Инерциальные системы отсчёта — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Неподвижные наблюдатели << ! width="20%"|Оглавление …») |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
|} | |} | ||
---- | ---- | ||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Перейдём теперь к наблюдателям в ''различных'' инерциальных системах отсчёта. Для простоты будем говорить о двух таких системах, обозначая одну буквой <math>\textstyle S</math>, а вторую <math>\textstyle S'</math>. Нас интересует связь между значениями координаты и момента времени некоторого события, наблюдаемого из каждой системы отсчета. Рассматривая одномерный случай, обозначим координату и время события для наблюдателей в <math>\textstyle S</math> как <math>\textstyle (x,t)</math>, а для наблюдателей в <math>\textstyle S'</math>, соответственно, как <math>\textstyle (x',t')</math>. Связь означает существование некоторой функциональной зависимости: | ||
+ | |||
+ | :<center><math> x'=f(x,t, v),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=g(x,t, v). </math></center> | ||
+ | |||
+ | Заметим, что наличие такой связи является аксиомой теории. Если угодно — аксиомой Познаваемости Мира. Результаты наблюдений, проведенных в различных системах, должны быть между собой как-то связаны. Предполагается, что функции <math>\textstyle f(x,t,v)</math> и <math>\textstyle g(x,t,v)</math> зависят от относительной скорости систем <math>\textstyle v</math>. Вообще говоря, в эту связь могла бы попасть, например, температура каждого из наблюдателей, однако в кинематике мы считаем, что для полного описания некоторого события достаточно измерения его координаты и момента времени, а единственный параметр, отличающий системы, — это их относительная скорость. | ||
+ | |||
+ | Чтобы сравнение результатов измерений имело смысл, наблюдатели разных систем отсчета, как и в одной, должны согласовать свои единицы длины и времени. | ||
+ | |||
+ | Начнем снова с единиц скорости. Представители двух систем отсчета могут договориться считать одинаковой их ''относительную скорость'' <math>\textstyle v</math>. Если оси систем направлены в одну сторону, то для наблюдателя в <math>\textstyle S</math> (см. левый рисунок) скорость системы <math>\textstyle S'</math> будет равна <math>\textstyle v</math>, а для наблюдателя в <math>\textstyle S'</math> скорость <math>\textstyle S</math>, соответственно, — "<math>\textstyle -v</math>" (правый рисунок): | ||
+ | |||
+ | [[File:unit_y.png]] | ||
+ | |||
+ | Подчеркнем, что это не постулат, а именно способ согласования единиц скорости. Хотя в нём неявно заложена идея об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета. | ||
+ | |||
+ | Для согласования единиц длины наблюдатели могут разместить свои линейки перпендикулярно движению (вдоль оси <math>\textstyle y</math>) и совместить их друг с другом. Образно это означает, что наблюдатель, например, системы <math>\textstyle S'</math>, пролетая мимо "забора", расположенного в системе <math>\textstyle S</math>, проводит на нём две линии параллельные оси <math>\textstyle x</math>, высотою в один метр, оставляя тем самым информацию о своей единице длины. Вместо забора можно, конечно, использовать две летящие параллельно оси <math>\textstyle x</math> частицы. Кратчайшее расстояние между их траекториями в обоих системах может быть принято за единичное. | ||
+ | |||
+ | Согласовав перпендикулярные к движению единицы длины, наблюдатели могут считать, что между ними согласованы и любые линейки. Их уверенность основана на ''изотропности'' пространства в каждой системе отсчета и возможности "медленного" поворота линеек без их деформации. | ||
+ | |||
+ | Имея согласованные единицы скорости и длины, наблюдатели тем самым согласовывают и единицы времени. Начало отсчета времени можно привязать к некоторому событию, например, совпадению начал систем <math>\textstyle x=x'=0</math>, считая, что в этот момент <math>\textstyle t=t'=0</math>: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>f(0,0, v)=g(0,0, v) = 0.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Сформулируем теперь важное свойство функций <math>\textstyle f(x,t,v)</math> и <math>\textstyle g(x,t,v)</math>. Если разрешить уравнения () относительно <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle t</math>, мы получим обратную связь (от штрихованных величин к не штрихованным). При этом функции ''должны'' оказаться ''теми же самыми'', а скорость — изменить знак: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>x=f(x',t', -v)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t=g(x',t', -v).</math></center> | ||
+ | |||
+ | Это достаточно сильное требование и оно имеет глубокий смысл. Исходные преобразования () можно интерпретировать с позиции наблюдателя в системе <math>\textstyle S</math>. Он измеряет координаты и время некоторого события <math>\textstyle (x,t)</math> и при помощи преобразований "выясняет", каковы значения измерений того же события в двигающейся относительно него со скоростью <math>\textstyle v</math> системе <math>\textstyle S'</math>. Обратные преобразования решают ту же задачу, но с позиции наблюдателя в <math>\textstyle S'</math>. Однако, в силу соноправленности осей <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle x'</math>, для него скорость системы <math>\textstyle S</math> будет равна "<math>\textstyle -v</math>". Поэтому штрихованные и не штрихованные величины меняются местами и совершается замена <math>\textstyle v\mapsto -v</math>. Во всём остальном ''функциональная форма'' преобразований должна быть эквивалентной. Это является отражением принципа относительности (тождественности всех инерциальных систем отсчета). | ||
+ | |||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Примером преобразований между двумя инерциальными системами служат преобразования Галилея. В классической механике мы предполагаем, что время имеет одинаковый темп хода для всех наблюдателей <math>\textstyle t'=t</math>. Пусть две системы отсчета расположены так, что их оси <math>\textstyle x</math> параллельны друг другу и в момент времени <math>\textstyle t'=t=0</math> начала систем совпадают. Тогда координаты и время некоторого события, наблюдаемого из каждой системы, связаны между собой следующим образом: \parbox{6cm}{ | ||
+ | |||
+ | [[File:galileo.png]] | ||
+ | |||
+ | } \parbox{6cm}{ | ||
+ | |||
+ | :<center><math> \left\{ \begin{array}{l} x'=x-vt\\ t'=t. \end{array} \right. </math></center> | ||
+ | |||
+ | } | ||
+ | |||
+ | Естественно, Галилей не записывал подобных преобразований. Они появились значительно позже. Однако ему принадлежит формулировка ''принципа относительности'', изложенная в книге "Диалоги о двух главнейших системах мира — птоломеевой и коперниковой" (1632 г.). Мы приведем её с некоторыми сокращениями: <blockquote> Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно. \cite{Galiley} </blockquote> Часто говорят, что принцип относительности Галилея сформулирован только для механических систем, тогда как Эйнштейн распространил его на все физические явления. Это не совсем верно. Как мы видим, Галилей считал, что в инерциальных системах отсчета одинаковым образом протекают все явления, ''даже биологические''! Он не разделял физику на механику и прочие явления. Для него, по всей видимости, не было даже физики. Он просто размышлял о природе окружающего Мира. | ||
+ | |||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Преобразования Галилея обладают ''групповыми свойствами''. Это означает, что существует единичное преобразование, обратное, и композиция преобразований снова даёт то же преобразование. | ||
+ | |||
+ | Единичное преобразование возникает, когда <math>\textstyle v=0</math> и, следовательно, <math>\textstyle x'=x</math>, <math>\textstyle t'=t</math>. При этом две системы отсчета фактически совпадают. | ||
+ | |||
+ | Обратное преобразование несложно записать, обратив уравнения (): | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\left\{ \begin{array}{l} x=x'+vt'\\ t=t'. \end{array} \right.</math></center> | ||
+ | |||
+ | В результате, как и должно быть, получаются те же преобразования Галилея, но с заменой <math>\textstyle v\mapsto -v </math>. | ||
+ | |||
+ | Композиция преобразований означает следующее. Рассмотрим три инерциальные системы отсчета <math>\textstyle S_1</math>, <math>\textstyle S_2</math> и <math>\textstyle S_3</math>. Пусть <math>\textstyle S_2</math> двигается относительно <math>\textstyle S_1</math> со скоростью <math>\textstyle v_1</math>, а <math>\textstyle S_3</math> относительно <math>\textstyle S_2</math> со скоростью <math>\textstyle v_2</math>. Понятно, что в этом случае третья система движется относительно первой с некоторой скоростью <math>\textstyle v_3</math>: | ||
+ | |||
+ | [[File:lorenz.png]] | ||
+ | |||
+ | Преобразования Галилея между парами систем будут иметь вид: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\left\{ \begin{array}{lcl} x_2 &=&x_1-v_1 t_1\\ t_2 &=&t_1 \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{lcl} x_3&=&x_2-v_2 t_2\\ t_3&=&t_2 \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{lcl} x_3&=&x_1-v_3 t_1\\ t_3&=&t_1. \end{array} \right.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Все эти соотношения, в ''силу равноправия'' систем отсчета, имеют одинаковый вид, различаясь лишь значением относительной скорости. | ||
+ | |||
+ | Подставляя первую систему во вторую и сравнивая с третьей, несложно убедиться, что скорость <math>\textstyle v_3</math> не произвольна, а связана с <math>\textstyle v_1</math> и <math>\textstyle v_2</math>: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>v_3 = v_1+v_2.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Это простое правило сложения скоростей вытекает из преобразований Галилея. Его можно также получить, рассматривая только две системы и некоторый объект, летящий относительно них. В нашем случае в качестве такого объекта выступала третья система отсчета. | ||
+ | |||
+ | Групповые аксиомы являются очень сильными требованиями и при нескольких дополнительных предположениях позволяют найти явный вид функций <math>\textstyle f(x,t,v)</math> и <math>\textstyle g(x,t,v)</math> в достаточно общем случае. Этим мы сейчас и займемся. | ||
---- | ---- |
Версия 15:44, 4 февраля 2010
Неподвижные наблюдатели << | Оглавление | >> Преобразования Лоренца |
---|
Перейдём теперь к наблюдателям в различных инерциальных системах отсчёта. Для простоты будем говорить о двух таких системах, обозначая одну буквой , а вторую . Нас интересует связь между значениями координаты и момента времени некоторого события, наблюдаемого из каждой системы отсчета. Рассматривая одномерный случай, обозначим координату и время события для наблюдателей в как , а для наблюдателей в , соответственно, как . Связь означает существование некоторой функциональной зависимости:
Заметим, что наличие такой связи является аксиомой теории. Если угодно — аксиомой Познаваемости Мира. Результаты наблюдений, проведенных в различных системах, должны быть между собой как-то связаны. Предполагается, что функции и зависят от относительной скорости систем . Вообще говоря, в эту связь могла бы попасть, например, температура каждого из наблюдателей, однако в кинематике мы считаем, что для полного описания некоторого события достаточно измерения его координаты и момента времени, а единственный параметр, отличающий системы, — это их относительная скорость.
Чтобы сравнение результатов измерений имело смысл, наблюдатели разных систем отсчета, как и в одной, должны согласовать свои единицы длины и времени.
Начнем снова с единиц скорости. Представители двух систем отсчета могут договориться считать одинаковой их относительную скорость . Если оси систем направлены в одну сторону, то для наблюдателя в (см. левый рисунок) скорость системы будет равна , а для наблюдателя в скорость , соответственно, — "" (правый рисунок):
Подчеркнем, что это не постулат, а именно способ согласования единиц скорости. Хотя в нём неявно заложена идея об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета.
Для согласования единиц длины наблюдатели могут разместить свои линейки перпендикулярно движению (вдоль оси ) и совместить их друг с другом. Образно это означает, что наблюдатель, например, системы , пролетая мимо "забора", расположенного в системе , проводит на нём две линии параллельные оси , высотою в один метр, оставляя тем самым информацию о своей единице длины. Вместо забора можно, конечно, использовать две летящие параллельно оси частицы. Кратчайшее расстояние между их траекториями в обоих системах может быть принято за единичное.
Согласовав перпендикулярные к движению единицы длины, наблюдатели могут считать, что между ними согласованы и любые линейки. Их уверенность основана на изотропности пространства в каждой системе отсчета и возможности "медленного" поворота линеек без их деформации.
Имея согласованные единицы скорости и длины, наблюдатели тем самым согласовывают и единицы времени. Начало отсчета времени можно привязать к некоторому событию, например, совпадению начал систем , считая, что в этот момент :
Сформулируем теперь важное свойство функций и . Если разрешить уравнения () относительно и , мы получим обратную связь (от штрихованных величин к не штрихованным). При этом функции должны оказаться теми же самыми, а скорость — изменить знак:
Это достаточно сильное требование и оно имеет глубокий смысл. Исходные преобразования () можно интерпретировать с позиции наблюдателя в системе . Он измеряет координаты и время некоторого события и при помощи преобразований "выясняет", каковы значения измерений того же события в двигающейся относительно него со скоростью системе . Обратные преобразования решают ту же задачу, но с позиции наблюдателя в . Однако, в силу соноправленности осей и , для него скорость системы будет равна "". Поэтому штрихованные и не штрихованные величины меняются местами и совершается замена . Во всём остальном функциональная форма преобразований должна быть эквивалентной. Это является отражением принципа относительности (тождественности всех инерциальных систем отсчета).
Примером преобразований между двумя инерциальными системами служат преобразования Галилея. В классической механике мы предполагаем, что время имеет одинаковый темп хода для всех наблюдателей . Пусть две системы отсчета расположены так, что их оси параллельны друг другу и в момент времени начала систем совпадают. Тогда координаты и время некоторого события, наблюдаемого из каждой системы, связаны между собой следующим образом: \parbox{6cm}{
} \parbox{6cm}{
}
Естественно, Галилей не записывал подобных преобразований. Они появились значительно позже. Однако ему принадлежит формулировка принципа относительности, изложенная в книге "Диалоги о двух главнейших системах мира — птоломеевой и коперниковой" (1632 г.). Мы приведем её с некоторыми сокращениями:
Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно. \cite{Galiley}
Часто говорят, что принцип относительности Галилея сформулирован только для механических систем, тогда как Эйнштейн распространил его на все физические явления. Это не совсем верно. Как мы видим, Галилей считал, что в инерциальных системах отсчета одинаковым образом протекают все явления, даже биологические! Он не разделял физику на механику и прочие явления. Для него, по всей видимости, не было даже физики. Он просто размышлял о природе окружающего Мира.
Преобразования Галилея обладают групповыми свойствами. Это означает, что существует единичное преобразование, обратное, и композиция преобразований снова даёт то же преобразование.
Единичное преобразование возникает, когда и, следовательно, , . При этом две системы отсчета фактически совпадают.
Обратное преобразование несложно записать, обратив уравнения ():
В результате, как и должно быть, получаются те же преобразования Галилея, но с заменой .
Композиция преобразований означает следующее. Рассмотрим три инерциальные системы отсчета , и . Пусть двигается относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Понятно, что в этом случае третья система движется относительно первой с некоторой скоростью :
Преобразования Галилея между парами систем будут иметь вид:
Все эти соотношения, в силу равноправия систем отсчета, имеют одинаковый вид, различаясь лишь значением относительной скорости.
Подставляя первую систему во вторую и сравнивая с третьей, несложно убедиться, что скорость не произвольна, а связана с и :
Это простое правило сложения скоростей вытекает из преобразований Галилея. Его можно также получить, рассматривая только две системы и некоторый объект, летящий относительно них. В нашем случае в качестве такого объекта выступала третья система отсчета.
Групповые аксиомы являются очень сильными требованиями и при нескольких дополнительных предположениях позволяют найти явный вид функций и в достаточно общем случае. Этим мы сейчас и займемся.
Неподвижные наблюдатели << | Оглавление | >> Преобразования Лоренца |
---|
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии