Инерциальные системы отсчёта

Неподвижные наблюдатели <<	Оглавление	>> Преобразования Лоренца

---

$\textstyle \bullet$ Перейдём теперь к наблюдателям в различных инерциальных системах отсчёта. Для простоты будем говорить о двух таких системах, обозначая одну буквой $\textstyle S$, а вторую $\textstyle S'$. Нас интересует связь между значениями координаты и момента времени некоторого события, наблюдаемого из каждой системы отсчета. Рассматривая одномерный случай, обозначим координату и время события для наблюдателей в $\textstyle S$ как $\textstyle (x,t)$, а для наблюдателей в $\textstyle S'$, соответственно, как $\textstyle (x',t')$. Связь означает существование некоторой функциональной зависимости:

$x'=f(x,t,v),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=g(x,t,v).$

Заметим, что наличие такой связи является аксиомой теории. Если угодно — аксиомой Познаваемости Мира. Результаты наблюдений, проведенных в различных системах, должны быть между собой как-то связаны. Предполагается, что функции $\textstyle f(x,t,v)$ и $\textstyle g(x,t,v)$ зависят от относительной скорости систем $\textstyle v$. Вообще говоря, в эту связь могла бы попасть, например, температура каждого из наблюдателей, однако в кинематике мы считаем, что для полного описания некоторого события достаточно измерения его координаты и момента времени, а единственный параметр, отличающий системы, — это их относительная скорость.

Чтобы сравнение результатов измерений имело смысл, наблюдатели разных систем отсчета, как и в одной, должны согласовать свои единицы длины и времени.

Начнем снова с единиц скорости. Представители двух систем отсчета могут договориться считать одинаковой их относительную скорость $\textstyle v$. Если оси систем направлены в одну сторону, то для наблюдателя в $\textstyle S$ (см. левый рисунок) скорость системы $\textstyle S'$ будет равна $\textstyle v$, а для наблюдателя в $\textstyle S'$ скорость $\textstyle S$, соответственно, — "$\textstyle -v$" (правый рисунок):

Подчеркнем, что это не постулат, а именно способ согласования единиц скорости. Хотя в нём неявно заложена идея об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета.

Для согласования единиц длины наблюдатели могут разместить свои линейки перпендикулярно движению (вдоль оси $\textstyle y$) и совместить их друг с другом. Образно это означает, что наблюдатель, например, системы $\textstyle S'$, пролетая мимо "забора", расположенного в системе $\textstyle S$, проводит на нём две линии параллельные оси $\textstyle x$, высотою в один метр, оставляя тем самым информацию о своей единице длины. Вместо забора можно, конечно, использовать две летящие параллельно оси $\textstyle x$ частицы. Кратчайшее расстояние между их траекториями в обоих системах может быть принято за единичное.

Согласовав перпендикулярные к движению единицы длины, наблюдатели могут считать, что между ними согласованы и любые линейки. Их уверенность основана на изотропности пространства в каждой системе отсчета и возможности "медленного" поворота линеек без их деформации.

Имея согласованные единицы скорости и длины, наблюдатели тем самым согласовывают и единицы времени. Начало отсчета времени можно привязать к некоторому событию, например, совпадению начал систем $\textstyle x=x'=0$, считая, что в этот момент $\textstyle t=t'=0$:

$f(0,0,v)=g(0,0,v)=0.$

Сформулируем теперь важное свойство функций $\textstyle f(x,t,v)$ и $\textstyle g(x,t,v)$. Если разрешить уравнения () относительно $\textstyle x$ и $\textstyle t$, мы получим обратную связь (от штрихованных величин к не штрихованным). При этом функции должны оказаться теми же самыми, а скорость — изменить знак:

$x=f(x',t',-v)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t=g(x',t',-v).$

Это достаточно сильное требование и оно имеет глубокий смысл. Исходные преобразования () можно интерпретировать с позиции наблюдателя в системе $\textstyle S$. Он измеряет координаты и время некоторого события $\textstyle (x,t)$ и при помощи преобразований "выясняет", каковы значения измерений того же события в двигающейся относительно него со скоростью $\textstyle v$ системе $\textstyle S'$. Обратные преобразования решают ту же задачу, но с позиции наблюдателя в $\textstyle S'$. Однако, в силу соноправленности осей $\textstyle x$ и $\textstyle x'$, для него скорость системы $\textstyle S$ будет равна "$\textstyle -v$". Поэтому штрихованные и не штрихованные величины меняются местами и совершается замена $\textstyle v\mapsto -v$. Во всём остальном функциональная форма преобразований должна быть эквивалентной. Это является отражением принципа относительности (тождественности всех инерциальных систем отсчета).

$\textstyle \bullet$ Примером преобразований между двумя инерциальными системами служат преобразования Галилея. В классической механике мы предполагаем, что время имеет одинаковый темп хода для всех наблюдателей $\textstyle t'=t$. Пусть две системы отсчета расположены так, что их оси $\textstyle x$ параллельны друг другу и в момент времени $\textstyle t'=t=0$ начала систем совпадают. Тогда координаты и время некоторого события, наблюдаемого из каждой системы, связаны между собой следующим образом: \parbox{6cm}{

} \parbox{6cm}{

$\left\{{\begin{array}{l}x'=x-vt\\t'=t.\end{array}}\right.$

}

Естественно, Галилей не записывал подобных преобразований. Они появились значительно позже. Однако ему принадлежит формулировка принципа относительности, изложенная в книге "Диалоги о двух главнейших системах мира — птоломеевой и коперниковой" (1632 г.). Мы приведем её с некоторыми сокращениями:

Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно. \cite{Galiley}

Часто говорят, что принцип относительности Галилея сформулирован только для механических систем, тогда как Эйнштейн распространил его на все физические явления. Это не совсем верно. Как мы видим, Галилей считал, что в инерциальных системах отсчета одинаковым образом протекают все явления, даже биологические! Он не разделял физику на механику и прочие явления. Для него, по всей видимости, не было даже физики. Он просто размышлял о природе окружающего Мира.

$\textstyle \bullet$ Преобразования Галилея обладают групповыми свойствами. Это означает, что существует единичное преобразование, обратное, и композиция преобразований снова даёт то же преобразование.

Единичное преобразование возникает, когда $\textstyle v=0$ и, следовательно, $\textstyle x'=x$, $\textstyle t'=t$. При этом две системы отсчета фактически совпадают.

Обратное преобразование несложно записать, обратив уравнения ():

$\left\{{\begin{array}{l}x=x'+vt'\\t=t'.\end{array}}\right.$

В результате, как и должно быть, получаются те же преобразования Галилея, но с заменой $\textstyle v\mapsto -v$.

Композиция преобразований означает следующее. Рассмотрим три инерциальные системы отсчета $\textstyle S_{1}$, $\textstyle S_{2}$ и $\textstyle S_{3}$. Пусть $\textstyle S_{2}$ двигается относительно $\textstyle S_{1}$ со скоростью $\textstyle v_{1}$, а $\textstyle S_{3}$ относительно $\textstyle S_{2}$ со скоростью $\textstyle v_{2}$. Понятно, что в этом случае третья система движется относительно первой с некоторой скоростью $\textstyle v_{3}$:

Преобразования Галилея между парами систем будут иметь вид:

$\left\{{\begin{array}{lcl}x_{2}&=&x_{1}-v_{1}t_{1}\\t_{2}&=&t_{1}\end{array}}\right.\;\;\;\;\;\;\;\left\{{\begin{array}{lcl}x_{3}&=&x_{2}-v_{2}t_{2}\\t_{3}&=&t_{2}\end{array}}\right.\;\;\;\;\;\;\;\left\{{\begin{array}{lcl}x_{3}&=&x_{1}-v_{3}t_{1}\\t_{3}&=&t_{1}.\end{array}}\right.$

Все эти соотношения, в силу равноправия систем отсчета, имеют одинаковый вид, различаясь лишь значением относительной скорости.

Подставляя первую систему во вторую и сравнивая с третьей, несложно убедиться, что скорость $\textstyle v_{3}$ не произвольна, а связана с $\textstyle v_{1}$ и $\textstyle v_{2}$:

$v_{3}=v_{1}+v_{2}.$

Это простое правило сложения скоростей вытекает из преобразований Галилея. Его можно также получить, рассматривая только две системы и некоторый объект, летящий относительно них. В нашем случае в качестве такого объекта выступала третья система отсчета.

Групповые аксиомы являются очень сильными требованиями и при нескольких дополнительных предположениях позволяют найти явный вид функций $\textstyle f(x,t,v)$ и $\textstyle g(x,t,v)$ в достаточно общем случае. Этим мы сейчас и займемся.

---

Неподвижные наблюдатели <<	Оглавление	>> Преобразования Лоренца

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии