Доказательство от противного — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 46: Строка 46:
 
<math>\textstyle \bullet</math> '''Проблема Библиотекаря'''. Существует Библиотека с книгами. Любая книга внутри своего текста может  упомянуть сама себя (например, в списке литературы привести свое название). Соответственно все книги можно разделить на две группы. В первую попадают книги, которые на себя не ссылаются, а во вторую &ndash; ссылающиеся на себя книги. Кроме этого, существуют две книги, являющиеся каталогами всех книг Библиотеки. Первый каталог перечисляет все те книги, которые на себя не ссылаются, а второй, наоборот &ndash; все ссылающиеся на себя книги:   
 
<math>\textstyle \bullet</math> '''Проблема Библиотекаря'''. Существует Библиотека с книгами. Любая книга внутри своего текста может  упомянуть сама себя (например, в списке литературы привести свое название). Соответственно все книги можно разделить на две группы. В первую попадают книги, которые на себя не ссылаются, а во вторую &ndash; ссылающиеся на себя книги. Кроме этого, существуют две книги, являющиеся каталогами всех книг Библиотеки. Первый каталог перечисляет все те книги, которые на себя не ссылаются, а второй, наоборот &ndash; все ссылающиеся на себя книги:   
  
[[Файл:logic_lib.gif
+
[[Файл:logic_lib.gif]]
  
 
Сформулируем теперь теорему:  
 
Сформулируем теперь теорему:  
Строка 64: Строка 64:
 
Любая ссылка на "естественность" или "видимую не противоречивость" исходных определений не достойна математика, так как это уже эмоции. Единственный путь &ndash; попытаться уйти от психологических формулировок и доказательств к формальным.
 
Любая ссылка на "естественность" или "видимую не противоречивость" исходных определений не достойна математика, так как это уже эмоции. Единственный путь &ndash; попытаться уйти от психологических формулировок и доказательств к формальным.
  
<math>\textstyle \bullet</math> '''Парадокс лжеца'''. Вся математика состоит из  логических утверждений. При этом логика математики бинарна. Утверждение "<math>\textstyle 2<3</math>" или истинно или ложно. Третьего не дано. Именно эта бинарность придаёт математическому доказательству ту чудесную убедительность, ради которой всё и затевалось. Введем обозначение того, что некое логическое утверждение <math>\textstyle A</math> является истинным: <math>\textstyle \mathbf{True}(A)</math>.
+
<math>\textstyle \bullet</math> '''Парадокс лжеца'''. Вся математика состоит из  логических утверждений. При этом логика математики бинарна. Утверждение "<math>\textstyle 2<3</math>" или истинно или ложно. Третьего не дано. Именно эта бинарность придаёт математическому доказательству ту чудесную убедительность, ради которой всё и затевалось. Введем обозначение того, что некое логическое утверждение <math>\textstyle A</math> является истинным:  
  
На самом деле обозначение \mathbf{True} излишне, так как записывая в качестве аксиомы или посылки некоторое утверждение  <math>\textstyle A</math>, мы предполагаем его истинность. Однако, такое обозначение будет удобно для дальнейшего. ''Определим'' высказывание: <blockquote> <math>\textstyle L ;:; \neg \mathbf{True}(L)</math>, </blockquote> где "<math>\textstyle \neg</math>" &ndash; знак логического отрицания, а после двоеточия идёт ''определение'' утверждения <math>\textstyle { L}</math>. Оно  является вариантом парадокса лжеца: "<math>\textstyle L</math> &ndash; истинно, если не истинно <math>\textstyle L</math>". Сформулируем следующую теорему: <blockquote> ''Утверждение L является истинным: L=И.'' </blockquote>
+
<math>\textstyle \mathbf{True}(A)</math>.
 +
 
 +
На самом деле обозначение \mathbf{True} излишне, так как записывая в качестве аксиомы или посылки некоторое утверждение  <math>\textstyle A</math>, мы предполагаем его истинность. Однако, такое обозначение будет удобно для дальнейшего. ''Определим'' высказывание:  
 +
 
 +
<blockquote> <math>\textstyle L \;:\; \neg \mathbf{True}(L)</math>,  
 +
 
 +
</blockquote> где "<math>\textstyle \neg</math>" &ndash; знак логического отрицания, а после двоеточия идёт ''определение'' утверждения <math>\textstyle { L}</math>. Оно  является вариантом парадокса лжеца: "<math>\textstyle L</math> &ndash; истинно, если не истинно <math>\textstyle L</math>". Сформулируем следующую теорему: <blockquote> ''Утверждение L является истинным: L=И.'' </blockquote>
  
 
:<math>\lozenge_1:;пусть;L=Л ;;=>;;\mathbf{True}(L)=Л ;;=>;;L=\neg \mathbf{True}(L)=И.; \square</math>
 
:<math>\lozenge_1:;пусть;L=Л ;;=>;;\mathbf{True}(L)=Л ;;=>;;L=\neg \mathbf{True}(L)=И.; \square</math>
  
\ (Далее "<math>\textstyle =></math>" означает логический вывод; "И" &ndash; истина, "Л" &ndash; ложь). В доказательстве от противного, мы пришли к противоречию. Поэтому исходная посылка <math>\textstyle L=Л</math> не верна и, следовательно, теорема верна. Однако понятно, что это не так. Мы можем провести доказательство и в прямом направлении:
+
(Далее "<math>\textstyle =></math>" означает логический вывод; "И" &ndash; истина, "Л" &ndash; ложь). В доказательстве от противного, мы пришли к противоречию. Поэтому исходная посылка <math>\textstyle L=Л</math> не верна и, следовательно, теорема верна. Однако понятно, что это не так. Мы можем провести доказательство и в прямом направлении:
  
 
:<math>\lozenge_2:; пусть;L=И ;;=>;; \mathbf{True}(L)=И ;;=>;; L=\neg \mathbf{True}(L)=Л;\square,</math>
 
:<math>\lozenge_2:; пусть;L=И ;;=>;; \mathbf{True}(L)=И ;;=>;; L=\neg \mathbf{True}(L)=Л;\square,</math>

Версия 16:42, 20 января 2010

Доказательство от противного – мощный и часто используемый в математике метод. Предположив, что некоторый факт (объект) является истинным (существует), и придя к противоречию, мы заключаем, что факт ложен (объект не существует). Рассмотрим несколько примеров.

Теорема Евклида о бесконечности простых чисел является классическим и самым простым рассуждением от противного:

Не существует самого большого простого числа .

: Пусть это не так, и самое большое простое число существует. Построим число . Оно не делится ни на одно , и больше чем . Мы пришли к противоречию, следовательно, самого большого простого числа (как объекта!) не существует и простых чисел бесконечно много.

Заметим, что не обязательно простое, так как его простой множитель может находится между и , но всё равно будет большим .

Теорема об иррациональности

Не существует натуральных и , таких, что .

: Пусть это не так. Сократим общие множители у , , и возведём всё в квадрат: . Отсюда следует, что является чётным числом, поэтому тоже чётно и представимо при помощи некоторого натурального , как . Подставляя в исходное соотношение, получаем , а, следовательно, и чётно. Но это противоречит тому, что мы сократили все общие множители, а значит таких и не существует.

Психологическая убедительность обоих доказательств не вызывает сомнений. Тем не менее, необходимо помнить, что получив противоречие, мы не всегда доказываем то, что хотим доказать. Противоречие не обязательно свидетельствует об ошибочности исходной посылки. Его может дать любое из утверждений использовавшихся при доказательстве. Особенно их много в теореме об иррациональности . Однако, они на столько "очевидны", что мы считаем ошибочной именно исходную посылку.

Видно, что схема доказательства приведенных теорем одинаковая. Мы показываем, что некоторый объект не существует, если предположение о его существовании приводит к противоречию.

Проблема Брадобрея. В некоторой деревне все мужчины бреются либо сами, либо у брадобрея. Брадобрей (мужчина) бреет только тех, кто сам не бреется. Сформулируем теорему:

Брадобрей бреет себя сам.

Пусть это не так, и брадобрей себя не бреет. Тогда он должен бриться у брадобрея. Значит брадобрей бреет себя.

Сделав отрицание теоремы, и получив противоречие, мы должны прийти к выводу, что теорема верна. Но совершенно ясно, что это не так, и мы можем построить не только обратное доказательство, но и прямое: "если брадобрей бреется сам, то он не может бриться у брадобрея ...". В этом случае вновь получается противоречие.

Приведенное описание деревни со строгими правилами принадлежит Бертрану Расселу, как популярная формулировка проблем, возникающих в попытке определить "множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента". Мы умышленно явный парадокс представили в виде теоремы, чтобы продемонстрировать простой факт:

Получение противоречия в доказательстве от противного может свидетельствовать не об истинности теоремы, а о противоречивости объектов которые участвуют в её формулировке.

Другими словами, нельзя сказать: "возьмём множество всех множеств ..." и докажем "теорему о том, что ..." Сначала необходимо убедиться, что объект, о котором будет идти речь в теореме, существует. В частности, деревня, описанная Расселом, существовать не может. Конечно, возникает вопрос – "а что значит существовать или не существовать, и где не существовать?" Есть объект, определённый выше, и мы можем использовать его при построении новых объектов и теорем о них...

Дело в том, что математическое рассуждение явно или не явно исходит из некоторых аксиом. Именно аксиомы задают свойства объекта. Если в фиксированной системе аксиом поменять хотя бы одну аксиому, может получиться объект с совершенно другими свойствами. Понятно, что произвольно задавать аксиомы нельзя. Они не должны быть противоречивыми, иначе никакого объекта определять не будут. Или, другими словами, – объект определяемый при помощи противоречивых аксиом не существует.

Подробнее мы обсудим элементы формальных аксиоматических систем в следующем разделе, где снова проанализируем проблему брадобрея. Сейчас же рассмотрим ещё одну версию того же парадокса.

Проблема Библиотекаря. Существует Библиотека с книгами. Любая книга внутри своего текста может упомянуть сама себя (например, в списке литературы привести свое название). Соответственно все книги можно разделить на две группы. В первую попадают книги, которые на себя не ссылаются, а во вторую – ссылающиеся на себя книги. Кроме этого, существуют две книги, являющиеся каталогами всех книг Библиотеки. Первый каталог перечисляет все те книги, которые на себя не ссылаются, а второй, наоборот – все ссылающиеся на себя книги:

Logic lib.gif

Сформулируем теперь теорему:

Первый каталог содержит

в списке книг себя.

Пусть это не так. Тогда первый каталог содержится во втором (все книги перечислены в обоих каталогах и каталог есть книга). Но во втором каталоге перечисляются только самоссылающиеся книги, и первого каталога там быть не может. Мы пришли к противоречию, следовательно теорема верна.

Если мы остановимся на этом этапе, то получим заведомо неверный вывод. Понятно, что первый каталог на себя ссылаться не может (он является каталогом не самоссылающихся книг). Как и в случае с брадобреем, мы можем провести как обратное доказательство (от противного), так и прямое. И оба раза получить противоречие.

О чём оно говорит? Понятно, что не об истинности или ложности теоремы. Веря в то, что два различных доказательства должны всегда приводить к одному и тому же, мы вынуждены сделать вывод: объект Библиотека, c заданными свойствами, существовать не может.

Любая ссылка на "естественность" или "видимую не противоречивость" исходных определений не достойна математика, так как это уже эмоции. Единственный путь – попытаться уйти от психологических формулировок и доказательств к формальным.

Парадокс лжеца. Вся математика состоит из логических утверждений. При этом логика математики бинарна. Утверждение "" или истинно или ложно. Третьего не дано. Именно эта бинарность придаёт математическому доказательству ту чудесную убедительность, ради которой всё и затевалось. Введем обозначение того, что некое логическое утверждение является истинным:

.

На самом деле обозначение \mathbf{True} излишне, так как записывая в качестве аксиомы или посылки некоторое утверждение , мы предполагаем его истинность. Однако, такое обозначение будет удобно для дальнейшего. Определим высказывание:

,

где "" – знак логического отрицания, а после двоеточия идёт определение утверждения . Оно является вариантом парадокса лжеца: " – истинно, если не истинно ". Сформулируем следующую теорему:

Утверждение L является истинным: L=И.

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \lozenge_1:;пусть;L=Л ;;=>;;\mathbf{True}(L)=Л ;;=>;;L=\neg \mathbf{True}(L)=И.; \square}

(Далее "" означает логический вывод; "И" – истина, "Л" – ложь). В доказательстве от противного, мы пришли к противоречию. Поэтому исходная посылка Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle L=Л} не верна и, следовательно, теорема верна. Однако понятно, что это не так. Мы можем провести доказательство и в прямом направлении:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \lozenge_2:; пусть;L=И ;;=>;; \mathbf{True}(L)=И ;;=>;; L=\neg \mathbf{True}(L)=Л;\square,}

и снова прийти к противоречию. Таким образом, мы не способны ни доказать ни опровергнуть теорему и ходим по замкнутому кругу.

Причина этого, как и раньше, состоит в том, что объект используемый при формулировке теоремы противоречив и, следовательно, не может существовать. Второй вопрос, почему объект , построенный столь "конструктивным" образом, не существует? Вокруг парадокса лжеца ломают копья со времен древних греков. Самое простое объяснение состоит в том, что при определении используется бесконечная рекурсия. Объект определяется сам через себя и при этом, говоря языком программирования, нет точки остановки этой рекурсии. Например, компьютер не смог бы оперировать с таким определением и просто "завис" бы. Это же рискует сделать и человек пытающийся глубоко вдуматься в . Поэтому, такое построение (определение) объекта просто некорректно.