Интегралы Ито — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 10: Строка 10:
 
:<center><math>\int\limits^t_{t_0} f(t) \, dg(t) = \sum^n_{k=1} f_{k-1}\cdot (g_{k}-g_{k-1}).</math></center>
 
:<center><math>\int\limits^t_{t_0} f(t) \, dg(t) = \sum^n_{k=1} f_{k-1}\cdot (g_{k}-g_{k-1}).</math></center>
  
Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса <math>\textstyle \delta W</math>. Для этого рассмотрим <math>\textstyle n</math> бесконечно малых отрезков <math>\textstyle \Delta t</math> (для простоты одинаковой длительности <math>\textstyle \Delta t=t_k-t_{k-1}</math>), содержащихся в конечном интервале <math>\textstyle t</math>. Предполагается, что <math>\textstyle n\cdot \Delta t = t</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math> и <math>\textstyle \Delta t\to 0</math>: \includegraphics{pic/ito_int.eps}\\ Значения винеровского процесса <math>\textstyle W_k=W(t_k)</math> на границах отрезков заданы суммой (), стр. \pageref{int_wiener_process}. Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:
+
Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса <math>\textstyle \delta W</math>. Для этого рассмотрим <math>\textstyle n</math> бесконечно малых отрезков <math>\textstyle \Delta t</math> (для простоты одинаковой длительности <math>\textstyle \Delta t=t_k-t_{k-1}</math>), содержащихся в конечном интервале <math>\textstyle t</math>. Предполагается, что <math>\textstyle n\cdot \Delta t = t</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math> и <math>\textstyle \Delta t\to 0</math>:  
 +
 
 +
<center>[[File:ito_int.png]]</center>
 +
 
 +
Значения винеровского процесса <math>\textstyle W_k=W(t_k)</math> на границах отрезков заданы суммой (), стр. \pageref{int_wiener_process}. Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  

Версия 19:08, 26 февраля 2010

Площадь под траекторией Винера << Оглавление >> Квадратичный функционал

Рассмотрим теперь ещё одну возможность введения случайных интегральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле Римана-Стилтьеса, когда "под дифференциалом" стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:

Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса . Для этого рассмотрим бесконечно малых отрезков (для простоты одинаковой длительности ), содержащихся в конечном интервале . Предполагается, что при и :

Ito int.png

Значения винеровского процесса на границах отрезков заданы суммой (), стр. \pageref{int_wiener_process}. Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:

(EQN)

В подынтегральной функции может находиться любой стохастический процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией . Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через , но полностью ею определяются.

Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: , а подынтегральная функция — в его первой точке . Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число , а затем оно изменяется на величину . Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.

Винеровский процесс имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому в силу леммы Ито (), стр. \pageref{process_ito_lemma}, для его квадрата имеем следующее уравнение:

(EQN)

Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:

(EQN)

Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:

где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое проще проверить в обратном направлении. При суммировании взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе , мы получаем . Для третьего члена:

Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (), так как "бесконечно малое изменение" стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе , стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина при имеет нулевую волатильность и, следовательно, является детерминированным числом со значением, равным . Фактически плотность вероятности при больших — это - распределение ( C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:

(EQN)

равен детерминированной величине , и мы приходим к (). Часто () записывают в символическом виде , что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от не равен интегралу .

Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:

Мы видели ( () стр. \pageref{ito_only_t_solution}), что оно выражается через гауссову переменную , поэтому:

(EQN)

Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно убедиться, что для стохастического интеграла

среднее равно нулю , а для среднего квадрата справедливо следующее простое соотношение:

(EQN)

То есть, чтобы вычислить , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по . При усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину , представляя .

Повторив рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно записать среднее для произведения двух процессов и с различными подынтегральными функциями и в различные моменты времени:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left\langle I_1(t_1) I_2(t_2)\right\rangle = \int\limits^{\min(t_1,t_2)}_{0} \bigr<f_1(\tau, \varepsilon\sqrt{\tau}) f_2(\tau, \varepsilon\sqrt{\tau})\right\rangle \,d\tau. }
(EQN)

Соотношения ()-() позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.

Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:

где и — некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:

Естественно, предполагается, что времена упорядочены .

Воспользуемся теперь леммой Ито для , считая, что — винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.

Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито ():

Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени . Если функция не зависит от времени:

(EQN)

где штрихи — это производные по . Это соотношение можно использовать для интегрирования "по частям". Например, если , имеем:

Подобное сведение интеграла по к интегралу по времени в ряде случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от , взять такой интеграл не проще, чем по .



Площадь под траекторией Винера << Оглавление >> Квадратичный функционал

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения