Игнатовский 1910

Материал из synset
Версия от 15:10, 11 февраля 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{\large Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit\"atsprinzip;\\ von W. v. Ignatowsky\\[3mm] Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910}\\[7mm] {\small (Д…»)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

{\large

Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit\"atsprinzip;\\

von W. v. Ignatowsky\\[3mm]

Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910}\\[7mm]

{\small

(Доклад на общем заседании математического и физического отделения 82-го собрания немецких

натуралистов и врачей в г. Кёнигсберг 21 сентября 1910 г.)}

Когда Эйнштейн в свое время ввел принцип относительности, он параллельно с этим сделал предположение,

что скорость света является универсальной константой, т. е. имеет одинаковое значение для всех

систем координат. Минковский также исходил в своих исследованиях из инвариантности ,

хотя,

судя по его докладу "Пространство и время" [1], он скорее придавал смысл универсальной пространственно-временной константы, нежели скорости света.

Сейчас я ставлю перед собой вопрос о том, к каким взаимосвязям или, точнее, уравнениям преобразования, можно прийти,

если поставить во главу исследования только принцип относительности, и вообще — являются ли

преобразования Лоренца единственными уравнениями преобразования, которые удовлетворяют принципу

относительности.

Чтобы ответить на этот вопрос, сформулируем сначала, что мы собственно понимаем под принципом

относительности.

Если мы имеем две системы координат и , поступательно двигающиеся друг относительно друга с постоянной скоростью,

то принцип относительности говорит нам, что обе системы можно считать равноправными,

т. е. каждая из них может рассматриваться как неподвижная при второй двигающейся. Другими словами,

мы не можем определить абсолютное движение.

Однако, если и являются равноправными, и мы можем выразить в системе какую-либо

физическую величину

как функцию некоторых параметров , , ..., записав это как

то соответствующая величина в системе должна быть выражена через ту же функцию

соответствующих параметров , , ..., т. е. будет иметь вид:

Допустим, что была бы представлена параметрами без штриха, например,

тогда, поскольку и равноправны, уравнение

также должно быть верным. Уравнения с () по () образуют математическую формулировку

принципа относительности.

Далее, если мы обозначим через скорость системы , измеряемую по отношению к , а — скорость системы по отношению к , то очевидно, что:

Рассмотрим теперь чисто кинематический процесс, принимая во внимание также и . Мы можем записать,

например, следующее уравнение:

и аналогичные для и . Так как и рассматриваются как параметры,

с помощью которых может быть описано физическое явление, из (—) мы видим,

что в общем случае не обязательно должно совпадать с .

Хотя следующие вычисления являются очень важными, в целях экономии места я привожу здесь только

ход мыслей и конечные результаты и ссылаюсь на дальнейшие подробности в моей статье, которая

в скором времени появится в Archiv f. Math. u. Phys.\footnote{W. v. Ignatowsky, Arch. f. Math. u. Phys.. 17, p. 891 ff. (1910) — прим. перев.}

Обозначим единичный вектор, задающий направление движения по отношению к ,

как , проведем ось (и соответственно ) в этом направлении и далее

положим для упрощения, что ось образует продолжение оси .

Из предположения однородности и изотропности пространства, а также на основании симметрии, видно,

что и могут входить в уравнение ()

только неявно через ,

где — расстояние от точки до оси . Далее можно показать, что должно выполняться ,

и вследствие этого не может зависеть от . Потому мы можем написать вместо ():

и, соответственно, вследствие () и ():

Взяв полный дифференциал от () и (), получим:

и

где и т.д. — соответствующие частные производные, которые мы

предварительно должны рассматривать как неизвестные функции от и, соответственно, .

Пусть — следующий определитель:

тогда из () и () следует:

Возьмем теперь в и два элемента и такой длины, что, если их

привести в состояние взаимного покоя, она будет одинаковой. Если мы измерим

теперь синхронно в (таким образом, ), то получим:

Если мы измерим синхронно в (таким образом, ), то, соответственно:

Системы и эквивалентны, а и , приведенные в состояние покоя —

равной длины. Тогда эти длины должны быть равны при измерении в обеих системах.

Следовательно,

Отсюда и из () следует:

Проследим теперь движение какой-либо материальной точки или какого-либо события

в пространстве и обозначим соответствующие скорости и соответственно. Тогда

на основании () легко доказать, что

где

Так как скорость совершенно произвольна, то понятно, что , и пр. не могут зависеть

от .

Предположим, что рассматриваемая точка неподвижна относительно . Тогда и

. Отсюда и из () получаем:

На основании вышеизложенного путем аналогичных рассуждений получим:

так что мы можем записать:

Теперь нам остается только определить и , поскольку величины со штрихом мы получаем

из ().

С этой целью введем ещё третью систему координат , которая двигается в том же направлении

со скоростью , измеренной по отношению к . Скорость , измеренная в ,

равна . Для пары систем обозначим величины, аналогичные , как

, а для пары — как . Тогда можно легко показать,

что существует следующая взаимосвязь:

Так как здесь все дроби содержат независимые друг от друга величины, мы видим, что они могут

быть только константой, которую мы обозначим как . В итоге получаем:

Из () и () далее следует:

или

Из () следует, что величина , которая является универсальной пространственно-временной

постоянной, это обратный квадрат скорости, то есть положительно определенная величина.

Мы видим, что получили уравнения преобразования, аналогичные преобразованиям Лоренца, и отличие лишь в том,

что вместо стоит . Кроме того, ещё не определен знак, так как мы могли с таким же успехом

поставить "плюс" под корнем в уравнении ().

Теперь, чтобы определить числовое значение и знак , мы должны обратиться к эксперименту. Так как

в вышеприведенных рассуждениях мы не опирались на какое-либо специальное физическое явление,

то, следовательно, мы можем определить на основании любого явления и всегда должны получать

одинаковое его значение, поскольку является универсальной константой.

Например, мы можем синхронно измерить длину двигающегося от нас метрового стержня. Если измерение

показывает, что он сократился, то следует выбрать знак "минус", и из сокращения тогда можно

вычислить . Но, как известно, это сокращение будет настолько малым, что мы не сможем непосредственно

его измерить.

Обратимся теперь к электродинамическим уравнениям и, в частности, к случаю равномерно двигающегося

точечного заряда. Независимо от принципа относительности, мы знаем, что эквипотенциальная поверхность поля этого точечного заряда для неподвижного наблюдателя будет эллипсоидом Хевисайда

с отношением осей . Мы должны

сделать вывод на основании принципа относительности, что для наблюдателя, двигающегося совместно

с точечным зарядом, поверхность уровня потенциала является сферой. Однако, сфера покажется неподвижному наблюдателю эллипсоидом с отношением

осей равным . Итак, получим:

Это дает нам:

Только теперь мы видим, что является константой для всех систем координат.

В то же время мы видим, что универсальная пространственно-временная константа

определяется через числовое значение .

Теперь понятно, что в рамках вышеприведенного вывода уравнений преобразования оптика

утрачивает свое особое положение в отношении принципа относительности. При таком подходе

сам принцип относительности приобретает большую общность, поскольку он

не зависит от частного физического явления, а лишь от универсальной константы .

Тем не менее, мы можем согласиться с особым положением оптики и,

соответственно, электродинамических уравнений, но не по отношению к принципу относительности,

а в отношении других отраслей физики; а именно, в том отношении, что электродинамика дает возможность

определить константы преобразований.

С другой стороны, если мы в соответствии с принципом относительности преобразуем другие физические

уравнения и при этом обнаружим в них присутствие константы , то не следует из этого

делать вывод о наличии каких-либо действующих электрических сил, а нужно только сделать

заключение, что вследствие принципа относительности пространство и время посредством константы

накладывают свой отпечаток на все физические явления.

Для того, чтобы ещё более наглядно показать значение , привлечем аналогию из оптики, а именно

взаимосвязь между изображением и объектом. С чисто оптически-геометрической точки зрения визуальное

изображение и объект являются взаимозаменяемыми. То же самое происходит, если мы наблюдаем за

двигающимся масштабом, который кажется нам укороченным. Можно сказать, что

пространство и время представляют нам двигающийся масштаб

таким образом, что мы видим только его изображение, если примем за объект неподвижный масштаб.

Мы также можем в полной мере согласиться с Минковским, который говорит в своем докладе

"Пространство и время" [1]: "Сокращение следует рассматривать не как результат сопротивления

эфира, но как дар свыше, как побочное обстоятельство самого факта движения",

как раз потому, что является универсальной константой.

В заключение я хотел бы коснуться принципа относительности в применении к скоростям, лежащим

за пределами допустимых.

Рассмотрим выражение () для .

Сокращение, которое мы наблюдаем для отрезка, связанного с двигающейся системой ,

зависит от .

Поэтому не имеет никакого смысла допущение, что может

стать мнимым, т.е. должно всегда быть меньше . Но каков физический смысл ? — это

скорость системы координат и, соответственно, она не может быть больше . Другими словами,

ни одна из неподвижных систем координат не может двигаться со сверхсветовой скоростью.

Однако, мы должны понимать под неподвижной системой координат не просто математический образ,

а представлять себе материальный мир со своими наблюдателями

и синхронными часами. Напротив, предположим, что мы можем привести каждую

материальную точку в состояние покоя. Отсюда следует, что материальная точка не может двигаться

со сверхсветовой скоростью.

Возникает вопрос: существуют ли скорости не материальных точек, а явлений, превышающие скорость

света, за исключением фазовых или групповых скоростей? На этот вопрос мы должны ответить

утвердительно.

Не вдаваясь в мелкие детали, которые могут быть найдены в моей последней работе [2],

я хотел бы здесь вкратце пояснить этот вопрос.

Из уравнений преобразования Лоренца легко можно вывести следующее:

означает расстояние между двумя фиксированными точками в системе в

направлении . Это расстояние измеряется синхронно по отношению к двигающемуся в

наблюдателю, который движется вместе с отрезком . При этом для

неподвижного наблюдателя двое синхронных часов, которые наблюдатель

в установил на обоих концах , чтобы сделать синхронное

измерение , обнаружат разницу во времени ,

равную:

откуда следует:

Теперь представим себе в системе стержень длиной и предположим, что наблюдатели в

условились этот стержень одновременно (с помощью своих синхронных часов) поднять с обоих концов вертикально

по отношению к . Однако, для неподвижного наблюдателя это не произойдет одновременно;

а именно, в тот момент, когда один конец стержня совпадает с , он покажется ему поднятым;

другой же конец будет поднят только тогда, когда он совпадет с точкой , то есть через время

, которое вычисляется с помощью ().

Неподвижный наблюдатель обнаружит на стержне излом, который будет двигаться от него со скоростью

Из () получаем:

так как , как уже ранее было замечено, всегда меньше .

Обратимся теперь к уравнению (), которое мы можем записать следующим образом, поскольку все

величины , , и нам уже известны:

Допустим, что движение происходит в направлении со скоростью .

Тогда , и из () мы получаем,

если в то же время обозначим штрихом единичный вектор

Из () мы видим, что для нас, т.е. для неподвижного наблюдателя, чем быстрее распространяется

излом, тем меньше ; следовательно, тем медленнее двигается по отношению к . Если мы представим

себя на месте двигающегося наблюдателя, то скорость распространения излома покажется

нам бесконечно большой, поскольку наблюдатели поднимают стержень одновременно согласно своим синхронным часам. Этот же результат мы получаем из (). Так как мы заменяем там

значение на из уравнения (), то в итоге получаем .

Таким образом, мы можем сказать, точнее характеризуя значение , что — это та скорость,

которая нужна в системе , чтобы наверстать время в системе .

Существование скорости следует понимать как следствие принципа относительности; в частности, оно вытекает непосредственно из представления о синхронных

часах и синхронных измерениях.

References

  1. 1,0 1,1 H. Minkowski, Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 10, 104 (1909).
  2. W. Ignatowsky, Ann. d. Phys. (4), 33, 607 (1910).