Инерциальные системы отсчёта — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 39: Строка 39:
  
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="90%" align="center"| [[File:galileo.png]]
+
  | width="50%" align="center"| [[File:galileo_sys.png]]
  | width="90%" align="center"|<math>\left\{\begin{array}{lcl}x'&=&x-vt\\ t'&=&t.\end{array} \right. </math>
+
  | width="40%" align="center"|<math>\left\{\begin{array}{lcl}x'&=&x-vt\\ t'&=&t.\end{array} \right. </math>
 
  |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.2)'''</div>
 
  |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.2)'''</div>
 
|}
 
|}

Версия 13:55, 5 февраля 2010

Неподвижные наблюдатели << Оглавление >> Преобразования Лоренца

Перейдём теперь к наблюдателям в различных инерциальных системах отсчёта. Для простоты будем говорить о двух таких системах, обозначая одну буквой , а вторую . Нас интересует связь между значениями координаты и момента времени некоторого события, наблюдаемого из каждой системы отсчета. Рассматривая одномерный случай, обозначим координату и время события для наблюдателей в как , а для наблюдателей в , соответственно, как . Связь означает существование некоторой функциональной зависимости:

(1.1)

Заметим, что наличие такой связи является аксиомой теории. Если угодно — аксиомой Познаваемости Мира. Результаты наблюдений, проведенных в различных системах, должны быть между собой как-то связаны. Предполагается, что функции и зависят от относительной скорости систем . Вообще говоря, в эту связь могла бы попасть, например, температура каждого из наблюдателей, однако в кинематике мы считаем, что для полного описания некоторого события достаточно измерения его координаты и момента времени, а единственный параметр, отличающий системы, — это их относительная скорость.

Чтобы сравнение результатов измерений имело смысл, наблюдатели разных систем отсчета, как и в одной, должны согласовать свои единицы длины и времени.

Начнем снова с единиц скорости. Представители двух систем отсчета могут договориться считать одинаковой их относительную скорость . Если оси систем направлены в одну сторону, то для наблюдателя в (см. левый рисунок) скорость системы будет равна , а для наблюдателя в скорость , соответственно, — "" (правый рисунок):

Unit y.png

Подчеркнем, что это не постулат, а именно способ согласования единиц скорости. Хотя в нём неявно заложена идея об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета.

Для согласования единиц длины наблюдатели могут разместить свои линейки перпендикулярно движению (вдоль оси ) и совместить их друг с другом. Образно это означает, что наблюдатель, например, системы , пролетая мимо "забора", расположенного в системе , проводит на нём две линии параллельные оси , высотою в один метр, оставляя тем самым информацию о своей единице длины. Вместо забора можно, конечно, использовать две летящие параллельно оси частицы. Кратчайшее расстояние между их траекториями в обоих системах может быть принято за единичное.

Согласовав перпендикулярные к движению единицы длины, наблюдатели могут считать, что между ними согласованы и любые линейки. Их уверенность основана на изотропности пространства в каждой системе отсчета и возможности "медленного" поворота линеек без их деформации.

Имея согласованные единицы скорости и длины, наблюдатели тем самым согласовывают и единицы времени. Начало отсчета времени можно привязать к некоторому событию, например, совпадению начал систем , считая, что в этот момент :

Сформулируем теперь важное свойство функций и . Если разрешить уравнения (1.1) относительно и , мы получим обратную связь (от штрихованных величин к не штрихованным). При этом функции должны оказаться теми же самыми, а скорость — изменить знак:

Это достаточно сильное требование и оно имеет глубокий смысл. Исходные преобразования (1.1) можно интерпретировать с позиции наблюдателя в системе . Он измеряет координаты и время некоторого события и при помощи преобразований "выясняет", каковы значения измерений того же события в двигающейся относительно него со скоростью системе . Обратные преобразования решают ту же задачу, но с позиции наблюдателя в . Однако, в силу соноправленности осей и , для него скорость системы будет равна "". Поэтому штрихованные и не штрихованные величины меняются местами и совершается замена . Во всём остальном функциональная форма преобразований должна быть эквивалентной. Это является отражением принципа относительности (тождественности всех инерциальных систем отсчета).

Примером преобразований между двумя инерциальными системами служат преобразования Галилея. В классической механике мы предполагаем, что время имеет одинаковый темп хода для всех наблюдателей . Пусть две системы отсчета расположены так, что их оси параллельны друг другу и в момент времени начала систем совпадают. Тогда координаты и время некоторого события, наблюдаемого из каждой системы, связаны между собой следующим образом:

Galileo sys.png
(1.2)

Естественно, Галилей не записывал подобных преобразований. Они появились значительно позже. Однако ему принадлежит формулировка принципа относительности, изложенная в книге "Диалоги о двух главнейших системах мира — птоломеевой и коперниковой" (1632 г.). Мы приведем её с некоторыми сокращениями:

Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно. \cite{Galiley}

Часто говорят, что принцип относительности Галилея сформулирован только для механических систем, тогда как Эйнштейн распространил его на все физические явления. Это не совсем верно. Как мы видим, Галилей считал, что в инерциальных системах отсчета одинаковым образом протекают все явления, даже биологические! Он не разделял физику на механику и прочие явления. Для него, по всей видимости, не было даже физики. Он просто размышлял о природе окружающего Мира.

Преобразования Галилея обладают групповыми свойствами. Это означает, что существует единичное преобразование, обратное, и композиция преобразований снова даёт то же преобразование.

Единичное преобразование возникает, когда и, следовательно, , . При этом две системы отсчета фактически совпадают.

Обратное преобразование несложно записать, обратив уравнения (1.2):

В результате, как и должно быть, получаются те же преобразования Галилея, но с заменой .

Композиция преобразований означает следующее. Рассмотрим три инерциальные системы отсчета , и . Пусть двигается относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Понятно, что в этом случае третья система движется относительно первой с некоторой скоростью :

Lorenz.png

Преобразования Галилея между парами систем будут иметь вид:

Все эти соотношения, в силу равноправия систем отсчета, имеют одинаковый вид, различаясь лишь значением относительной скорости.

Подставляя первую систему во вторую и сравнивая с третьей, несложно убедиться, что скорость не произвольна, а связана с и :

Это простое правило сложения скоростей вытекает из преобразований Галилея. Его можно также получить, рассматривая только две системы и некоторый объект, летящий относительно них. В нашем случае в качестве такого объекта выступала третья система отсчета.

Групповые аксиомы являются очень сильными требованиями и при нескольких дополнительных предположениях позволяют найти явный вид функций и в достаточно общем случае. Этим мы сейчас и займемся.

Литература

  • Галилео Галилей Диалог о двух главнейших системах мира - птоломеевой и коперниковой, перевод А.И.Долгова, Москва 1948

Неподвижные наблюдатели << Оглавление >> Преобразования Лоренца

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии