Интегралы Ито — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 10: Строка 10:
 
:<center><math>\int\limits^t_{t_0} f(t) \, dg(t) = \sum^n_{k=1} f_{k-1}\cdot (g_{k}-g_{k-1}).</math></center>
 
:<center><math>\int\limits^t_{t_0} f(t) \, dg(t) = \sum^n_{k=1} f_{k-1}\cdot (g_{k}-g_{k-1}).</math></center>
  
Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса <math>\textstyle \delta W</math>. Для этого рассмотрим <math>\textstyle n</math> бесконечно малых отрезков <math>\textstyle \Delta t</math> (для простоты одинаковой длительности <math>\textstyle \Delta t=t_k-t_{k-1}</math>), содержащихся в конечном интервале <math>\textstyle t</math>. Предполагается, что <math>\textstyle n\cdot \Delta t = t</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math> и <math>\textstyle \Delta t\to 0</math>: \includegraphics{pic/ito_int.eps}\\ Значения винеровского процесса <math>\textstyle W_k=W(t_k)</math> на границах отрезков заданы суммой (), стр. \pageref{int_wiener_process}. Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:
+
Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса <math>\textstyle \delta W</math>. Для этого рассмотрим <math>\textstyle n</math> бесконечно малых отрезков <math>\textstyle \Delta t</math> (для простоты одинаковой длительности <math>\textstyle \Delta t=t_k-t_{k-1}</math>), содержащихся в конечном интервале <math>\textstyle t</math>. Предполагается, что <math>\textstyle n\cdot \Delta t = t</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math> и <math>\textstyle \Delta t\to 0</math>:  
 +
 
 +
<center>[[File:ito_int.png]]</center>
 +
 
 +
Значения винеровского процесса <math>\textstyle W_k=W(t_k)</math> на границах отрезков заданы [[Площадь под траекторией Винера|суммой (5.1)]]. Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 f(\tau, W(\tau))\;\delta W_\tau = \sum^n_{k=1} f\bigl(t_{k-1}, W_{k-1}\bigr)\cdot \bigl[W_k-W_{k-1}\bigr]. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 f(\tau, W(\tau))\;\delta W_\tau = \sum^n_{k=1} f\bigl(t_{k-1}, W_{k-1}\bigr)\cdot \bigl[W_k-W_{k-1}\bigr]. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.8)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 21: Строка 25:
 
Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: <math>\textstyle t_k=k\cdot \Delta t</math>, а подынтегральная функция &mdash; в его ''первой'' точке <math>\textstyle t_{k-1}</math>. Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число <math>\textstyle W_{k-1}</math>, а ''затем'' оно изменяется на величину <math>\textstyle \delta W_k=W_k-W_{k-1}=\varepsilon_k\sqrt{\Delta t}</math>. Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.
 
Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: <math>\textstyle t_k=k\cdot \Delta t</math>, а подынтегральная функция &mdash; в его ''первой'' точке <math>\textstyle t_{k-1}</math>. Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число <math>\textstyle W_{k-1}</math>, а ''затем'' оно изменяется на величину <math>\textstyle \delta W_k=W_k-W_{k-1}=\varepsilon_k\sqrt{\Delta t}</math>. Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Винеровский процесс имеет нулевой снос <math>\textstyle a=0</math> и единичную волатильность <math>\textstyle b=1</math>. Поэтому в силу леммы Ито (), стр. \pageref{process_ito_lemma}, для его квадрата имеем следующее уравнение:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Винеровский процесс имеет нулевой снос <math>\textstyle a=0</math> и единичную волатильность <math>\textstyle b=1</math>. Поэтому в силу [[Лемма Ито|леммы Ито (2.15)]], для его квадрата имеем следующее уравнение:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> d(W_t^2) = dt + 2W_t \delta W_t. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> d(W_t^2) = dt + 2W_t \delta W_t. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.9)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 32: Строка 36:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> 2\int\limits^t_0 W_\tau\delta W_\tau \;=\; W^2_t \;-\; t. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> 2\int\limits^t_0 W_\tau\delta W_\tau \;=\; W^2_t \;-\; t. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.10)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 43: Строка 47:
 
:<center><math>\int\limits^t_0 (\delta W_\tau)^2 = \sum^n_{k=1} \bigl(W_k-W_{k-1}\bigr)^2 = \sum^n_{k=1} \varepsilon_k^2 \cdot \Delta t = u\cdot (n\Delta t) = u\cdot t.</math></center>
 
:<center><math>\int\limits^t_0 (\delta W_\tau)^2 = \sum^n_{k=1} \bigl(W_k-W_{k-1}\bigr)^2 = \sum^n_{k=1} \varepsilon_k^2 \cdot \Delta t = u\cdot (n\Delta t) = u\cdot t.</math></center>
  
Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (), так как "бесконечно малое изменение" <math>\textstyle \delta W=\varepsilon \sqrt{dt}</math> стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору <math>\textstyle \sqrt{dt}</math> этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе <math>\textstyle \S</math>, стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина <math>\textstyle u=(\varepsilon_1^2+...+\varepsilon^2_n)/n</math> при <math>\textstyle n\to \infty</math> имеет нулевую волатильность <math>\textstyle \sigma_u\to 0</math> и, следовательно, ''является детерминированным числом'' со значением, равным <math>\textstyle \overline{u}=1</math>. Фактически плотность вероятности <math>\textstyle P(u)</math> при больших <math>\textstyle n</math> &mdash; это <math>\textstyle \chi^2</math> - распределение (<math>\textstyle \lessdot</math> C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:
+
Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (5.8), так как "бесконечно малое изменение" <math>\textstyle \delta W=\varepsilon \sqrt{dt}</math> стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору <math>\textstyle \sqrt{dt}</math> этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе <math>\textstyle \S</math>, стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина <math>\textstyle u=(\varepsilon_1^2+...+\varepsilon^2_n)/n</math> при <math>\textstyle n\to \infty</math> имеет нулевую волатильность <math>\textstyle \sigma_u\to 0</math> и, следовательно, ''является детерминированным числом'' со значением, равным <math>\textstyle \overline{u}=1</math>. Фактически плотность вероятности <math>\textstyle P(u)</math> при больших <math>\textstyle n</math> &mdash; это <math>\textstyle \chi^2</math> - распределение (<math>\textstyle \lessdot</math> C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 (\delta W_\tau)^2 = t, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 (\delta W_\tau)^2 = t, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.11)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
равен детерминированной величине <math>\textstyle t</math>, и мы приходим к (). Часто () записывают в символическом виде <math>\textstyle (\delta W_t)^2 \sim dt</math>, что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от <math>\textstyle W_\tau (\delta W_\tau)^2</math> не равен интегралу <math>\textstyle W_\tau d\tau</math>.
+
равен детерминированной величине <math>\textstyle t</math>, и мы приходим к (5.10). Часто (5.11) записывают в символическом виде <math>\textstyle (\delta W_t)^2 \sim dt</math>, что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от <math>\textstyle W_\tau (\delta W_\tau)^2</math> не равен интегралу <math>\textstyle W_\tau d\tau</math>.
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:
Строка 56: Строка 60:
 
:<center><math>dx = f(t)\,\delta W\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=x(0) + \int\limits^t_{0} f(\tau) \,\delta W_\tau.</math></center>
 
:<center><math>dx = f(t)\,\delta W\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=x(0) + \int\limits^t_{0} f(\tau) \,\delta W_\tau.</math></center>
  
Мы видели ( () стр. \pageref{ito_only_t_solution}), что оно выражается через гауссову переменную <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math>, поэтому:
+
Мы видели ( (2.18) см.[[Точные решения уравнения Ито]], что оно выражается через гауссову переменную <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math>, поэтому:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_{0} f(\tau) \,\delta W_\tau = \left[ \int\limits^t_{0} f^2(\tau)\,d\tau\right]^{1/2} \cdot \varepsilon. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_{0} f(\tau) \,\delta W_\tau = \left[ \int\limits^t_{0} f^2(\tau)\,d\tau\right]^{1/2} \cdot \varepsilon. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.12)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 71: Строка 75:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\langle I^2_t\right\rangle = \int\limits^t_0 \left\langle f^2(\tau, \varepsilon\sqrt{\tau})\right\rangle \,d\tau. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\langle I^2_t\right\rangle = \int\limits^t_0 \left\langle f^2(\tau, \varepsilon\sqrt{\tau})\right\rangle \,d\tau. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.13)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 79: Строка 83:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \left\langle I_1(t_1) I_2(t_2)\right\rangle = \int\limits^{\min(t_1,t_2)}_{0} \bigr<f_1(\tau, \varepsilon\sqrt{\tau}) f_2(\tau, \varepsilon\sqrt{\tau})\right\rangle \,d\tau. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<center>[[File:ito_int_eq.png]]</center>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.14)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Соотношения ()-() позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.
+
Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:
  
 
:<center><math>\int\limits^t_0 \bigl[\alpha f(\tau, W_\tau) + \beta g(\tau, W_\tau) \bigr] \,\delta W_\tau = \alpha \int\limits^t_0 f(\tau, W_\tau) \,\delta W_\tau + \beta \int\limits^t_0 g(\tau, W_\tau)\,\delta W_\tau,</math></center>
 
:<center><math>\int\limits^t_0 \bigl[\alpha f(\tau, W_\tau) + \beta g(\tau, W_\tau) \bigr] \,\delta W_\tau = \alpha \int\limits^t_0 f(\tau, W_\tau) \,\delta W_\tau + \beta \int\limits^t_0 g(\tau, W_\tau)\,\delta W_\tau,</math></center>
Строка 107: Строка 111:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> F(W_t)-F(0) = \frac{1}{2} \,\int\limits^{t}_{0} F''(W_\tau) d\tau +\int\limits^{t}_{0} F'(W_\tau)\,\delta W_\tau, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> F(W_t)-F(0) = \frac{1}{2} \,\int\limits^{t}_{0} F''(W_\tau) d\tau +\int\limits^{t}_{0} F'(W_\tau)\,\delta W_\tau, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.15)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  

Текущая версия на 19:35, 15 марта 2010

Площадь под траекторией Винера << Оглавление >> Квадратичный функционал

Рассмотрим теперь ещё одну возможность введения случайных интегральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле Римана-Стилтьеса, когда "под дифференциалом" стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:

Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса . Для этого рассмотрим бесконечно малых отрезков (для простоты одинаковой длительности ), содержащихся в конечном интервале . Предполагается, что при и :

Ito int.png

Значения винеровского процесса на границах отрезков заданы суммой (5.1). Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:

(5.8)

В подынтегральной функции может находиться любой стохастический процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией . Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через , но полностью ею определяются.

Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: , а подынтегральная функция — в его первой точке . Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число , а затем оно изменяется на величину . Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.

Винеровский процесс имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому в силу леммы Ито (2.15), для его квадрата имеем следующее уравнение:

(5.9)

Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:

(5.10)

Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:

где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое проще проверить в обратном направлении. При суммировании взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе , мы получаем . Для третьего члена:

Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (5.8), так как "бесконечно малое изменение" стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе , стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина при имеет нулевую волатильность и, следовательно, является детерминированным числом со значением, равным . Фактически плотность вероятности при больших — это - распределение ( C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:

(5.11)

равен детерминированной величине , и мы приходим к (5.10). Часто (5.11) записывают в символическом виде , что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от не равен интегралу .

Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:

Мы видели ( (2.18) см.Точные решения уравнения Ито, что оно выражается через гауссову переменную , поэтому:

(5.12)

Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно убедиться, что для стохастического интеграла

среднее равно нулю , а для среднего квадрата справедливо следующее простое соотношение:

(5.13)

То есть, чтобы вычислить , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по . При усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину , представляя .

Повторив рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно записать среднее для произведения двух процессов и с различными подынтегральными функциями и в различные моменты времени:

Ito int eq.png
(5.14)

Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.

Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:

где и — некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:

Естественно, предполагается, что времена упорядочены .

Воспользуемся теперь леммой Ито для , считая, что — винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.

Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито ():

Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени . Если функция не зависит от времени:

(5.15)

где штрихи — это производные по . Это соотношение можно использовать для интегрирования "по частям". Например, если , имеем:

Подобное сведение интеграла по к интегралу по времени в ряде случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от , взять такой интеграл не проще, чем по .



Площадь под траекторией Винера << Оглавление >> Квадратичный функционал

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения