Квадратичный функционал — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:
Строка 35: Строка 34:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{A} = -\frac{2p}{n^2}\,\mathbf{1} + \mathbf{D}^{-1}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{A} = -\frac{2p}{n^2}\,\mathbf{1} + \mathbf{D}^{-1}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.16)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Умножая обе части () на <math>\textstyle \mathbf{D}</math> и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а <math>\textstyle \det \mathbf{D}=1</math>, получаем:
+
Умножая обе части (5.16) на <math>\textstyle \mathbf{D}</math> и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а <math>\textstyle \det \mathbf{D}=1</math>, получаем:
  
 
:<center><math>\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle = \left[\det\left(\mathbf{1}- \frac{2p}{n^2}\,\mathbf{D}\right)\right]^{-1/2}.</math></center>
 
:<center><math>\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle = \left[\det\left(\mathbf{1}- \frac{2p}{n^2}\,\mathbf{D}\right)\right]^{-1/2}.</math></center>
Строка 96: Строка 95:
 
тогда как <math>\textstyle S_t=\varepsilon \,t^{3/2}/\sqrt{3}</math>, где <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math>.
 
тогда как <math>\textstyle S_t=\varepsilon \,t^{3/2}/\sqrt{3}</math>, где <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math>.
  
Зная производящие функции для <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle U_t</math>, можно вычислить некоторые стохастические интегралы по <math>\textstyle \delta W</math>. При помощи интегральной версии леммы Ито (), стр. \pageref{lemma_Ito_int_simple}, в качестве упражнения стоит проверить, что:
+
Зная производящие функции для <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle U_t</math>, можно вычислить некоторые стохастические интегралы по <math>\textstyle \delta W</math>. При помощи [[Интегралы Ито|интегральной версии леммы Ито (5.15)]], в качестве упражнения стоит проверить, что:
  
 
:<center><math>\int\limits^t_0 W^2_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^3_t}{3} - S_t, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int\limits^t_0 W^3_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^4_t}{4} - \frac{3}{2}\,U_t.</math></center>
 
:<center><math>\int\limits^t_0 W^2_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^3_t}{3} - S_t, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int\limits^t_0 W^3_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^4_t}{4} - \frac{3}{2}\,U_t.</math></center>
Строка 128: Строка 127:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{b}\,\mathbf{F}\,\mathbf{b} = k^2t^3 \,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{u})}{n^3} +2 kq\,t^2\,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n^2} +q^2t \,\frac{(\mathbf{z}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{b}\,\mathbf{F}\,\mathbf{b} = k^2t^3 \,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{u})}{n^3} +2 kq\,t^2\,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n^2} +q^2t \,\frac{(\mathbf{z}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.17)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 141: Строка 140:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{D}\cdot\mathbf{F}= \mathbf{D},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{F}\cdot \mathbf{D}= \mathbf{D}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{D}\cdot\mathbf{F}= \mathbf{D},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{F}\cdot \mathbf{D}= \mathbf{D}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.18)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 154: Строка 153:
 
:<center><math>\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}\to \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \int\limits^1_0 x dx = \frac{1}{2}.</math></center>
 
:<center><math>\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}\to \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \int\limits^1_0 x dx = \frac{1}{2}.</math></center>
  
Аналогично определяем <math>\textstyle F(x,y)=F_{xy}=F_{ij}/n</math>. В результате матричные уравнения () превращаются в интегральные:
+
Аналогично определяем <math>\textstyle F(x,y)=F_{xy}=F_{ij}/n</math>. В результате матричные уравнения (5.18) превращаются в интегральные:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 D_{xz}\,F_{zy}\,dz = D_{xy},\;\;\;\;\;\;\;\;\;F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 F_{xz}\,D_{zy}\,dz = D_{xy}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 D_{xz}\,F_{zy}\,dz = D_{xy},\;\;\;\;\;\;\;\;\;F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 F_{xz}\,D_{zy}\,dz = D_{xy}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.19)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Пусть для <math>\textstyle x<y</math> элемент <math>\textstyle F_{xy}</math> равен функции <math>\textstyle F(x,y)</math>. В силу симметрии, если <math>\textstyle x>y</math>, то <math>\textstyle F_{xy}=F(y,x)</math>. Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из (), при <math>\textstyle x<y</math> получаем следующие уравнения:
+
Пусть для <math>\textstyle x<y</math> элемент <math>\textstyle F_{xy}</math> равен функции <math>\textstyle F(x,y)</math>. В силу симметрии, если <math>\textstyle x>y</math>, то <math>\textstyle F_{xy}=F(y,x)</math>. Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из (5.19), при <math>\textstyle x<y</math> получаем следующие уравнения:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zy}\,dz - \lambda x \int\limits^y_x F_{zy}\,dz -\lambda x \int\limits^{1}_y F_{yz}\,dz = x, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zy}\,dz - \lambda x \int\limits^y_x F_{zy}\,dz -\lambda x \int\limits^{1}_y F_{yz}\,dz = x, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.20)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zx}\,dz - \lambda \int\limits^y_x z F_{xz}\,dz -\lambda y \int\limits^{1}_y F_{xz}\,dz = x. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zx}\,dz - \lambda \int\limits^y_x z F_{xz}\,dz -\lambda y \int\limits^{1}_y F_{xz}\,dz = x. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.21)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 177: Строка 176:
 
:<center><math>\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial x^2} + \lambda F_{xy}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial y^2} + \lambda F_{xy}=0,</math></center>
 
:<center><math>\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial x^2} + \lambda F_{xy}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial y^2} + \lambda F_{xy}=0,</math></center>
  
решение которых можно записать в виде: \begin{eqnarray*} F(x,y)&=&[f_1\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_2\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\cos(x\sqrt{\lambda})\\ &+&[f_3\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_4\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\sin(x\sqrt{\lambda}), \end{eqnarray*} где <math>\textstyle f_i</math> &mdash; некоторые константы, зависящие от <math>\textstyle \lambda</math>.
+
решение которых можно записать в виде:  
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{lcl} F(x,y)&=&[f_1\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_2\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\cos(x\sqrt{\lambda})\\ &+&[f_3\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_4\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\sin(x\sqrt{\lambda}), \end{array}  
 +
</math>
 +
</center>
 +
где <math>\textstyle f_i</math> &mdash; некоторые константы, зависящие от <math>\textstyle \lambda</math>.
  
Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например, в первое интегральное уравнение (). Оно обратится в тождество при любых <math>\textstyle x<y</math>, если <math>\textstyle f_1=f_2=0</math>, <math>\textstyle f_3=1/\sqrt{\lambda}</math>, <math>\textstyle f_4=\tg(\sqrt{\lambda})\cdot f_3</math>. Следовательно, выражение для матрицы <math>\textstyle F_{xy}</math> при <math>\textstyle x \leqslant y</math> имеет вид:
+
Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например, в первое интегральное уравнение (5.20). Оно обратится в тождество при любых <math>\textstyle x<y</math>, если <math>\textstyle f_1=f_2=0</math>, <math>\textstyle f_3=1/\sqrt{\lambda}</math>, <math>\textstyle f_4=\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})\cdot f_3</math>. Следовательно, выражение для матрицы <math>\textstyle F_{xy}</math> при <math>\textstyle x \leqslant y</math> имеет вид:
  
:<center><math>F_{xy} = \frac{\sin(x\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}\, \left[ \cos(y\sqrt{\lambda})+\tg(\sqrt{\lambda})\,\sin(y\sqrt{\lambda})\right].</math></center>
+
:<center><math>F_{xy} = \frac{\sin(x\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}\, \left[ \cos(y\sqrt{\lambda})+\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})\,\sin(y\sqrt{\lambda})\right].</math></center>
  
Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты (): \begin{eqnarray*} \frac{'''z'''\,'''F'''\,'''z'''}{n} &=& F_{11} = \frac{\tg(\sqrt{\lambda} )}{\sqrt{\lambda}},\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''z'''}{n^2} &=& \int\limits^1_0 F_{x1}\, dx = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})-1}\right],\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''u'''}{n^3} &=& 2\int\limits^1_0 \int\limits^y_0F_{xy}\, dx\, dy = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{\tg(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right]. \end{eqnarray*} Поэтому окончательно производящая функция равна:
+
Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты (5.17):  
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{lcl} \frac{'''z'''\,'''F'''\,'''z'''}{n} &=& F_{11} = \frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda} )}{\sqrt{\lambda}},\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''z'''}{n^2} &=& \int\limits^1_0 F_{x1}\, dx = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})-1}\right],\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''u'''}{n^3} &=& 2\int\limits^1_0 \int\limits^y_0F_{xy}\, dx\, dy = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right]. \end{array}  
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Поэтому окончательно производящая функция равна:
  
 
:<center><math>\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = \frac{e^{M/2}}{\sqrt{\cos(\sqrt{\lambda})}},</math></center>
 
:<center><math>\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = \frac{e^{M/2}}{\sqrt{\cos(\sqrt{\lambda})}},</math></center>
Строка 189: Строка 201:
 
где <math>\textstyle \lambda=2p\,t^2</math>, и
 
где <math>\textstyle \lambda=2p\,t^2</math>, и
  
:<center><math>M = q^2\,t\cdot\frac{\tg(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}} +\frac{k^2\,t^3}{3}\cdot\frac{3}{\lambda}\left[\frac{\tg(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right] + kq\,t^2\cdot \frac{2}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})}-1 \right].</math></center>
+
:<center><math>M = q^2\,t\cdot\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}} +\frac{k^2\,t^3}{3}\cdot\frac{3}{\lambda}\left[\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right] + kq\,t^2\cdot \frac{2}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})}-1 \right].</math></center>
  
 
Заметим, что, если <math>\textstyle \lambda=0</math>, то
 
Заметим, что, если <math>\textstyle \lambda=0</math>, то
Строка 206: Строка 218:
  
 
Другие соотношения можно найти в разделах <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math> "Стохастического справочника" (стр. \pageref{r_base_int_process}).
 
Другие соотношения можно найти в разделах <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math> "Стохастического справочника" (стр. \pageref{r_base_int_process}).
 +
  
 
----
 
----

Текущая версия на 19:45, 15 марта 2010

Интегралы Ито << Оглавление >> Интегрирование стохастических уравнений

Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:

где мы сразу положили . Введём гауссовы случайные величины:

Их матрица дисперсий имеет единичный определитель . Действительно, вычитая из всех строк первую строку, затем из всех лежащих ниже второй — вторую строку, и т.д., мы приходим к треугольной матрице с единичными элементами. Например, для имеем:

Матрица определяет плотность вероятности величин (, стр. \pageref{n_dim_gauss_distribution_sec}):

Для скалярной случайной величины :

найдём производящую функцию:

где матрица размерности x равна:

(5.16)

Умножая обе части (5.16) на и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а , получаем:

Нам необходимо найти предел этого выражения при .

Для матрицы размерности x с элементами докажем следующее соотношение:

Несложно проверить, что обратная к матрица является ленточной:

Поэтому , где , или

Вычисление определителя по первой колонке даёт следующее рекуррентное уравнение:

Решим его сначала в более общем случае: . Перенося влево и , получим две геометрические прогрессии:

Если , то можно исключить и найти :

В нашем случае и являются корнями уравнения , для которых можно сразу взять ведущий порядок малости по :

Воспользовавшись предельным определением экспоненты, получаем:

что и требовалось доказать.

Таким образом, интегралу от квадрата винеровской траектории

соответствует производящая функция Камерона-Мартина:

и, следовательно, следующие средние значения:

Процесс , как и (стр. \pageref{sec_sqr_W}), в момент времени выражается через скалярную случайную величину , однако, она имеет не гауссово распределение:

тогда как , где .

Зная производящие функции для и , можно вычислить некоторые стохастические интегралы по . При помощи интегральной версии леммы Ито (5.15), в качестве упражнения стоит проверить, что:

Аналогично, при помощи общей интегральной леммы Ито с функцией, зависящей от времени, имеем:

Таким образом, изучив статистические свойства трех базовых процессов , и , мы можем вычислять различные средние для достаточно широкого класса случайных процессов, выражаемых через стохастические интегралы.

Процесс имеет негауссово распределение, однако производящая функция для него была вычислена при помощи -мерного интеграла Гаусса. Для интегралов по времени от , ,... получить подобные простые выражения уже не просто.

Найдём совместную производящую функцию для винеровского процесса и двух интегралов от него по времени:

Переходя к скоррелированным гауссовым величинам , имеем:

Матрица и вектор равны:

где — единичный вектор, а — вектор, у которого отлична от нуля только последняя компонента. Проведя интегрирование, получаем:

где — обратная к матрица. Значение детерминанта нам известно, осталось вычислить показатель экспоненты. Запишем его при помощи векторов и

(5.17)

где мы воспользовались тем, что матрица , как и , симметрична. Первое выражение в круглых скобках равно сумме всех элементов , второе — сумме элементов последней колонки, а третье - элементу в нижнем правом углу матрицы.

Так как матрица является обратной к , справедливы следующие соотношения:

где . Умножая их на , мы приходим к двум матричным уравнениям размерности x:

(5.18)

Нас интересует их решение при больших .

Удобно сразу перейти к пределу , заменив дискретные индексы на вещественные переменные , , изменяющиеся от нуля до единицы. В этом случае матрицы становятся функциями двух переменных, а суммы превращаются в интегралы:

Например, вычисление следа матрицы в дискретном и непрерывном вариантах выглядит следующим образом:

Аналогично определяем . В результате матричные уравнения (5.18) превращаются в интегральные:

(5.19)

Пусть для элемент равен функции . В силу симметрии, если , то . Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из (5.19), при получаем следующие уравнения:

(5.20)
(5.21)

Если взять вторую производную по от первого уравнения и по от второго, получатся два осцилляторных уравнения:

решение которых можно записать в виде:

где — некоторые константы, зависящие от .

Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например, в первое интегральное уравнение (5.20). Оно обратится в тождество при любых , если , , . Следовательно, выражение для матрицы при имеет вид:

Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты (5.17):

Поэтому окончательно производящая функция равна:

где , и

Заметим, что, если , то

соответствует двум скоррелированным гауссовым случайным величинам.

Приведём значение некоторых средних:

Другие соотношения можно найти в разделах , , "Стохастического справочника" (стр. \pageref{r_base_int_process}).



Интегралы Ито << Оглавление >> Интегрирование стохастических уравнений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения