Жёсткость, время и геометрия

Материал из synset
Версия от 21:57, 4 июля 2013; WikiSysop (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Жёсткие системы отсчёта << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Движение частиц и света

Получим при помощи критерия сопутствующей жесткости закон движения точек жесткой равноускоренной системы отсчёта. Пусть произвольная точка системы движется по траектории:

(EQN)

где — константы, зависящие от начального положения точки . Избавимся в траектории от корня, переписав её в следующем виде:

(EQN)

Подставим в это уравнение преобразования Лоренца между лабораторной системой и инерциальной системой , движущейся относительно с постоянной скоростью :

где . В правой части () стоит инвариант, поэтому:

Для данной точки () возьмём производную левой и правой части по , положив . В результате, получаем момент времени при котором скорость точек неинерциальной системы в инерциальной системе оказывается равной нулю:

(EQN)

Такое время должно быть одинаковым для любых координат (все точки в неподвижны). Это возможно, если в () множитель при не зависит от :

(EQN)

где — собственное ускорение точки . Подставляя в (), имеем следующие траектории точек:

Такая система точек обладает сопутствующей жесткостью и образует жесткую равноускоренную систему, рассмотренную в первых двух разделах главы.

В качестве второго примера рассмотрим систему, движущуюся с произвольной скоростью вдоль оси (стр.\,\pageref{nonin_gesk2}). Её интервал имеет вид и приводит к евклидовой физической длине, следовательно, такая система отсчёта является локально жёсткой. Разберёмся, однако, выполняется ли для неё критерий глобальной жесткости. Равенство нулю интервала приводит к следующему дифференциальному уравнению:

(EQN)

Пусть световой сигнал отправляется в момент времени из начала системы отсчёта . В момент времени он туда возвращается, отразившись от точки с координатой . Рассмотрим движение в сторону возрастания координаты (знак плюс). Так как , из () следует, что в момент времени :

где вторая производная получена дифференцированием (). Поэтому траектория удаляющегося сигнала имеет вид:

Аналогично находится траектория приближающегося к началу отсчёта сигнала , соответствующая в () знаку минус:

При отражении эти две траектории совпадают: . Решая квадратные уравнения относительно и и складывая решения, получаем:

где и . При малом интервале времени координата точки отражения является величиной того же порядка малости. Поэтому разложим корень до малых включительно:

(EQN)

где член с точностью до второго порядка малости заменен на . Так как для наблюдателя в начале системы отсчёта собственное время совпадает с координатным, полученное выражение является радиолокационным расстоянием к точке с координатой .

В первом порядке малости это расстояние постоянно, что отражено в постоянстве физической длины . Однако уже следующее приближение по оказывается зависящим от времени посылки сигнала, если только величина не является константой. Поэтому постоянство бесконечно малого радиолокационного расстояния , вообще говоря, не гарантирует, что конечное радиолокационное расстояние между двумя точками будет постоянным (локальная жёсткость не влечёт за собой глобальной жёсткости). Это свойство неинерциальных систем отсчёта тесно связано с другой особенностью. В жесткой равноускоренной системе в координатах Мёллера радиолокационное расстояние равно . В то же время и при движении вдоль оси мы, на первый взгляд, должны были бы иметь .

Причина этих расхождений кроется в измерительном смысле физической длины . Её получает наблюдатель, измеряя время распространения светового сигнала в обе стороны к бесконечно близкой к нему точке. Суммирование малых элементов вдоль некоторой кривой, подразумевает, что вдоль этой кривой расположено множество таких наблюдателей, каждый из которых получает своё значение . Однако, время для разных наблюдателей в неинерциальной системе отсчёта, в общем случае, течёт различным образом. Поэтому, сумма измерений радиолокационных расстояний в которых используются часы, расположенные в различных точках, отличается от единственного измерения такого же расстояния, проведенного одним наблюдателем по одним часам.

Хорошей иллюстрацией этого утверждения является вращающаяся система отсчёта. Длину можно измерять вдоль любой линии по которой распространяется свет. Экспериментально такая линия может быть организована при помощи световода или системы зеркал. Для наблюдателей, находящихся на одинаковом расстоянии от центра, темп хода часов одинаков. Пусть сигнал движется по окружности () от точки , до точки и обратно. Равенство нулю интервала () приводит к уравнению:

Повторяя рассуждения на предыдущей странице, имеем:

где множитель введен, чтобы получилось физическое время. Такое же расстояние мы получим, интегрируя выражение для физической длины (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot} во вращающейся системе при .

Иная ситуация будет при движении светового сигнала вдоль радиуса (). В этом случае уравнение его движения

приводит к следующему радиолокационному расстоянию для наблюдателя, расположенного в центре вращения:

Это выражение уже отличается от , которое следует при интегрировании () вдоль линии . Напомним, что точки вращающейся системы отсчёта, находящиеся на разном расстоянии от оси вращения, имеют различную скорость и различное замедление собственного времени.

Таким образом, одинаковый темп течения времени вдоль траектории светового сигнала приводит к совпадению результата единичного радиолокационного измерения расстояния и суммы измерений бесконечно малых расстояний. Если же темп течения времени вдоль траектории различен, то результаты измерений будут отличаться.

В связи с этим отметим ещё один момент. Отклонение физической длины от евклидового выражения, обычно интерпретируется как неевклидовость 3-пространства в неинерциальной системе отсчёта. Этому вопросу будет посвящена глава . Сейчас отметим только, что подобная неевклидовость существенно отличается от неевклидовости обычных искривлённых пространств. В геометрии нет времени. Длина линии должна равняться сумме длин её бесконечно малых элементов. Однако оба эти утверждения не выполняются в неинерциальных системах отсчёта. Поэтому, рассмотрение геометрических свойств пространства, например, с метрикой () несколько формально. К примеру, физическая длина в жесткой равноускоренной системе евклидова: . Эта длина получена в результате анализа распространения света на бесконечно малое расстояние. Однако, в таком евклидовом пространстве тот же свет, распространясь на конечные расстояния, движется не по прямым, а по искривлённым линиям.

За геометрическими свойствами метрики необходимо видеть множество наблюдателей, использующих различные часы для измерения радиолокационных расстояний в своих непосредственных окрестностях. Геометрия 3-пространства неинерциальной системы, основанная на , является геометрией, объединяющей такие бесконечно малые локальные измерения.



Жёсткие системы отсчёта << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Движение частиц и света

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии