Если при столкновении двух частиц изменяются не только их скорости, но и массы, такая реакция называется двухчастичным неупругим столкновением. Например:
где , — протон и антипротон, — фотон, , — нейтральный и заряженные пи-мезоны. С двухчастичными неупругими столкновениями связаны реакции распадов частицы на три другие частицы. Например:
где — мюон, — каон, , — электронное и мюонное нейтрино.
Приведенные выше реакции рассеяния и распада объединяет то, что в них участвуют 4 частицы. Для единства мы запишем это в виде четыреххвостой диаграммы (первый рисунок ниже), в которой все 4-импульса направлены к центрy. В реакции рассеяния необходимо изменить знак у 4-импульсов частиц 3 и 4: , . Для реакции распада изменяются знаки у частиц 2,3 и 4. Можно также считать, что для начальных частиц , а для финальных — :
При таком соглашении и для рассеяния, и для распада закон сохранения будет иметь единую форму:
Для описания таких реакций вводятся следующие инварианты:
Это общепринятые обозначения, и не стоит путать с интервалом, а — со временем. Во вторых равенствах каждого определения учтён закон сохранения 4-импульса.
Сумма всех трёх инвариантов равна сумме квадратов масс частиц:
|
(EQN)
|
Для доказательства умножим закон сохранения на :
С другой стороны, раскрывая квадраты в определении , , , имеем:
С учётом этих двух соотношений несложно получить (). Поэтому введенные три инварианта не являются независимыми. Обычно таковыми считаются и , а инвариант выражается через них.
Рассмотрим подробнее двухчастичное рассеяние. Обычно его изучают в двух системах отсчёта — системе центра масс (центра инерции) и лабораторной системе. В первом случае производится встречное столкновение частиц так, что суммарный импульс частиц до и после взаимодействия равен нулю. В лабораторной системе отсчёта производится столкновение частиц первого сорта с неподвижными частицами второго сорта, которые называются также мишенью.
Величины, относящиеся к лабораторной системе, мы будем помечать штрихами, а в системе центра масс они будут без штрихов.
В системе центра масс , удобно ввести два импульса , . Так как масса частиц изменяется, то из закона сохранения энергии:
уже не следует равенство модулей импульсов до и после столкновения, и в общем случае . Соответственно изменяются и энергии частиц. Если же и , то .
Подобная реакция может происходить только, если суммарная энергия исходных частиц в системе центра масс больше суммы масс конечных частиц . Подобное энергетическое неравенство называется порогом реакции.
Инвариант имеет смысл квадрата полной энергии в системе центра масс. Действительно, если , то . При помощи можно выразить энергии частиц в системе центра масс до и после столкновения. Для этого вычислим следующий инвариант:
С другой стороны, раскрыв скобки: и выразив , можно его подставить в определение инварианта:
В результате получается энергия (и аналогично ):
Чтобы найти энергии частиц после столкновения, необходимо во всех соотношениях произвести замену индексов , . В результате:
Квадраты импульсов до и после реакции могут быть найдены из стандартной связи и , откуда:
где введена т.н. функция треугольника:
Второй инвариант связан с углом рассеяния в системе центра масс. Так как частица 3 является финальной, необходимо заменить :
Используя полученные выше соотношения, имеем:
|
(EQN)
|
где — сумма квадратов масс частиц, а и выражаются через .
Аналогично через инварианты выражаются величины в лабораторной системе отсчёта, в которой будем считать вторую частицу неподвижной . Возводя в квадрат определения инвариантов, содержащие : , и , получаем:
Напомним, что не является независимым инвариантом и выражается через , и сумму квадратов масс частиц ().
Квадраты импульсов находим из связи энергии, импульса и массы
Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle \mathbf {p} \,'_{1}^{2}=E'\,_{1}^{2}-m^{\,}2_{1}}
, и т.д.:
Угол вылета третей частицы относительно импульса первой выражается через инвариант :
Подставляя выражения для энергий и квадратов импульсов, имеем:
Так как величины и являются инвариантами (одинаковыми в лабораторной системе и системе центра масс), они позволяют связать энергии, импульсы и углы в этих двух системах отсчёта. Для этого необходимо, например, выразить через энергию :
Так как переменная положительна в системе центра масс, она, естественно, будет положительной и в лабораторной системе отсчёта. Запишем в явном виде связь энергии первой частицы в двух системах отсчёта:
Аналогично можно выразить через угол рассеяния третьей частицы. После этого несложно найти связь углов и рассеяния в двух системах отсчёта.
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии