Кинетическая энергия — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Мир элементарных частиц]] <<  
+
  | width="40%"|[[Энергия, импульс, сила и масса]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
  | width="40%" align="right"| >> [[Космические полёты]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Распады и столкновения]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
  
 
+
<math>\textstyle \bullet</math> Энергия, необходимая для ускорения частицы до скорости <math>\textstyle u</math>:
<math>\textstyle \bullet</math> Энергия, необходимая для ускорения неподвижной частицы массой <math>\textstyle m</math> до скорости <math>\textstyle u</math>:
 
  
 
:<center><math>T = E-m=\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}-m,</math></center>
 
:<center><math>T = E-m=\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}-m,</math></center>
  
называется ''кинетической''. Именно она приводится при указании параметров ускорителя элементарных частиц. При малых скоростях она стремится к классическому выражению <math>\textstyle T\approx m\mathbf{u}^2/2</math>. Однако в ускорительной технике обычно наблюдается обратная ситуация, и кинетическая энергия очень велика по сравнению с массой частицы <math>\textstyle T\gg m</math>. В этом случае она приближённо равна полной энергии <math>\textstyle T\approx E</math>. Например, большой адронный коллайдер LHC в ЦЕРНЕ ускоряет протоны <math>\textstyle m_p\approx 0.9</math> ГэВ до кинетических энергий <math>\textstyle T\sim 7000</math> ГэВ. Понятно, что в этом случае полная и кинетическая энергии практически совпадают.
+
называется ''кинетической''. Именно она приводится при указании параметров ускорителя элементарных частиц. При малых скоростях она стремится к классическому выражению <math>\textstyle T\approx m\mathbf{u}^2/2</math>. Если же <math>\textstyle T\gg m</math>, то кинетическая энергия приближённо равна полной энергии (<math>\textstyle T\approx E</math>). Например, большой адронный коллайдер LHC в ЦЕРНЕ ускоряет протоны <math>\textstyle m_p\approx 0.9</math> ГэВ до кинетических энергий <math>\textstyle T\sim 7000</math> ГэВ.
  
Быстро двигающиеся частицы могут столкнуться как с неподвижной мишенью, так и с пучком аналогично ускоренных частиц. В последнем случае существует заметный энергетический выигрыш. Пусть частицы одинаковые, и полная энергия каждого пучка равна <math>\textstyle E=m/\sqrt{1-u^2}</math>. Это означает, что скорости частиц равны <math>\textstyle u^2=1-m^2/E^2</math>. Перейдём в систему отсчёта, которая движется влево со скоростью <math>\textstyle v=-u</math>. В этом случае частицы правого пучка будут неподвижны (второй рисунок):  
+
Быстро движущиеся частицы могут столкнуться как с неподвижной мишенью, так и со встречным пучком ускоренных частиц. В последнем случае существует заметный энергетический выигрыш. Пусть частицы одинаковые и полная энергия каждого пучка равна <math>\textstyle E=m/\sqrt{1-u^2}</math>. Это означает, что скорости частиц равны <math>\textstyle u^2=1-m^2/E^2</math>:  
  
 
<center>[[File:mishen.png]]</center>
 
<center>[[File:mishen.png]]</center>
  
Для вычисления энергии левого пучка воспользуемся преобразованием для энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}, с <math>\textstyle v=-u</math> и формулой <math>\textstyle p=uE</math>:
+
Перейдём в систему отсчёта, которая движется влево (второй рисунок) со скоростью <math>\textstyle v=-u</math>. В этом случае частицы правого пучка будут неподвижны. Для вычисления энергии левого пучка воспользуемся преобразованием для энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}, с <math>\textstyle \mathbf{v}=-\mathbf{u}</math> и формулой <math>\textstyle \mathbf{p}=E\mathbf{u}</math>:
  
:<center><math>E'=\frac{E+\mathbf{u}\mathbf{p}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = \frac{1+u^2}{\sqrt{1-u^2}}\cdot E.</math></center>
+
:<center><math>E'=\frac{E+\mathbf{u}\mathbf{p}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = \frac{1+u^2}{\sqrt{1-u^2}} E.</math></center>
  
 
Подставляя <math>\textstyle u^2=1-m^2/E^2</math> для полных и кинетических энергий, окончательно имеем:
 
Подставляя <math>\textstyle u^2=1-m^2/E^2</math> для полных и кинетических энергий, окончательно имеем:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> E'=\frac{2E}{m}-m,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{T'}{m}=2\,\left(1+\frac{T}{m}\right)^2-2. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> E'=\frac{2E^2}{m}-m,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{T'}{m}=2\,\left(1+\frac{T}{m}\right)^2-2. </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Эти соотношения позволяют сравнить столкновение двух пучков, имеющих энергии <math>\textstyle E</math>, <math>\textstyle T</math>, с рассеиванием на неподвижной мишени одного пучка с энергией <math>\textstyle E'</math>, <math>\textstyle T'</math>.
+
Эти соотношения позволяют сравнить столкновение двух пучков, имеющих энергии <math>\textstyle E</math>, <math>\textstyle T</math>, с рассеиванием на неподвижной мишени одного пучка с энергией <math>\textstyle E'</math>, <math>\textstyle T'</math>. При больших энергиях <math>\textstyle T\gg m</math> имеем <math>\textstyle T' \approx 2T^2/m</math>. Благодаря квадратичной зависимости эквивалент столкновения с неподвижной мишенью растёт очень быстро. Например, для большого адронного коллайдера LHC энергия каждого пучка протонов равна 7 ТэВ (<math>\textstyle 7\cdot 10^{12}</math> эВ), что приводит к такому же результату, как и столкновение с мишенью с энергией 133 ТэВ. Таким образом, получается выигрыш в 19 раз! При малых скоростях (<math>\textstyle T\ll m</math>) кинетическая энергия рассеивания на мишени равна <math>\textstyle T'\approx 4T</math>, т.е. выигрыш при переходе от одного пучка к двум всего лишь четырёхкратный (<math>\textstyle \lessdot</math> C).
 
 
Для классической динамики (<math>\textstyle T\ll m</math>) кинетическая энергия рассеивания на мишени равна <math>\textstyle T'\approx 4T</math>, т.е. выигрыш к переходу от одного пучка к двум четырёхкратный. Другими словами, частицы каждого пучка при столкновении испытывают на себе в четыре раза большую кинетическую энергию, чем если бы они покоились в составе мишени.
 
 
 
Для релятивистских энергий разница между столкновением с мишенью и пучками ещё более разительна. При больших энергиях <math>\textstyle T\gg m</math> имеем <math>\textstyle T' \approx 2T^2/m</math>. Благодаря квадратичной зависимости эквивалент столкновения с неподвижной мишенью растёт очень быстро. Например, для Большого адронного коллайдера LHC энергия каждого пучка протонов равна 7 ТэВ (<math>\textstyle 7\cdot 10^{12}</math> эВ), что приводит такому же результату, как и столкновение с мишенью с энергией 133 ТэВ. Таким образом, выигрыш &mdash; в 19 раз!
 
 
 
Возникает закономерный вопрос, почему вообще существуют ускорители не на встречных пучках. Ответ простой. Большие энергии важны для обнаружения новых частиц, которые, в силу закона сохранения энергии и импульса, просто не могут родиться. Однако, чтобы детально изучить их свойства, необходима большая статистика, т.е. очень большое число событий, в которых они появляются. Вероятность подобных реакций кроме фундаментальных причин, связанных с характером взаимодействия частиц, определяется плотностью сталкивающихся потоков. В пучке частицы заметно более разряжены по сравнению с возможной плотностью неподвижной мишени. Поэтому рассеивание на мишени часто позволяет существенно повысить точность измерений. Кроме этого, мишень может состоять из, например, тяжёлых ядер, ускорять которые существенно сложнее.
 
 
 
Ускорители, кроме кинетической энергии, характеризуются ''светимостью''. Последняя определяется числом частиц, проходящих за единицу времени через единицу поверхности:
 
 
 
:<center><math>L=\frac{N}{\Delta t\cdot S}=\frac{N}{\Delta x\cdot S}\,\frac{\Delta x}{\Delta t}=\rho\,u,</math></center>
 
 
 
где <math>\textstyle \rho</math> &mdash; плотность пучка, а <math>\textstyle u</math> &mdash; его скорость. Светимость выражается в см<math>\textstyle ^{-2}</math> c<math>\textstyle ^{-1}</math>. Чем больше светимость, тем выше вероятность происходящих при столкновениях реакций. Например, Большой адронный коллайдер имеет светимость порядка <math>\textstyle 10^{34}</math> см<math>\textstyle ^{-2}</math> c<math>\textstyle ^{-1}</math>. Протоны в нём летят не сплошным потоком, а разбиты на отдельные ''сгустки'' (т.н. банчи). Сгустки идут на расстоянии нескольких метров. Каждый из них содержит порядка <math>\textstyle 10^{10}</math> протонов. Геометрически сгусток представляет собой "иголку" длиной в десятки сантиметров и толщиной меньше миллиметра.
 
 
 
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим некоторые задачи, возникающие с реальными микрочастицами, когда для объяснения происходящих реакций достаточно законов сохранения энергии и импульса. Ниже в таблице приведены массы некоторых частиц и ядер, выраженных в МэВ (<math>\textstyle 10^6</math> эВ), и среднее время жизни частиц в секундах: ::TABLE DELETED
 
  
Вся энергетика, которую мы в конечном счёте используем, существует благодаря текущей или накопленной солнечной энергии. Она, в свою очередь, обусловлена гравитационными силами, которые сдавливают и разогревают огромный плазменный шар до таких давлений и температур, что начинают идти термоядерные реакции. Прежде всего из двух ядер водорода (протонов) в результате синтеза возникает дейтерий. Эта реакция
+
<math>\textstyle \bullet</math> Вся энергетика, которую мы используем, существует благодаря текущей или накопленной солнечной энергии. Она, в свою очередь, обусловлена гравитационными силами, которые сдавливают и разогревают огромный плазменный шар до таких давлений и температур, что начинают идти термоядерные реакции. В ''реакции синтеза'' (слияния) из двух ядер водорода (протонов см. стр. \pageref{elem_part}) возникает дейтерий <math>\textstyle \,^2\mathrm{D}</math>:
  
:<center><math>p+p\;\mapsto \;^2\mathrm{D}+e^++\nu_e</math></center>
+
:<center><math>p+p\;\mapsto \;^2\mathrm{D}+e^++\nu_e.</math></center>
  
идёт с выделением энергии. Обратим внимание на неудачность термина "выделение энергии". Полная энергия любой реакции, конечно, постоянна и не может выделяться. Речь идёт о разности ''кинетических энергий'' частиц после и до столкновения:
+
Эта реакция идёт с "выделением энергии". Это не очень удачный термин, так как полная энергия любой реакции постоянна. Речь идёт о разности ''кинетических энергий'' частиц после и до столкновения:
  
 
:<center><math>\sum_i(T_i+m_i) = \sum_j(T'_i+m'_j)\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta T = (\sum_i m_i)- (\sum_i m'_i).</math></center>
 
:<center><math>\sum_i(T_i+m_i) = \sum_j(T'_i+m'_j)\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta T = (\sum_i m_i)- (\sum_i m'_i).</math></center>
Строка 54: Строка 39:
 
Для вычисления выделившейся энергии ''движения'' необходимо найти разницу масс частиц до и после соударения. Так, для первой реакции, лежащей в основе термоядерной энергии нашего Солнца, имеем:
 
Для вычисления выделившейся энергии ''движения'' необходимо найти разницу масс частиц до и после соударения. Так, для первой реакции, лежащей в основе термоядерной энергии нашего Солнца, имеем:
  
:<center><math>\Delta T = 2\cdot 938.272 - (1875.613 + 0.511) = 0.42\;МэВ.</math></center>
+
:<center><math>\Delta T = 2\cdot 938.272 - (1875.613 + 0.511) = 0.42\;МэВ,</math></center>
  
Баланс кинетической энергии важен, так как именно энергия движения может быть в дальнейшем потенциально преобразована в другие "полезные" формы энергии (например, электрическую, и в конечном счёте снова в механическую). Поэтому, если реакция идет с выделением кинетической энергии, то для её осуществления необходимо затратить меньше энергии, чем получается на выходе. Естественно, при этом не учитывается коэффициент полезного действия (КПД) установки, осуществляющей подобную реакцию.
+
где массы частиц можно найти на стр. \pageref{mass_elem_part}. Баланс кинетической энергии важен, так как именно энергия движения может быть в дальнейшем потенциально преобразована в другие "полезные" формы энергии (например, электрическую, и в конечном счёте снова в механическую).
  
Протон - протонный синтез идёт очень медленно (малая вероятность реакции) и выделяет немного энергии, почти половина которой уносится слабовзаимодействующим с веществом нейтрино. Позитрон аннигилирует с электроном, а дейтерий, сливаясь с протоном, порождает гелий-3 с уже большим энергетическим выходом. После ещё одной реакции синтеза возникает гелий-4. В результате этих реакций четыре протона и два электрона превращаются в ядро гелия, два нейтрино и шесть фотонов: \begin{flushleft} \parbox{8cm}{  
+
Протон - протонный синтез идёт очень медленно (малая вероятность реакции) и выделяет немного энергии, почти половина которой уносится слабо взаимодействующим с веществом нейтрино. Позитрон аннигилирует с электроном, а дейтерий, сливаясь с протоном, порождает гелий-3 с уже большим энергетическим выходом. После ещё одной реакции синтеза возникает гелий-4. В результате этих реакций четыре протона и два электрона превращаются в ядро гелия, два нейтрино и шесть фотонов: \begin{flushleft} \parbox{8cm}{  
  
 
<center>[[File:solar.png]]</center>
 
<center>[[File:solar.png]]</center>
Строка 66: Строка 51:
 
:<center><math>\left| \begin{array}{lclr} p+p &\mapsto& ^2\mathrm{D}+ e^+ +\nu_e &0.4\;МэВ\\ e^++e^- &\mapsto& 2\gamma & 1.0\;МэВ\\ ^2\mathrm{D}+p &\mapsto& ^3\mathrm{He}+ \gamma & 5.5\;МэВ\\ {^3\mathrm{He}} + {^3\mathrm{He}} &\mapsto& ^4\mathrm{He}+2p &12.9\;МэВ\\ \end{array} \right.</math></center>
 
:<center><math>\left| \begin{array}{lclr} p+p &\mapsto& ^2\mathrm{D}+ e^+ +\nu_e &0.4\;МэВ\\ e^++e^- &\mapsto& 2\gamma & 1.0\;МэВ\\ ^2\mathrm{D}+p &\mapsto& ^3\mathrm{He}+ \gamma & 5.5\;МэВ\\ {^3\mathrm{He}} + {^3\mathrm{He}} &\mapsto& ^4\mathrm{He}+2p &12.9\;МэВ\\ \end{array} \right.</math></center>
  
} \end{flushleft} Выделяемая энергия <math>\textstyle 26.7\,МэВ</math> по сравнению с массой четырех протонов составляет заметную величину 0.7\%. Из-за излучения Солнце ежегодно теряет порядка <math>\textstyle 10^{17}</math> кг, или <math>\textstyle 5\cdot 10^{-14}</math> своей массы. В качестве упражнения предлагается вычислить увеличение кинетических энергий частиц в каждой реакции солнечного цикла и их суммарную энергию.
+
} \end{flushleft} Суммарная энергия <math>\textstyle 26.7\,МэВ</math> по сравнению с массой четырех протонов составляет заметную величину 0.7\%. Из-за излучения Солнце ежегодно теряет порядка <math>\textstyle 10^{17}</math> кг, или <math>\textstyle 5\cdot 10^{-14}</math> своей массы. В качестве упражнения предлагается вычислить увеличение кинетических энергий частиц в каждой реакции солнечного цикла и их суммарную энергию.
 
 
Аналогично, баланс масс определяет минимальную (''пороговую'') энергию, при которой в результате столкновения протонов частиц могут рождаться несколько, возможно, более тяжёлых частиц. Рассмотрим, например, рождение нейтрального <math>\textstyle \pi^0</math> мезона при столкновении двух протонов:
 
 
 
:<center><math>p+p\;\mapsto\;p+p+\pi^0.</math></center>
 
 
 
Если соударение происходит в системе центра масс (встречные пучки), то импульсы финальных частиц могут быть нулевыми, и, если кинетическая энергия каждого пучка протонов равна <math>\textstyle T</math>, то реакция возможна, когда
 
 
 
:<center><math>2T+2m_p > 2m_p+m_\pi\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T>\frac{m_\pi}{2}= 68\;МэВ,</math></center>
 
 
 
или 280 МэВ при столкновении на мишени [см. ()]. В системе центра масс пороговая энергия соответствует ситуации, когда все финальные частицы покоятся, и полная энергия системы равна сумме масс частиц.
 
 
 
Существенно большая пороговая энергия столкновения двух протонов требуется для рождения пары протон-антипротон:
 
 
 
:<center><math>p+p\;\mapsto\;p+p+p+\bar{p},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T>m_p=938\;МэВ.</math></center>
 
 
 
Это в более чем в пять раз меньше, чем энергия 5630 МэВ, требующаяся реакции при столкновении протонов с неподвижной мишенью. Понятно, что открытие новых частиц затруднено энергетическими ограничениями.
 
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Мир элементарных частиц]] <<  
+
  | width="40%"|[[Энергия, импульс, сила и масса]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
  | width="40%" align="right"| >> [[Космические полёты]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Распады и столкновения]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 17:47, 9 апреля 2011

Энергия, импульс, сила и масса << Оглавление (Глава 3) >> Распады и столкновения

Энергия, необходимая для ускорения частицы до скорости :

называется кинетической. Именно она приводится при указании параметров ускорителя элементарных частиц. При малых скоростях она стремится к классическому выражению . Если же , то кинетическая энергия приближённо равна полной энергии (). Например, большой адронный коллайдер LHC в ЦЕРНЕ ускоряет протоны ГэВ до кинетических энергий ГэВ.

Быстро движущиеся частицы могут столкнуться как с неподвижной мишенью, так и со встречным пучком ускоренных частиц. В последнем случае существует заметный энергетический выигрыш. Пусть частицы одинаковые и полная энергия каждого пучка равна . Это означает, что скорости частиц равны :

Mishen.png

Перейдём в систему отсчёта, которая движется влево (второй рисунок) со скоростью . В этом случае частицы правого пучка будут неподвижны. Для вычисления энергии левого пучка воспользуемся преобразованием для энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}, с и формулой :

Подставляя для полных и кинетических энергий, окончательно имеем:

(EQN)

Эти соотношения позволяют сравнить столкновение двух пучков, имеющих энергии , , с рассеиванием на неподвижной мишени одного пучка с энергией , . При больших энергиях имеем . Благодаря квадратичной зависимости эквивалент столкновения с неподвижной мишенью растёт очень быстро. Например, для большого адронного коллайдера LHC энергия каждого пучка протонов равна 7 ТэВ ( эВ), что приводит к такому же результату, как и столкновение с мишенью с энергией 133 ТэВ. Таким образом, получается выигрыш в 19 раз! При малых скоростях () кинетическая энергия рассеивания на мишени равна , т.е. выигрыш при переходе от одного пучка к двум всего лишь четырёхкратный ( C).

Вся энергетика, которую мы используем, существует благодаря текущей или накопленной солнечной энергии. Она, в свою очередь, обусловлена гравитационными силами, которые сдавливают и разогревают огромный плазменный шар до таких давлений и температур, что начинают идти термоядерные реакции. В реакции синтеза (слияния) из двух ядер водорода (протонов см. стр. \pageref{elem_part}) возникает дейтерий :

Эта реакция идёт с "выделением энергии". Это не очень удачный термин, так как полная энергия любой реакции постоянна. Речь идёт о разности кинетических энергий частиц после и до столкновения:

Для вычисления выделившейся энергии движения необходимо найти разницу масс частиц до и после соударения. Так, для первой реакции, лежащей в основе термоядерной энергии нашего Солнца, имеем:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Delta T = 2\cdot 938.272 - (1875.613 + 0.511) = 0.42\;МэВ,}

где массы частиц можно найти на стр. \pageref{mass_elem_part}. Баланс кинетической энергии важен, так как именно энергия движения может быть в дальнейшем потенциально преобразована в другие "полезные" формы энергии (например, электрическую, и в конечном счёте снова в механическую).

Протон - протонный синтез идёт очень медленно (малая вероятность реакции) и выделяет немного энергии, почти половина которой уносится слабо взаимодействующим с веществом нейтрино. Позитрон аннигилирует с электроном, а дейтерий, сливаясь с протоном, порождает гелий-3 с уже большим энергетическим выходом. После ещё одной реакции синтеза возникает гелий-4. В результате этих реакций четыре протона и два электрона превращаются в ядро гелия, два нейтрино и шесть фотонов: \begin{flushleft} \parbox{8cm}{

Solar.png

} \parbox{7cm}{\large

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin{array}»): {\displaystyle \left| \begin{array}{lclr} p+p &\mapsto& ^2\mathrm{D}+ e^+ +\nu_e &0.4\;МэВ\\ e^++e^- &\mapsto& 2\gamma & 1.0\;МэВ\\ ^2\mathrm{D}+p &\mapsto& ^3\mathrm{He}+ \gamma & 5.5\;МэВ\\ {^3\mathrm{He}} + {^3\mathrm{He}} &\mapsto& ^4\mathrm{He}+2p &12.9\;МэВ\\ \end{array} \right.}

} \end{flushleft} Суммарная энергия Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle 26.7\,МэВ} по сравнению с массой четырех протонов составляет заметную величину 0.7\%. Из-за излучения Солнце ежегодно теряет порядка кг, или своей массы. В качестве упражнения предлагается вычислить увеличение кинетических энергий частиц в каждой реакции солнечного цикла и их суммарную энергию.


Энергия, импульс, сила и масса << Оглавление (Глава 3) >> Распады и столкновения

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии