Единственность решений

Интегрирование стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Метод последовательных приближений

---

Стохастические уравнения записывают, чтобы описать динамику некоторой реальной системы. Если соответствующие уравнения адекватны, то вопрос о единственности их решений обычно отходит на второй план. Тем не менее, он рано или поздно встаёт перед исследователем и является достаточно важным. Мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем перейдём к их стохастическому аналогу. Однако сначала вспомним некоторые утверждения из анализа.

$\textstyle \bullet$ Мы называем функцию $\textstyle f(x)$ непрерывной в точке $\textstyle x=c$, если пределы при стремлении к ней слева $\textstyle x\to c-0$ и справа $\textstyle x\to c+0$ существуют и равны друг другу. Так, $\textstyle f(x)=1/x$ непрерывна во всех точках, кроме $\textstyle x=0$. Разность $\textstyle f(x+0)-f(x-0)$ называется разрывом функции. Для $\textstyle f(x)=1/x$ в $\textstyle x=0$ он равен бесконечности.

Непрерывная на интервале функция непрерывна в каждой его точке. В этом случае она имеет ограниченные значения и всегда существует такое конечное $\textstyle M$, что

${\;{\bigl |}f(x){\bigr |}\leqslant M},\;\;\;\;\;\;\;\alpha \leqslant x\leqslant \beta .$

(5.23)

Это неравенство, например, не выполняется для функций $\textstyle f(x)=1/x$, $\textstyle f(x)=\mathrm {tg} (x)$ на интервале $\textstyle -2\leqslant x\leqslant 2$.

Разрывная функция может как удовлетворять этому неравенству (если имеет конечный разрыв), так и не удовлетворять (для бесконечного разрыва). Непрерывная функция, не обращаясь в бесконечность на конечном интервале, всегда ему удовлетворяет. Другое эквивалентное свойство — непрерывная функция на интервале всегда имеет конечное минимальное и максимальное значения.

$\textstyle \bullet$ Теорема Ролля утверждает, что, если $\textstyle f(\alpha )=f(\beta )$ и в интервале $\textstyle [\alpha ...\beta ]$ производная $\textstyle f'(x)$ непрерывна, то всегда существует такая точка $\textstyle \gamma$: $\textstyle \alpha \leqslant \gamma \leqslant \beta$, в которой $\textstyle f'(\gamma )=0$. Интуитивно это понятно. Если функция не постоянная и $\textstyle f(\alpha )=f(\beta )$, то внутри $\textstyle [\alpha ...\beta ]$ она всегда достигнет минимума или максимума, в которых производная обратится в ноль (левый рисунок):

Важно существование на $\textstyle \alpha \leqslant x\leqslant \beta$ конечной производной. Например, для $\textstyle f(x)=1-x^{2/3}$ (рисунок справа) выполняется $\textstyle f(-1)=f(1)$. Однако $\textstyle f'(x)=-(2/3)/x^{1/3}$ нигде в интервале $\textstyle [-1...1]$ в ноль не обращается.

$\textstyle \bullet$ Формула конечных приращений Лагранжа непосредственно следует из теоремы Ролля. Если $\textstyle f(\alpha )\neq f(\beta )$, то для $\textstyle F(x)=f(x)+\lambda x$ всегда можно подобрать такое $\textstyle \lambda$, что:

$F(\alpha )=F(\beta )\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\lambda =-{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}.$

Поэтому по теореме Ролля существует такое $\textstyle \gamma$, что $\textstyle F'(\gamma )=f'(\gamma )+\lambda =0$, и, следовательно:

${\;f(\beta )-f(\alpha )=(\beta -\alpha )\cdot f'(\gamma )},\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \leqslant \gamma \leqslant \beta .$

(5.24)

Естественно, такая точка $\textstyle \gamma$ может быть и не одна, и мы знаем о ней только то, что она находится где-то внутри отрезка $\textstyle [\alpha ...\beta ]$.

$\textstyle \bullet$ Лемма Гронуолла - Беллмана: если для констант $\textstyle A$, $\textstyle B>0$ на $\textstyle [\alpha ...\beta ]$ справедливо первое неравенство (5.25), то тогда выполняется и второе:

$\;f(x)\leqslant A+B\int \limits _{\alpha }^{x}f(s)\,ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x)\leqslant A\,e^{B\cdot (x-\alpha )}\;.$

(5.25)

Для доказательства введём функцию:

$g(x)=\int \limits _{\alpha }^{x}f(s)\,ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;g'(x)\leqslant A+B\,g(x),$

где мы взяли производную от $\textstyle g(x)$ и воспользовались первым неравенством (5.25). Неравенство, которому удовлетворяет $\textstyle g(x)$, похоже на неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Поступая аналогично этому случаю и вводя функцию $\textstyle C(x)$, имеем:

$g(x)=C(x)\,e^{Bx}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C'(x)\leqslant A\,e^{-B\,x}.$

Интегрируя его от $\textstyle \alpha$ до $\textstyle x$ и учитывая, что $\textstyle g(\alpha )=0$ и $\textstyle C(\alpha )=0$, получаем:

$C(x)\leqslant {\frac {A}{B}}\left(e^{-B\alpha }-e^{-Bx}\right)\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;g(x)\leqslant {\frac {A}{B}}\left(e^{B(x-\alpha )}-1\right).$

Дифференцируя последнее неравенство $\textstyle g'(x)=f(x)$, мы приходим к (5.25). В частном случае $\textstyle A=0$ имеем такую форму леммы:

$\;f(x)\leqslant B\int \limits _{\alpha }^{x}f(s)\,ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x)\leqslant 0\;.$

(5.26)

Поэтому, если $\textstyle f(x)\geqslant 0$ и она удовлетворяет первому неравенству (5.26), то это означает, что функция равна нулю: $\textstyle f(x)=0$.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\frac {dx}{dt}}=a(x,t).$

(5.27)

Для него справедлива теорема о существовании и единственности:

Если в открытой области $\textstyle G$ на плоскости $\textstyle (x,t)$ функция $\textstyle a(x,t)$ непрерывна и имеет непрерывную производную по $\textstyle x$, то через любую точку $\textstyle G$ проходит одно и только одно решение (5.27).

Если производная непрерывна, то в соответствии с (5.23) она ограничена: $\textstyle |\partial a/\partial x|\leqslant M$, и по формуле конечных приращений (5.24) мы имеем неравенство Липшица:

$|a(y,t)-a(x,t)|\leqslant M\cdot |y-x|,$

(5.28)

Оно является непосредственным следствием непрерывности $\textstyle \partial a(x,t)/\partial x$.

Докажем единственность решения (5.27), представив его в форме интегрального уравнения:

$x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}a{\bigl (}x(\tau ),\tau {\bigr )}\,dt.$

Пусть на интервале $\textstyle [t_{0}\,...\,t]$ существуют два решения $\textstyle x(t)$ и $\textstyle y(t)$ с одинаковым начальным условием $\textstyle x(t_{0})=y(t_{0})=x_{0}$. Запишем их в интегральной форме и вычтем:

$y(t)-x(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\left\{a{\bigl (}y(\tau ),\tau {\bigr )}-a{\bigl (}x(\tau ),\tau {\bigr )}\right\}\,dt.$

Так как сумма модулей всегда больше модуля суммы, имеем:

$|y(t)-x(t)|\leqslant \int \limits _{t_{0}}^{t}\left|a{\bigl (}y(\tau ),\tau {\bigr )}-a{\bigl (}x(\tau ),\tau {\bigr )}\right|\,dt\leqslant M\cdot \int \limits _{t_{0}}^{t}\left|y(\tau )-x(\tau )\right|\,dt,$

где во втором неравенстве мы воспользовались условием Липшица (5.28). В соответствии с леммой Гронуолла - Беллмана (5.26), из этого неравенства следует, что $\textstyle |y(t)-x(t)|=0$, и, следовательно, решения совпадают.

Подобное доказательство "от противного" типично для многих "неконструктивных" рассуждений в математике. Заметим, что мы доказали, что, если производная $\textstyle a(x,t)$ по $\textstyle x$ непрерывна, то решение единственно. Для разрывной производной может появиться более одного решения.

$\textstyle \bullet$ Большинство уравнений имеют единственное решение. Однако бывают и исключения. Рассмотрим пример:

${\frac {dx}{dt}}=3x^{2/3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{1/3}=x_{0}^{1/3}+t-t_{0}.$

(5.29)

Если начальное условие $\textstyle x_{0}=x(0)=0$, то формально решение имеет вид $\textstyle x=t^{3}$. Однако несложно проверить, что следующая функция также является решением (5.29) и удовлетворяет начальным условиям $\textstyle x(0)=0$:

где $\textstyle T$ — произвольное число. Причина неоднозначности - в нарушении условия Липшица (бесконечность производной $\textstyle a'(x)=2/x^{1/3}$ в $\textstyle x=0$). В реальном Мире, если некоторая система описывается (5.29), то она не сдвинется из начального состояния $\textstyle x(0)=0$, если "решает" уравнение итерациями. Спустя произвольный момент времени $\textstyle T$ может произойти внешнее воздействие (флуктуация), которое "столкнёт" итерационный процесс с нулевой отметки. Это и приведёт к неоднозначному решению ($\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Кроме неоднозначности, с решениями уравнений может произойти ещё одна неприятность. Рассмотрим следующую задачу:

${\frac {dx}{dt}}=x^{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)={\frac {x_{0}}{1-(t-t_{0})x_{0}}}.$

Через конечное время $\textstyle t-t_{0}=1/x_{0}$ от начального момента решение обращается в бесконечность. Подобная ситуация называется "взрывом решения". За редкими исключениями подобные модели не соответствуют реальным системам или являются лишь их грубым приближением.

$\textstyle \bullet$ С начальным условием дифференциального уравнения связана одна тонкость. Не любая функция $\textstyle x=f(x_{0},t_{0},t)$ со значением $\textstyle x_{0}=f(x_{0},t_{0},t_{0})$ удовлетворяет хоть какому-то дифференциальному уравнению первого порядка. Так, в производной по времени функции $\textstyle x=x_{0}+\sin(t-t_{0})$ никакими заменами и выбором $\textstyle a(x,t)$ не удастся одновременно избавиться и от $\textstyle x_{0}$, и от $\textstyle t_{0}$. Подставляя в уравнение решение $\textstyle x=f(x_{0},t_{0},t)$, мы должны так его преобразовать, чтобы константы $\textstyle x_{0}$, $\textstyle t_{0}$, являющиеся "внешними" к уравнению начальными условиями, сократились.

$\textstyle \bullet$ Перейдём теперь к стохастическим дифференциальным уравнениям. Так как мы работаем со случайными процессами, различные реализации траектории $\textstyle x(t)$ могут отличаться сколь угодно сильно. Говоря о единственности решения, мы подразумеваем единственность плотности вероятности $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$, которая влечёт за собой единственность среднего значения, волатильности, автоковариационной функции и т.д.

Докажем, что для уравнения

$dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,\delta W$

решение будет единственным, если производные по $\textstyle x$ сноса $\textstyle a(x,t)$ и волатильности $\textstyle b(x,t)$ непрерывны. Непрерывность означает, что производные ограничены (нигде не обращаются в бесконечность):

$\left|{\frac {\partial a(x,t)}{\partial x}}\right|\leqslant M_{a},\;\;\;\;\;\;\;\;\left|{\frac {\partial b(x,t)}{\partial x}}\right|\leqslant M_{b}.$

Поэтому в силу формулы Лагранжа каждая из них удовлетворяет неравенству Липшица:

${\begin{array}{lll}|a(y,t)-a(x,t)|&\leqslant &M_{a}\cdot |y-x|,\\|b(y,t)\,-b(x,t)|&\leqslant &M_{b}\cdot |y-x|.\end{array}}$

(5.30)

Будем действовать так же, как и в детерминированном случае. Перейдём к интегральному уравнению:

$x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}a{\bigl (}x(s),s{\bigr )}\,ds+\int \limits _{t_{0}}^{t}b{\bigl (}x(s),s{\bigr )}\,\delta W_{s}.$

Пусть существуют две разные случайные функции $\textstyle x_{t}=x(t)$ и $\textstyle y_{t}=y(t)$ с одинаковым начальным условием $\textstyle x(t_{0})=y(t_{0})=x_{0}$, которые удовлетворяют этому уравнению. Найдём дисперсию их разности:

где $\textstyle a_{yx}(s)=a{\bigl (}y(s),s{\bigr )}-a{\bigl (}x(s),s{\bigr )}$, $\textstyle b_{yx}(s)=b{\bigl (}y(s),s{\bigr )}-b{\bigl (}x(s),s{\bigr )}$ - разности сноса или волатильности, вычисленные для каждого решения.

Для двух $\textstyle n$ - мерных векторов $\textstyle \{\alpha _{1},...,\alpha _{n}\}$ и $\textstyle \{\beta _{1},...,\beta _{n}\}$ скалярное произведение всегда меньше, чем произведение их длин (косинус угла между ними меньше единицы). Поэтому справедливо неравенство Коши - Буняковского:

$(\alpha _{1}\beta _{1}+...+\alpha _{n}\beta _{n})^{2}\leqslant (\alpha _{1}^{2}+...+\alpha _{n}^{2})\cdot (\beta _{1}^{2}+...+\beta _{n}^{2}).$

Если все $\textstyle \beta _{i}=1$, имеем такой вариант этого неравенства:

$(\alpha _{1}+...+\alpha _{n})^{2}\leqslant n\cdot (\alpha _{1}^{2}+...+\alpha _{n}^{2}).$

В нашем случае $\textstyle n=2$, поэтому:

Для первого интеграла (точнее, его интегральной суммы) снова применим неравенство Коши-Буняковского c $\textstyle n=(t-t_{0})/\Delta s$. Среднее значение квадрата стохастического интеграла по $\textstyle \delta W$ можно записать через среднее от обычного интеграла по времени (5.13), поэтому:

Воспользуемся теперь неравенствами Липшица (5.30), возведя их в квадрат. В результате:

$\left\langle (y_{t}-x_{t})^{2}\right\rangle \leqslant M\int \limits _{t_{0}}^{t}\left\langle (y_{t}-x_{t})^{2}\right\rangle \,ds,$

где $\textstyle M=2(t-t_{0})M_{a}^{2}+2M_{b}^{2}$. Среднее разности решений $\textstyle \left\langle (y_{t}-x_{t})^{2}\right\rangle$ — это обычная функция времени, поэтому, применяя лемму Гронуолла — Беллмана (5.26), приходим к выводу, что $\textstyle \left\langle (y_{t}-x_{t})^{2}\right\rangle =0$.

Среднее является интегралом с положительной плотностью вероятности. Величина $\textstyle (y_{t}-x_{t})^{2}$ также положительна. Интеграл от положительной функции может быть равен нулю, только когда она равна нулю. В результате мы приходим к выводу, что $\textstyle x(t)=y(t)$, и решение единственно.

---

Интегрирование стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Метод последовательных приближений

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения