Дрожание земной оси

Стохастический осциллятор <<	Оглавление	>> Электронный шум

---

Наша Земля, несмотря ни на что, вращается вокруг своей оси с периодом, равным примерно 24 часа. Если ночью в хорошую погоду длительное время смотреть на звёздную "сферу" у нас над головой, видно, что она "поворачивается" вокруг некоторой точки в окрестности Полярной звезды (в северном полушарии). Именно туда направлена мгновенная ось вращения Земли.

Если бы наша планета была абсолютно твёрдым телом, то её динамика подчинялась бы уравнениям Эйлера. Выберем систему отсчёта, жестко связанную с Землей, направив ось $\textstyle z$ к северному полюсу, а $\textstyle x$ и $\textstyle y$ расположив в плоскости экватора. В первом приближении Земля представляет собой симметричный эллипсоид (шар, несколько сплюснутый вдоль оси $\textstyle z$). Поэтому её моменты инерции, вычисленные в этой системе, равны $\textstyle J_{z}=J_{1}=2Mr_{2}^{2}/5$ и $\textstyle J_{x}=J_{y}=J_{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})/5$, где $\textstyle M$ — масса Земли, а $\textstyle r_{i}$ — радиусы эллипсоида в направлении к полюсу $\textstyle r_{1}$ и в экваториальной плоскости $\textstyle r_{2}$. Уравнения Эйлера для свободного вращения имеют вид:

$\left\{{\begin{array}{l}J_{1}\,{\dot {\Omega }}_{z}=0\\J_{2}\,{\dot {\Omega }}_{x}+(J_{1}-J_{2})\,\Omega _{z}\Omega _{y}=0\\J_{2}\,{\dot {\Omega }}_{y}+(J_{2}-J_{1})\,\Omega _{z}\Omega _{x}=0.\\\end{array}}\right.$

Вектор $\textstyle \mathbf {\Omega } =\{\Omega _{x},\Omega _{y},\Omega _{z}\}$ — это угловая скорость вращения. Она направлена вдоль мгновенной оси вращения и по модулю равна $\textstyle \Omega =d\phi /dt$ повороту на малый угол $\textstyle d\phi$ за время $\textstyle dt$. Проекции $\textstyle \mathbf {\Omega }$ вычислены в системе отсчёта, связанной с Землёй. Поэтому, когда мы находимся на её поверхности, положение наблюдаемого центра "звёздной сферы" задаётся $\textstyle \mathbf {\Omega }$.

Первое уравнение системы приводит к постоянству проекции угловой скорости $\textstyle \Omega _{z}=const$. Два вторых являются осцилляторными и имеют периодические решения:

Таким образом, вектор $\textstyle \mathbf {\Omega }$ вращается по поверхности конуса с угловой частотой $\textstyle \omega$. Подобное вращение мы наблюдаем, запуская детский волчок, который, быстро вращаясь вокруг своей оси, одновременно медленно поворачивает ось вращения по поверхности конуса.

Обычно различают два типа вращения мгновенной оси. Медленное с большой амплитудой — это прецессия. Дополнительные небольшие периодические возмущения этого движения — это нутация.

Для Земли $\textstyle M=5.976\,10^{24}$ кг, $\textstyle r_{1}=6356.8$ км, $\textstyle r_{2}=6378.2$ км. Период вращения вдоль главной оси соответствует 24 часам, поэтому Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle \Omega_z=2\pi/24\;ч=7.27\,10^{-5}\, c^{-1}} . Так как $\textstyle (J_{1}-J_{2})/J_{2}=(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})/(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})=1/298$, то прецессионный период составляет примерно 300 дней и был предсказан ещё Эйлером. Земной наблюдатель должен наблюдать прецессию (нутацию), как медленное перемещение центра вращения "небесной сферы" по окружности относительно "неподвижных" звёзд. Такое изменение положения земной оси впервые обнаружил астроном Чандлер в 1891 г.

Однако наблюдаемое движение вращения земной оси оказывается существенно сложнее и носит стохастический характер. Координаты $\textstyle x=\Omega _{x}$ и $\textstyle y=\Omega _{y}$ являются угловыми (направление !), однако, так как их колебания очень невелики, можно считать, что ось вращения на поверхности Земли "рисует" вокруг северного полюса соответствующую кривую. Для перехода к метрам углы в радианах необходимо умножить на радиус Земли. Если устранить очень медленную трендовую составляющую (вековое движение), колебания по $\textstyle x$ и $\textstyle y$ выглядят следующим образом:

Слева представлено движение проекции Земной оси (arcsec) 2000-2008 (точки — ежедневные наблюдения), а справа — отдельно по каждой оси за период 1960-2008. Максимальное отдаление от оси составляет около 0.3 arcsec (1arcsec=$\textstyle 4.848\cdot 10^{-6}$ rad). Поэтому на поверхности Земли это приводит к максимальному радиусу 9 м. В среднем он раза в два меньше.

Спектральный анализ показывает, что эти колебания являются суммой двух гармоник с периодом 365 дней и 433 дня. Первая периодичность совпадает с длительностью года. Вторая оказывается квазипериодической. Амплитуда первой гармоники около 0.09, а второй — 0.15.

Наблюдаемые периодические колебания амплитуды (биения) связаны со сложением этих двух гармоник. Так, например, если колебания имеют различную частоту $\textstyle \omega _{1}$ и $\textstyle \omega _{2}$ и одинаковые амплитуды, их сумма равна:

$A\cos(\omega _{1}t)+A\cos(\omega _{2}t)=2A\cos \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}\,t\right)\cos \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\,t\right).$

Если $\textstyle \omega _{1}\approx \omega _{2}$, то первый множитель имеет большой период изменения "амплитуды" колебаний со средней частотой $\textstyle (\omega _{1}+\omega _{2})/2$ (второй множитель). Результирующая периодичность биений составляет 6.35 лет ($\textstyle (1/365-1/433)^{-1}$).

Приведём динамику расстояния от центра $\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$:

Среднее значение $\textstyle \left\langle r\right\rangle =0.17$. Хорошо видно, что биение не является строго периодическим, а носит стохастический характер.

Одна из наиболее простых моделей чандлеровских колебаний была предложена Колмогоровым. Уравнения Эйлера можно переписать в следующем виде:

${\begin{array}{l}d\Omega _{x}=\;\;\omega \Omega _{y}\,dt\\d\Omega _{y}=-\omega \Omega _{x}\,dt,\end{array}}$

где $\textstyle \omega =\Omega _{z}\cdot (J_{1}-J_{2})/J_{2}$. Земля не является абсолютно твёрдым телом. Климатические движения масс воды, землетрясения и другая внутренняя активность приводят к постоянному изменению тензоров инерции.

В результате потери энергии на преодоление вязкости (пластичности Земли) ось вращения рано или поздно оказалась бы совмещённой с осью симметрии и никакой нутации не было бы. Введём затухание нутации с параметром $\textstyle \lambda$ и стохастические изменения оси вращения в результате активности Земли. Обозначим $\textstyle x=-\Omega _{x}$, $\textstyle y=\Omega _{y}$ и запишем уравнения стохастического осциллятора:

${\begin{array}{l}dx\;=\;(-\lambda \,x-\omega \,y)\,dt\;+\;\sigma \,\delta W_{x}\\dy\;=\;(+\omega \,x-\lambda \,y)\,dt\;+\;\sigma \,\delta W_{y}.\end{array}}$

Их математические свойства мы подробно изучали в разделе $\textstyle \S$, стр. \pageref{stochastic_oscillator}. В частности, после затухания возникает квазипериодическое движение с типичным радиусом $\textstyle \sigma /{\sqrt {\lambda }}$ и частотой $\textstyle \omega$.

$\textstyle \bullet$ Найдём, как ведёт себя расстояние от начала координат $\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$:

${\frac {\partial r}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial ^{2}r}{\partial \mathbf {x} ^{2}}}={\frac {1}{r^{3}}}{\begin{pmatrix}y^{2}&-xy\\-xy&x^{2}\\\end{pmatrix}}.$

При помощи формулы Ито получаем следующее уравнение:

$dr=\left[{\frac {\sigma ^{2}}{2r}}-\lambda r\right]dt+{\frac {\sigma }{r}}\cdot (x\,\delta W_{x}+y\,\delta W_{y}).$

Стохастический член можно выразить через одномерную винеровскую переменную:

${\frac {x\,\delta W_{x}+y\,\delta W_{y}}{r}}={\frac {x\,\varepsilon _{x}+y\,\varepsilon _{y}}{r}}\,{\sqrt {dt}}=\varepsilon {\sqrt {dt}}=\delta W.$

Действительно, если мы решаем уравнение итерациями, какие бы ни были значения $\textstyle x$, $\textstyle y$ к некоторому моменту времени, сумма независимых от них гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon _{x}$, $\textstyle \varepsilon _{y}$ снова даёт гауссово число. Так как $\textstyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$, то оно имеет единичную дисперсию. В результате, для радиуса можно записать одномерное уравнение рэлеевского типа:

$dr=\left[{\frac {\sigma ^{2}}{2r}}-\lambda r\right]dt+\sigma \delta W.$

Снос уравнения имеет равновесную точку $\textstyle r_{\infty }=\sigma /{\sqrt {2\lambda }}$, в которой обращается в ноль. Если расстояние от начала координат существенно больше $\textstyle r_{\infty }$, то детерминированная часть динамики начинает уменьшать радиус, и наоборот. Поэтому $\textstyle r$ совершает характерные стохастические колебания вокруг этого равновесного положения.

Так как решения для $\textstyle x(t)$ и $\textstyle y(t)$ известны, мы автоматически имеем точное решение рэлеевского уравнения, выраженное через две случайные гауссовы величины. В асимптотическом пределе, который мы наблюдаем при изучении вращения Земли, радиус колебаний оси равен:

$r={\frac {\sigma ^{2}}{\sqrt {2\beta }}}\,{\sqrt {\varepsilon _{x}^{2}+\varepsilon _{y}^{2}}}.$

В частности, среднее значение радиуса составляет $\textstyle {\bar {r}}={\sqrt {\pi }}\sigma /2{\sqrt {\lambda }}$.

На самом деле, модель Колмогорова является очень упрощённой имитацией стохастических колебаний. В частности, в ней присутствует только одна периодическая компонента, и, как следствие, нет наблюдаемых биений с периодом в 6.35 лет.

---

Стохастический осциллятор <<	Оглавление	>> Электронный шум

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения