Жёсткие системы отсчёта

Физические длина и время <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Жёсткость, время и геометрия

---

Жесткость (как бы мы её не определяли), как и многие другие эффекты релятивистской теории — это понятие относительное. Нежёсткая равноускоренная система является хорошей иллюстрацией к этому утверждению. Относительно лабораторной системы её точки движутся по траекториям:

При этом точки с различной координатой имеют одинаковое собственное ускорение. Расстояние между ними в лабораторной системе отсчёта остаётся неизменным ( не зависит от времени ). Однако, как мы видели (стр.\,\pageref{nonin_phys_t1t2t}), радиолокационное расстояние между двумя точками зависит от времени. Поэтому наблюдатели, связанные с такой системой отсчёта, не считают её жесткой.

Аналогично, в жесткой равноускоренной системе отсчёта из первого раздела, расстояние между наблюдателями не меняется со временем. Однако в лабораторной системе эти наблюдатели движутся с различными скоростями по траекториям

Для неподвижных наблюдателей такая "жесткая" равноускоренная система отсчёта не выглядит жесткой ( является убывающей функцией времени и расстояние между точками уменьшается).

Обсуждая далее жесткость системы отсчёта, мы будем подразумевать, что она выполняется для наблюдателей, связанных с этой системой. Аналогично собственному времени, будем называть её собственной жесткостью системы отсчёта.

Отметим также, что обсуждая жесткость, мы имеем ввиду кинематическую жесткость системы отсчёта и связанных с ней тел. Это означает, что эффекты деформации и соответствующих сил, действующих внутри "твёрдого тела" выходят за рамки нашего рассмотрения. Жёсткая система отсчёта, представляется как совокупность точек, расстояние между которыми при движении системы в том или ином смысле остаётся неизменным. С каждой точкой мысленно связан наблюдатель, имеющий часы и линейку. Такие же эталоны времени и длины находятся у сопутствующего к нему наблюдателя в инерциальной системе отсчёта.

Возможны по крайней мере три определения собственной жесткости:

I. Сопутствующая жесткость: все точки системы отсчёта имеют нулевую скорость в сопутствующей к ней инерциальной системе отсчёта.

II. Локальная жесткость: тензор , определяющий элемент бесконечно малой физической длины, не зависит от времени.

III. Глобальная жесткость: радиолокационное расстояние между любыми двумя точками системы отсчёта не меняется со временем.

Эти три определения не эквивалентны друг другу. Особенно неожиданным это может показаться по отношению к последним двум определениям. В основе процедуры, дающей лежит радиолокационное измерение расстояния между двумя бесконечно близкими точками. Однако, оказывается, что из его постоянства, вообще говоря, не следует глобальной жесткости системы отсчёта. То есть, бесконечно малые радиолокационные расстояния могут быть постоянными, и при этом расстояние между удалёнными точками системы отсчёта изменяться со временем. Мы продемонстрируем это в следующем разделе на примере неинерциальной системы, движущейся поступательно с произвольной скоростью.

В жесткой равноускоренной системе отсчёта все три критерия выполняются. Постоянство радиолокационного расстояния в первом разделе было использовано для определения траекторий движения такой системы. Её метрика в координатах Мёллера приводит физической длине , которая не зависит от времени. Поэтому критерий локальной жесткости также выполняется. Наконец, в следующем разделе мы увидим, что эта система является жесткой и в сопутствующем смысле. В этом отношении жесткая равноускоренная система выделяется из всего разнообразия неинерциальных систем отсчёта.

Вращающаяся система жестка и в локальном (см. (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot}) и в глобальном смыслах (см. стр.\,\pageref{nonin_dl_rot}). Однако, для неё не выполняется критерий сопутствующей жесткости. В движущейся с подходящей скоростью инерциальной системе, нулевую скорость будет иметь только одна точка вращающегося диска. Это справедливо и в теории относительности, и в классической механике.

Исторически первым понятие жёсткости в теории относительности ввёл в 1909г. Макс Борн \cite{Born1909}. Он рассматривал некоторое тело, каждая точка которого однозначно характеризуется (нумеруется) тремя координатами и в лабораторной системе отсчёта движется по траектории , где — собственное время часов, связанных с точкой. В классической механике тело считается жестким, если расстояние между двумя его точками, измеренное в данный момент времени, в дальнейшем не меняется (ниже первый рисунок). Такое определение не является релятивистски инвариантным и в любой другой системе отсчёта будет нарушено (одновременность относительна). Поэтому Борн потребовал для жесткого тела неизменности бесконечно малого расстояния в 4-пространстве в гиперплоскости, ортогональной траекториям двух соседних точек (ниже второй рисунок):

Вместо жёсткой неинерциальной системы, следуя Борну, будем говорить о жёстком теле. Запишем траекторию произвольной точки такого тела относительно лабораторной системы :

(EQN)

При этом, — это координаты, однозначно определяющие фиксированную точку тела, а — её собственное время и, как обычно, . Ниже мы используем безындексную запись в которой прямым шрифтом будут обозначаться 4-векторы (скалярное произведение в такой записи имеет вид и т.д.).

Интервал вдоль траектории движения точки совпадает с изменением её собственного времени:

где подставлены дифференциалы , записанные при постоянстве координат и — производная по собственному времени. Таким образом:

(EQN)

Обратим внимание, что такое лаконичное уравнение на самом деле является краткой записью уравнения

Рассмотрим две соседние точки с координатами и . Положение первой точки соответствует моменту собственного времени , а второй: . Расстояние между этими точками в пространстве Минковского определяется 4-вектором:

(EQN)

где . Это обычный дифференциал функции 4-х переменных , , , . Для определения значения , потребуем, чтобы вектор был ортогонален к 4-вектору , касательному к траектории при изменении собственного времени:

(EQN)

При таком выборе тело, по определению Борна, считается жёстким, если длина вектора не меняется со временем:

(EQN)

Из соотношения ортогональности и (), () получаем

Подставляя это значение в квадрат расстояния () между точками

имеем:

Первое слагаемое в фигурных скобках — это , а второе — произведение . Действительно, интервал равен:

поэтому, метрические коэффициенты неинерциальной системы, связанной с телом равны . При этом, так как в преобразованиях () — собственное время, то .

Таким образом, критерий жёсткости Борна эквивалентен постоянству тензора , определяющего физическую длину. Заметим, что Борн сформулировал свой критерий жесткости для частного случая преобразований в которых координатное время является собственным временем точки неинерциальной системы отсчёта. Если мы откажемся от условия (), то получится общее выражение (), стр.\,\pageref{noni_gamma_l_def}.

---

Физические длина и время <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Жёсткость, время и геометрия

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии