидим чуть позже, 4-векторы можно определить для самых разнообразных физических величин.

По аналогии с векторными преобразованиями Лоренца (), стр. \pageref{lorenz_vec0} можно записать более общее преобразование для 4-вектора:

(EQN)

Обратное преобразование получается заменой .

Кроме 4-векторов определим также четвёрки величин с нижними индексам , которые будем называть компонентами ковектора. Будем считать, что компоненты ковектора связаны с компонентами вектора следующим образом:

Другими словами временные компоненты 4-векторов и 4-ковекторов совпадают, а пространственные — имеют обратный знак. Компоненты 4-вектора с верхними индексами называются контравариантными, а с нижними — ковариантными. \index{ковариантные компоненты}

Ковектор вводится, чтобы определить число, которое будет инвариантным (одинаковым) в различных инерциальных системах отсчёта:

Этот инвариант мы обозначили как , где двойка является степенью (квадратом), а не индексом. Чтобы не путаться с индексами компонент вектора, сам 4-вектор мы будем записывать в прямом, а не наклонном шрифте (подобным образом для 3-векторов используется жирный шрифт). По повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается суммирование от 0 до 3 и знак не ставится.

Проверим инвариантность величины . Для этого запишем её в системе для штрихованных величин и, подставив преобразование (), найдём значение в системе . Опуская компоненты , , которые остаются неизменными, получаем:

Для 4-вектора инвариантом является выражение: Уравнение описывает распространение сферической волны в результате вспышки света в начале систем координат. Этот световой фронт имеет сферическую форму с точки зрения каждого из наблюдателей.

Определим скалярное произведение двух 4-векторов и :

(EQN)

Точка произведения может не ставиться, т.е. . Аналогично соотношению , несложно проверить, что скалярное преобразование также является инвариантом: . Инвариант будем называть квадратом 4-вектора. Квадрат 4-вектора можно также записать следующим образом: .

Квадрат 3-вектора и скалярное произведение двух 3-векторов не зависят от ориентации системы координат. Поэтому они являются инвариантами поворотов декартовой системы в 3-мерном пространстве. Как мы видели в предыдущем разделе, преобразования Лоренца () можно интерпретировать как повороты в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве-времени, расстоянием в котором служит интервал:

Квадрат 4-вектора, скалярное произведение двух 4-векторов и расстояние являются геометрическими объектами 4-мерного пространства, которые не зависят от ориентации осей координат (системы отсчёта).

Определим матрицу метрического тензора, которую будем записывать при помощи как двух нижних, так и двух верхних индексов:

(EQN)

Так как отличные от нуля элементы стоят только на диагонали, возможно второе обозначение, которое стоит сравнить с понятием сигнатура.

Будем считать, что метрический тензор выглядит одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчёта в которых используются декартовы координаты . Не сложно проверить, что:

Для этого необходимо расписать в явном виде суммационное правило для повторяющих индексов (один внизу, другой вверху). Например:

где учтено, что недиагональные элементы метрического тензора равны нулю, а .

Название метрический тензор происходит от того, что при помощи можно записать квадрат расстояния (метрику) в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве:

Аналогично, он определяет скалярное произведение двух 4-векторов:

Свёртка тензоров и даёт символ Кронекера:

(EQN)

который равен нулю если индексы и различны, и единице, если они совпадают. Это же выражение можно записать как умножение двух матриц (), в результате которого получается единичная матрица.

Введение метрического тензора может показаться избыточным, однако в пространствах обладающих кривизной или в произвольных криволинейных (недекартовых) координатах коэффициенты зависят от координат и могут быть недиагональным. В этом случае метрический тензор оказывается ключевым объектом при описании геометрии пространства.

По аналогии с обычным векторным анализом в 4-мерном пространстве можно ввести базис при помощи четырёх 4-векторов , , , . Индексы — это номера векторов, а не их компоненты (обращаем внимание на прямой шрифт). Кроме этого введём ещё четыре вектора , , , , которые будем называть взаимным базисом. Скалярные произведения базисных 4-векторов, по определению равны:

(EQN)

4-вектор можно разложить по исходному или взаимному к нему базису:

В первом случае коэффициенты разложения являются компонентами 4-вектора (контравариантными компонентами), а во втором - компонентами ковектора (ковариантными компонентами). Точнее говорить, что один и тот же 4-вектор может быть разложен по двум различным базисам ("исходному" и взаимному к нему ), в результате чего и возникают компоненты с верхними и нижними индексами.

Напомним, что и в 3-мерном пространстве вектор может быть разложен по базисным векторам . При этом важно понимать, что вектор — это геометрический объект ("направленная стрелка"). Он не зависит от выбора координатных осей, хотя его компоненты (проекции) на декартовы оси естественно меняются при повороте системы координат.

Такая же ситуация и в 4-мерном пространстве-времени. Любой 4-вектор является физическим объектом. Например, "" — это одно и тоже событие наблюдаемое из любой инерциальной системы отсчёта. Этот 4-вектор можно раскладывать по различным базисам. Базисы могут соответствовать различным инерциальным системам отсчёта. Коэффициенты этих разложений будут обычными числами с верхними или нижними индексами, со штрихами или без.

Скалярное произведение 4-векторов с учётом () может быть расписано следующим образом:

Аналогично расписываются произведения других разложений векторов по базису, например:

Обратим внимание, что для сумм разложения векторов и используются различные индексы, так как это различные суммы.

Рассмотрим несколько примеров 4-векторов. Пусть частица имеет скорость . Интервал между двумя последовательными положениями частицы через бесконечно близкий промежуток времени равен:

Квадратный корень из этого выражения называется собственным временем частицы:

Собственное время является инвариантом преобразований Лоренца. Для каждого наблюдателя промежуток времени и скорость частицы будут разными, но их комбинация в виде собственного времени окажется одинаковой.

Так как 4-координаты преобразуются как 4-вектор, а собственное время (интервал вдоль траектории)— инвариант, то можно определить следующий 4-вектор скорости:

(EQN)

Компоненты 4-вектора скорости преобразуются, как и компоненты любого 4-вектора (). Так, для пространственных компонент имеем:

и для , аналогично . Преобразования нулевых компонент имеют вид:

Исключая при помощи этого соотношения в преобразованиях для пространственных компонент скорости, мы приходим к закону преобразования скорости (), стр. \pageref{speed_add0} относительно двух инерциальных систем отсчёта:

Отметим, что квадрат 4-вектора скорости равен единице:

Это также непосредственно следует из определения 4-вектора скорости и интервала: .

Аналогичным образом можно определить 4-вектор ускорения, как производную от 4-скорости:

Вводя обычное 3-мерное ускорение и беря покомпонентно производную, получаем:

(EQN)

При помощи () можно записать закон преобразования ускорения, хотя это проще сделать прямым дифференцированием векторного преобразования для скорости. Несложно проверить, что скалярное произведение 4-скорости и 4-ускорения равно нулю: . Это соотношение можно также получить дифференцированием по :

где взята производная произведения, и учтено (), что .

При помощи ковариантных обозначений можно единым образом записать соотношения для эффектов Доплера и аберрации. Для этого определим волновой 4-вектор:

где круговая частота ( — обычная частота), — волновой вектор в направлении распространения волны и равный , где — длина волны. Так как , во втором равенстве введен единичный вектор и выражена через . Заметим, что:

Преобразование () для нулевых компонент даёт эффект Допплера:

Это выражение отличается от (), стр. \pageref{dopler_nv} знаком минус в знаменателе. Связано это с различным смыслом единичного вектора . В () это было направление на источник (от наблюдателя), тогда как в записанном выше преобразовании — это направление распространения светового сигнала к наблюдателю. Отсюда и противоположные знаки. Преобразования для пространственных компонент приводят к эффекту аберрации (), стр.\pageref{aber_vec}.


Четырёхмерное пространство-время << Оглавление (Глава 2) >> Матричные преобразования

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии