Инварианты s, t и u — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 104: Строка 104:
 
Напомним, что <math>\textstyle u</math> не является независимым инвариантом и выражается через <math>\textstyle s</math>, <math>\textstyle t</math> и сумму квадратов масс частиц ().
 
Напомним, что <math>\textstyle u</math> не является независимым инвариантом и выражается через <math>\textstyle s</math>, <math>\textstyle t</math> и сумму квадратов масс частиц ().
  
Квадраты импульсов находим из связи энергии, импульса и массы  
+
Квадраты импульсов находим из связи энергии, импульса и массы:
<math>\mathbf{p}\,'^2_1 = E'\,^2_1-m^\,2_1</math>, и т.д.:
 
  
 
:<center><math>\mathbf{p}'\,^2_1 = \frac{\lambda(s, m^2_1, m^2_2)}{4m^2_2},\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}'\,^2_3 = \frac{\lambda(u, m^2_3, m^2_2)}{4m^2_2},\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}'\,^2_4 = \frac{\lambda(t, m^2_4, m^2_2)}{4m^2_2}.</math></center>
 
:<center><math>\mathbf{p}'\,^2_1 = \frac{\lambda(s, m^2_1, m^2_2)}{4m^2_2},\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}'\,^2_3 = \frac{\lambda(u, m^2_3, m^2_2)}{4m^2_2},\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}'\,^2_4 = \frac{\lambda(t, m^2_4, m^2_2)}{4m^2_2}.</math></center>

Текущая версия на 18:25, 9 апреля 2011

Ковариантная динамика << Оглавление (Глава 3) >> Диаграммы Далица и Мандельстама

Если при столкновении двух частиц изменяются не только их скорости, но и массы, такая реакция называется двухчастичным неупругим столкновением. Например:

где , — протон и антипротон, — фотон, , — нейтральный и заряженные пи-мезоны. С двухчастичными неупругими столкновениями связаны реакции распадов частицы на три другие частицы. Например:

где — мюон, — каон, , — электронное и мюонное нейтрино.

Приведенные выше реакции рассеяния и распада объединяет то, что в них участвуют 4 частицы. Для единства мы запишем это в виде четыреххвостой диаграммы (первый рисунок ниже), в которой все 4-импульса направлены к центрy. В реакции рассеяния необходимо изменить знак у 4-импульсов частиц 3 и 4: , . Для реакции распада изменяются знаки у частиц 2,3 и 4. Можно также считать, что для начальных частиц , а для финальных — :

Stu reac1.png

При таком соглашении и для рассеяния, и для распада закон сохранения будет иметь единую форму:

Для описания таких реакций вводятся следующие инварианты:

Это общепринятые обозначения, и не стоит путать с интервалом, а — со временем. Во вторых равенствах каждого определения учтён закон сохранения 4-импульса.

Сумма всех трёх инвариантов равна сумме квадратов масс частиц:

(EQN)

Для доказательства умножим закон сохранения на :

С другой стороны, раскрывая квадраты в определении , , , имеем:

С учётом этих двух соотношений несложно получить (). Поэтому введенные три инварианта не являются независимыми. Обычно таковыми считаются и , а инвариант выражается через них.

Рассмотрим подробнее двухчастичное рассеяние. Обычно его изучают в двух системах отсчёта — системе центра масс (центра инерции) и лабораторной системе. В первом случае производится встречное столкновение частиц так, что суммарный импульс частиц до и после взаимодействия равен нулю. В лабораторной системе отсчёта производится столкновение частиц первого сорта с неподвижными частицами второго сорта, которые называются также мишенью.

Stu reac2.png

Величины, относящиеся к лабораторной системе, мы будем помечать штрихами, а в системе центра масс они будут без штрихов.

В системе центра масс , удобно ввести два импульса , . Так как масса частиц изменяется, то из закона сохранения энергии:

уже не следует равенство модулей импульсов до и после столкновения, и в общем случае . Соответственно изменяются и энергии частиц. Если же и , то .

Подобная реакция может происходить только, если суммарная энергия исходных частиц в системе центра масс больше суммы масс конечных частиц . Подобное энергетическое неравенство называется порогом реакции.

Инвариант имеет смысл квадрата полной энергии в системе центра масс. Действительно, если , то . При помощи можно выразить энергии частиц в системе центра масс до и после столкновения. Для этого вычислим следующий инвариант:

С другой стороны, раскрыв скобки: и выразив , можно его подставить в определение инварианта:

В результате получается энергия (и аналогично ):

Чтобы найти энергии частиц после столкновения, необходимо во всех соотношениях произвести замену индексов , . В результате:

Квадраты импульсов до и после реакции могут быть найдены из стандартной связи и , откуда:

где введена т.н. функция треугольника:

Второй инвариант связан с углом рассеяния в системе центра масс. Так как частица 3 является финальной, необходимо заменить :

Используя полученные выше соотношения, имеем:

(EQN)

где — сумма квадратов масс частиц, а и выражаются через .

Аналогично через инварианты выражаются величины в лабораторной системе отсчёта, в которой будем считать вторую частицу неподвижной . Возводя в квадрат определения инвариантов, содержащие : , и , получаем:

Напомним, что не является независимым инвариантом и выражается через , и сумму квадратов масс частиц ().

Квадраты импульсов находим из связи энергии, импульса и массы:

Угол вылета третей частицы относительно импульса первой выражается через инвариант :

Подставляя выражения для энергий и квадратов импульсов, имеем:

Так как величины и являются инвариантами (одинаковыми в лабораторной системе и системе центра масс), они позволяют связать энергии, импульсы и углы в этих двух системах отсчёта. Для этого необходимо, например, выразить через энергию :

Так как переменная положительна в системе центра масс, она, естественно, будет положительной и в лабораторной системе отсчёта. Запишем в явном виде связь энергии первой частицы в двух системах отсчёта:

Аналогично можно выразить через угол рассеяния третьей частицы. После этого несложно найти связь углов и рассеяния в двух системах отсчёта.


Ковариантная динамика << Оглавление (Глава 3) >> Диаграммы Далица и Мандельстама

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии