Ковариантная динамика — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Решения динамических уравнений << ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавл…»)
 
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Любые физические величины могут быть выражены в терминах 4-векторов. Как только подобный 4-вектор записан, при помощи соотношений (), стр. \pageref{lorenz_vecA0}, не составляет труда найти закон преобразования физической величины между двумя инерциальными системами отсчёта.
 +
 +
Так, умножая 4-вектор скорости (), стр. \pageref{u_4vec}, на массу, мы получаем 4-вектор энергии импульса:
 +
 +
:<center><math>p^\alpha = mu^\alpha = m\,\frac{dx^\alpha}{ds} = \left(\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\; \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} \right) = (E, \mathbf{p}),</math></center>
 +
 +
где учтено, что инвариантный интервал вдоль траектории движения частицы равен <math>\textstyle ds=dt\,\sqrt{1-\mathbf{u}^2}</math>, а <math>\textstyle dx^\alpha=(dt,\;d\mathbf{r})</math>. Масса частицы является инвариантом. Её квадрат совпадает с квадратом 4-импульса: \parbox{7cm}{
 +
 +
:<center><math>\mathrm{p}^2 = p^\alpha p_\alpha =E^2-\mathbf{p}^2 = m^2.</math></center>
 +
 +
} \parbox{5cm}{ <center>
 +
 +
<center>[[File:EP_space.png]]</center>
 +
 +
} </center> Это же выражение сразу следует из соотношения для 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{u}^2=1</math>. В 4-мерном импульсном пространстве с осями <math>\textstyle E</math>, <math>\textstyle p_x</math>, <math>\textstyle p_y</math>, <math>\textstyle p_z</math> уравнение <math>\textstyle \mathrm{p}^2 = m^2</math> является гиперболоидом. Для "обычных" частиц <math>\textstyle m^2>0</math>, <math>\textstyle E>0</math>, поэтому энергия и импульс частиц находятся на верхней чаше гиперболоида, которую называют ''массовой поверхностью''. Частицы с нулевой массой лежат на конусе.
 +
 +
Для энергии и импульса можно записать векторное преобразование между двумя системами отсчёта (см. также стр. \pageref{lorenz_EP_vec}):
 +
 +
:<center><math>E'=\gamma (E-\mathbf{v}\mathbf{p}),\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}' = \mathbf{p} - \gamma \mathbf{v} E + \Gamma\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{p}).</math></center>
 +
 +
Масса фотона равна нулю, и в соответствии с формулой Планка можно ввести волновой 4-вектор:
 +
 +
:<center><math>p^\alpha = \hbar k^\alpha,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k^\alpha = (\omega, \mathbf{k}) =(\omega, \omega\mathbf{n}),</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle n</math> &mdash; единичный вектор в направлении распространения фотона, а <math>\textstyle \omega=2\pi\nu</math> &mdash; его круговая частота. При помощи этих соотношений и преобразований энергии - импульса можно снова записать соотношение для эффекта Доплера и аберрации (стр. \pageref{acsel_4vec}).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Для получения 4-вектора силы необходимо продифференцировать 4-импульс по инвариантному интервалу:
 +
 +
:<center><math>f^\alpha = \frac{dp^\alpha}{ds}.</math></center>
 +
 +
Учитывая, что для инвариант <math>\textstyle s</math> (собственное время) вдоль траектории движения частицы равен <math>\textstyle ds=\sqrt{1-\mathbf{u}^2}\,dt</math>, получаем:
 +
 +
:<center><math>f^\alpha = \frac{dp^\alpha/dt}{ \sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = \left(\frac{\mathbf{u}\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\;\frac{\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}\right),</math></center>
 +
 +
где подставлены выражения <math>\textstyle dE/dt=\mathbf{u}\mathbf{F}</math>, <math>\textstyle d\mathbf{p}/dt=\mathbf{F}</math>. Величина <math>\textstyle f^\alpha</math> является 4-вектором [преобразуется в соответствии с соотношениями ()], так как 4-вектором является <math>\textstyle p^\alpha</math>, а <math>\textstyle ds</math> &mdash; инвариант преобразований.
 +
 +
Скалярное произведение 4-силы на 4-импульс равно нулю:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{p}\cdot\mathrm{f}=p_\alpha f^\alpha = p^0 f^0 - \mathbf{p}\mathbf{f} = \frac{E (\mathbf{u}\mathbf{F}) - \mathbf{p}\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = 0,</math></center>
 +
 +
где в последнем равенстве необходимо подставить <math>\textstyle \mathbf{p}=\mathbf{u}\,E</math>. Это соотношение можно также доказать, продифференцировав массу, которая является константой:
 +
 +
:<center><math>0 = \frac{d m^2}{ds} = \frac{d (p^\alpha p_\alpha)}{ds} = \frac{dp^\alpha}{ds}\, p_\alpha + p^\alpha\, \frac{dp_\alpha}{ds} = 2 p_\alpha \,\frac{dp^\alpha}{ds} = 2p_\alpha f^\alpha.</math></center>
 +
 +
Производная квадрата <math>\textstyle p^\alpha p_\alpha</math> вычисляется по правилу производной произведения. Затем учитывается свойство скалярного произведения любых двух векторов: <math>\textstyle A^\alpha B_\alpha=A_\alpha B^\alpha</math> (стр. \pageref{A_cdot_B}). Напомним, что аналогичные рассуждения были проделаны при доказательстве соотношения <math>\textstyle \mathrm{u}\cdot \mathrm{a}=0</math>.
 +
 +
Квадрат 4-силы является инвариантом, поэтому следующая комбинация
 +
 +
:<center><math>\mathrm{f}^2=\frac{(\mathbf{u}\mathbf{F})^2 - \mathbf{F}^2}{1-\mathbf{u}^2} = inv</math></center>
 +
 +
имеет одно и то же значение для всех инерциальных наблюдателей.
 +
 +
Используя определение 4-ускорения <math>\textstyle a^\alpha=du^\alpha/ds</math> (стр. \pageref{acsel_4vec}), выражение для 4-силы можно написать в квазиньютоновском виде
 +
 +
:<center><math>f^\alpha = m \,a^\alpha.</math></center>
 +
 +
Естественно, это соотношение записано для 4-векторов и, конечно, не эквивалентно обычному ньютоновскому закону <math>\textstyle \mathbf{F}=m\mathbf{a}</math> для обычных 3-векторов.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> В ковариантных обозначениях описание реакций взаимодействия частиц становится очень лаконичным и простым. Для двух частиц с 4-импульсами <math>\textstyle \mathrm{p}_1=(E_1, \mathbf{p}_1)</math> и <math>\textstyle \mathrm{p}_2=(E_2, \mathbf{p}_2)</math>, имеющих массы <math>\textstyle m_1</math> и <math>\textstyle m_2</math>, справедливы следующие соотношения:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{p}^2_1=m^2_1,\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{p}^2_2=m^2_2,\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_2=E_1E_2-\mathbf{p}_1\mathbf{p}_2.</math></center>
 +
 +
Всегда, когда встречается квадрат 4-импульса, его можно сразу заменить на квадрат массы частицы. Последнее соотношение является общим определением скалярного произведения 4-векторов. Квадраты 4-векторов или их скалярные произведения являются инвариантами, поэтому могут быть расписаны в любой системе отчёта. Полученное значение численно будет совпадать со значением этого инварианта в любой другой системе. Если построено равенство, связывающее два инварианта, можно записать его левую часть в одной системе координат, а правую &mdash; в другой. В результате получится связь между величинами, измеряемыми наблюдателями в различных системах отсчёта.
 +
 +
Рассмотрим ещё раз реакцию, в которой частица с 4-импульсом <math>\textstyle \mathrm{p}</math> распадается на две частицы с 4-импульсами <math>\textstyle \mathrm{p}_1</math> и <math>\textstyle \mathrm{p}_2</math> (стр. \pageref{sec_reactions}). Закон сохранения энергии и импульса (компонент 4-импульса) в этом случае имеет вид:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{p} = \mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2.</math></center>
 +
 +
Для нулевых компонент 4-векторов это уравнение даёт закон сохранения энергии, а для пространственных &mdash; закон сохранения импульса.
 +
 +
Перенося 4-импульс <math>\textstyle \mathrm{p}_1</math> влево и возводя в квадрат, получаем:
 +
 +
:<center><math>(\mathrm{p}-\mathrm{p}_1)^2=m^2+m_1^2-2\mathrm{p}\cdot\mathrm{p}_1 = m^2_2,</math></center>
 +
 +
где квадрат раскрывается по обычной алгебраической формуле.
 +
 +
Теперь можно расписать это выражение в конкретной системе отсчёта. Наиболее естественно выбрать систему, в которой исходная частица покоится <math>\textstyle \mathrm{p}=(m,\mathbf{0})</math>. В этом случае скалярное произведение равно <math>\textstyle \mathrm{p}\cdot\mathrm{p}_1=mE_1-\mathbf{0}\cdot \mathbf{p_1}=mE_1</math>. Поэтому:
 +
 +
:<center><math>m^2+m^2_1 - 2m E_1 = m^2_2.</math></center>
 +
 +
В результате энергия продукта распада оказывается зависящей от масс распавшихся частиц и массы исходной частицы:
 +
 +
:<center><math>E_1 = \frac{m^2+m^2_1-m^2_2}{2 m}.</math></center>
 +
 +
Абсолютно аналогично находится <math>\textstyle E_2</math>. Для этого в законе сохранения необходимо перенести 4-импульс <math>\textstyle \mathrm{p}_2</math> влево (или поменять местами индексы).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь реакцию ''упругого столкновения'' двух частиц с 4-импульсами <math>\textstyle \mathrm{p}_1</math> и <math>\textstyle \mathrm{p}_2</math>. После столкновения их массы не изменяются, а 4-импульсы становятся равными <math>\textstyle \mathrm{p}'_1</math> и <math>\textstyle \mathrm{p}'_2</math>. Закон сохранения энергии-импульса в этом случае имеет вид:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2=\mathrm{p}'_1+\mathrm{p}'_2.</math></center>
 +
 +
Избавимся от энергии и импульса одной из конечных частиц. Для этого <math>\textstyle \mathrm{p}'_1</math> перенесём влево и всё выражение возведём в квадрат:
 +
 +
:<center><math>(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2-\mathrm{p}'_1)^2 = \mathrm{p}'^2_2.</math></center>
 +
 +
Проведя стандартные алгебраические действия, имеем:
 +
 +
:<center><math>m^2_1 + m^2_2 + m^2_1 + 2\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}_2 - 2\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}'_1 - 2\mathrm{p}_2\cdot\mathrm{p}'_1 = m^2_2.</math></center>
 +
 +
Выберем ''лабораторную систему'' отсчёта, в которой вторая частица неподвижна <math>\textstyle \mathrm{p}_2=(m_2,\mathbf{0})</math>:
 +
 +
:<center><math>m^2_1 = \mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}'_1+\mathrm{p}_2\cdot(\mathrm{p}'_1-\mathrm{p}_1)=E_1 E'_1 - \mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1 + m_2\,(E'_1 - E_1).</math></center>
 +
 +
Теперь несложно выразить угол рассеяния <math>\textstyle \mathbf{p}\mathbf{p}'=pp'\cos\theta</math> через энергию налетающей частицы <math>\textstyle E_1=\sqrt{p^2+m^2_1}</math> и её же энергию после рассеяния <math>\textstyle E'_1=\sqrt{p'^2+m^2_1}</math>.
 +
 +
Для нахождения зависимости импульса <math>\textstyle |\tilde{\mathbf{p}}_1|=|\tilde{\mathbf{p}}_2|=\tilde{p}</math> и угла рассеяния <math>\textstyle \chi</math> в ''системе центра масс'' от энергий частиц в лабораторной системе запишем закон сохранения в виде <math>\textstyle \mathrm{p}'_1-\mathrm{p}_1=\mathrm{p}_2-\mathrm{p}'_2</math> и умножим его на <math>\textstyle \mathrm{p}_2</math>.
 +
 +
:<center><math>\mathrm{p}_2\cdot (\mathrm{p}'_1-\mathrm{p}_1)=\mathrm{p}_2\cdot (\mathrm{p}_2-\mathrm{p}'_2).</math></center>
 +
 +
Это равенство является инвариантом, т.е. имеет одинаковые значения в любой системе отсчёта. Распишем левую часть в лабораторной системе <math>\textstyle \mathrm{p}_2=(m_2,\mathbf{0})</math>, а правую &mdash; в системе центра масс <math>\textstyle \mathrm{p}_2=(\tilde{E}_2, \;\tilde{\mathbf{p}}_2)</math>:
 +
 +
:<center><math>m_2(E'_1-E_1)=m^2_2 - (\tilde{E}_2\tilde{E}'_2-\tilde{\mathbf{p}}_2\tilde{\mathbf{p}}'_2).</math></center>
 +
 +
В системе центра масс энергии частиц и модули импульсов не изменяются:
 +
 +
:<center><math>\tilde{E}_2=\tilde{E}'_2,\;\;\;\;\;\;\;\;|\tilde{\mathbf{p}_1}|=|\tilde{\mathbf{p}}_2|=\tilde{p}.</math></center>
 +
 +
Поэтому, учитывая, что <math>\textstyle \tilde{E}^2_2-\tilde{\mathbf{p}}^2_2=m^2_2</math>, получаем соотношение:
 +
 +
:<center><math>E'_1-E_1 = -\frac{\tilde{p}^2}{m_2}\,(1-\cos\chi),</math></center>
 +
 +
найденное ранее при помощи закона преобразования энергии и импульса между двумя системами отсчёта (стр. \pageref{E1E1p_chi}).
  
  

Версия 17:59, 9 апреля 2011

Решения динамических уравнений << Оглавление (Глава 3) >> Инварианты s, t и u

Любые физические величины могут быть выражены в терминах 4-векторов. Как только подобный 4-вектор записан, при помощи соотношений (), стр. \pageref{lorenz_vecA0}, не составляет труда найти закон преобразования физической величины между двумя инерциальными системами отсчёта.

Так, умножая 4-вектор скорости (), стр. \pageref{u_4vec}, на массу, мы получаем 4-вектор энергии импульса:

где учтено, что инвариантный интервал вдоль траектории движения частицы равен , а . Масса частицы является инвариантом. Её квадрат совпадает с квадратом 4-импульса: \parbox{7cm}{

} \parbox{5cm}{

EP space.png
}

Это же выражение сразу следует из соотношения для 4-скорости . В 4-мерном импульсном пространстве с осями , , , уравнение является гиперболоидом. Для "обычных" частиц , , поэтому энергия и импульс частиц находятся на верхней чаше гиперболоида, которую называют массовой поверхностью. Частицы с нулевой массой лежат на конусе.

Для энергии и импульса можно записать векторное преобразование между двумя системами отсчёта (см. также стр. \pageref{lorenz_EP_vec}):

Масса фотона равна нулю, и в соответствии с формулой Планка можно ввести волновой 4-вектор:

где — единичный вектор в направлении распространения фотона, а — его круговая частота. При помощи этих соотношений и преобразований энергии - импульса можно снова записать соотношение для эффекта Доплера и аберрации (стр. \pageref{acsel_4vec}).

Для получения 4-вектора силы необходимо продифференцировать 4-импульс по инвариантному интервалу:

Учитывая, что для инвариант (собственное время) вдоль траектории движения частицы равен , получаем:

где подставлены выражения , . Величина является 4-вектором [преобразуется в соответствии с соотношениями ()], так как 4-вектором является , а — инвариант преобразований.

Скалярное произведение 4-силы на 4-импульс равно нулю:

где в последнем равенстве необходимо подставить . Это соотношение можно также доказать, продифференцировав массу, которая является константой:

Производная квадрата вычисляется по правилу производной произведения. Затем учитывается свойство скалярного произведения любых двух векторов: (стр. \pageref{A_cdot_B}). Напомним, что аналогичные рассуждения были проделаны при доказательстве соотношения .

Квадрат 4-силы является инвариантом, поэтому следующая комбинация

имеет одно и то же значение для всех инерциальных наблюдателей.

Используя определение 4-ускорения (стр. \pageref{acsel_4vec}), выражение для 4-силы можно написать в квазиньютоновском виде

Естественно, это соотношение записано для 4-векторов и, конечно, не эквивалентно обычному ньютоновскому закону для обычных 3-векторов.

В ковариантных обозначениях описание реакций взаимодействия частиц становится очень лаконичным и простым. Для двух частиц с 4-импульсами и , имеющих массы и , справедливы следующие соотношения:

Всегда, когда встречается квадрат 4-импульса, его можно сразу заменить на квадрат массы частицы. Последнее соотношение является общим определением скалярного произведения 4-векторов. Квадраты 4-векторов или их скалярные произведения являются инвариантами, поэтому могут быть расписаны в любой системе отчёта. Полученное значение численно будет совпадать со значением этого инварианта в любой другой системе. Если построено равенство, связывающее два инварианта, можно записать его левую часть в одной системе координат, а правую — в другой. В результате получится связь между величинами, измеряемыми наблюдателями в различных системах отсчёта.

Рассмотрим ещё раз реакцию, в которой частица с 4-импульсом распадается на две частицы с 4-импульсами и (стр. \pageref{sec_reactions}). Закон сохранения энергии и импульса (компонент 4-импульса) в этом случае имеет вид:

Для нулевых компонент 4-векторов это уравнение даёт закон сохранения энергии, а для пространственных — закон сохранения импульса.

Перенося 4-импульс влево и возводя в квадрат, получаем:

где квадрат раскрывается по обычной алгебраической формуле.

Теперь можно расписать это выражение в конкретной системе отсчёта. Наиболее естественно выбрать систему, в которой исходная частица покоится . В этом случае скалярное произведение равно . Поэтому:

В результате энергия продукта распада оказывается зависящей от масс распавшихся частиц и массы исходной частицы:

Абсолютно аналогично находится . Для этого в законе сохранения необходимо перенести 4-импульс влево (или поменять местами индексы).

Рассмотрим теперь реакцию упругого столкновения двух частиц с 4-импульсами и . После столкновения их массы не изменяются, а 4-импульсы становятся равными и . Закон сохранения энергии-импульса в этом случае имеет вид:

Избавимся от энергии и импульса одной из конечных частиц. Для этого перенесём влево и всё выражение возведём в квадрат:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle (\mathrm {p} _{1}+\mathrm {p} _{2}-\mathrm {p} '_{1})^{2}=\mathrm {p} '_{2}^{2}.}

Проведя стандартные алгебраические действия, имеем:

Выберем лабораторную систему отсчёта, в которой вторая частица неподвижна :

Теперь несложно выразить угол рассеяния через энергию налетающей частицы и её же энергию после рассеяния .

Для нахождения зависимости импульса и угла рассеяния в системе центра масс от энергий частиц в лабораторной системе запишем закон сохранения в виде и умножим его на .

Это равенство является инвариантом, т.е. имеет одинаковые значения в любой системе отсчёта. Распишем левую часть в лабораторной системе , а правую — в системе центра масс :

В системе центра масс энергии частиц и модули импульсов не изменяются:

Поэтому, учитывая, что , получаем соотношение:

найденное ранее при помощи закона преобразования энергии и импульса между двумя системами отсчёта (стр. \pageref{E1E1p_chi}).



Решения динамических уравнений << Оглавление (Глава 3) >> Инварианты s, t и u

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии