http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2&feed=atom&action=historyДискретная задача двух конвертов - История изменений2024-03-29T09:23:32ZИстория изменений этой страницы в викиMediaWiki 1.31.15http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2&diff=2215&oldid=prevWikiSysop: Защищена страница «Дискретная задача двух конвертов» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))2010-09-15T12:15:24Z<p>Защищена страница «<a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2" title="Дискретная задача двух конвертов">Дискретная задача двух конвертов</a>» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="1" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="1" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 12:15, 15 сентября 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-notice" lang="ru"><div class="mw-diff-empty">(нет различий)</div>
</td></tr></table>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2&diff=2203&oldid=prevWikiSysop: /* Дискретная задача двух конвертов */2010-09-13T18:45:06Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Дискретная задача двух конвертов</span></span></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 18:45, 13 сентября 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1" >Строка 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 1:</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Этот раздел для краткости был исключён из статьи [[Парадокс двух конвертов]]</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Дискретная задача двух конвертов==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Дискретная задача двух конвертов==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
</table>WikiSysophttp://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2&diff=2202&oldid=prevWikiSysop: Новая страница: «==Дискретная задача двух конвертов== <math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь дискретный вариа…»2010-09-13T18:43:54Z<p>Новая страница: «==Дискретная задача двух конвертов== <math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь дискретный вариа…»</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>==Дискретная задача двух конвертов==<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь дискретный вариант задачи двух конвертов. Пусть в конвертах может появится одно из следующих <math>\textstyle n+1</math> чисел:<br />
<br />
:<center><math>1,\;2,\;2^2,\;2^3,\;...,\;2^n.</math></center><br />
<br />
Соответственно возможны следующие пары:<br />
<br />
:<center><math>(1,2);\;(2,2^2);\;(2^2,2^3);\;....;\;(2^{n-1},2^{n}),</math></center><br />
<br />
Они выбираются равновероятно, затем конверты перемешиваются.<br />
<br />
Чтобы по-возможности лишить игрока знания о краевых эффектах, снова ограничим его. Если в открытом конверте обнаруживается 1 или <math>\textstyle 2^n</math> (крайние значения сумм), игрок ничего не выбирает и не получает (раунд игры пропускается). Во всех остальных случаях, как и прежде, он может забрать деньги из открытого конверта или выбрать вместо него закрытый.<br />
<br />
Пусть, например, <math>\textstyle n=6</math>, т.е. разрешены суммы от 1 до 64. В открытом конверте (если раунд игры не прекращён) равновероятно могут находится суммы от 2 до 32. Соответственно, во втором конверте, снова равновероятно, будут суммы в два раза больше или меньше. Изобразим это в виде следующего дерева: <br />
<br />
<center>[[File:envel_1_64.png]]</center><br />
<br />
Пары крайних значений 1,2 и 32,64 во втором конверте встречаются по разу, а остальные числа &mdash; по два раза. Поэтому гистограммы появления сумм в первом и втором конверте (число возможностей) имеют вид: <br />
<br />
<center>[[File:envel_n.png]]</center><br />
<br />
Для <math>\textstyle n+1</math> чисел вероятность появления (в игре) в первом конверте сумм от 2 до <math>\textstyle 2^{n-1}</math> одинаковые и равны <math>\textstyle 1/(n-1)</math>. Чтобы найти вероятности во втором конверте необходимо посчитать число квадратиков в гистограмме. В нижнем ряду их <math>\textstyle n+1</math>, а в верхнем <math>\textstyle n+1-4</math>. Поэтому всего их <math>\textstyle 2(n-1)</math>. В результате вероятности сумм в середине диапазона равны <math>\textstyle 1/(n-1)</math>, а по краям &mdash; <math>\textstyle (1/2)/(n-1)</math>.<br />
<br />
Нарисуем эти два распределения: <br />
<br />
<center>[[File:envel_n2.png]]</center><br />
<br />
При большом <math>\textstyle n</math> заштрихованные области одинаковых вероятностей могут быть сколь угодно широкими. Кажется, что "краевыми эффектами" в этом случае можно пренебречь, оба конверта имеют одинаковые распределения и, следовательно, приносят одинаковый доход.<br />
<br />
Однако это не так, даже при <math>\textstyle n\to\infty</math>! Действительно, найдём доход при выборе первого (открытого) конверта:<br />
<br />
:<center><math>v_1=\frac{2+...+2^{n-1}}{n-1} = \frac{2 (2^{n-1}-1)}{n-1}\to \frac{2^n}{n},</math></center><br />
<br />
где использована известная формула для суммы геометрической прогрессии <math>\textstyle 1+q+q^2+...+q^n=(q^{n+1}-1)/(q-1)</math> и записано выражение, к которому стремиться <math>\textstyle v_1</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math>. Аналогично вычисляется средний доход при выборе второго конверта:<br />
<br />
:<center><math>v_2 = \frac{2+...+2^{n-2}}{n-1}+\frac{1+2+2^{n-1}+2^{n}}{2(n-1)} = \frac{5}{4}\,v_1.</math></center><br />
<br />
Таким образом, относительная доходность второй стратегии ''при любом'' <math>\textstyle n</math> больше на 25\%, чем для первой стратегии.<br />
<br />
Разберёмся с тем, что получилось. Для больших <math>\textstyle n</math> вклад в <math>\textstyle v_1</math> или <math>\textstyle v_2</math> левой границы (суммы 1 и 2) исчезающе мал и роли она не играет. Основной вклад в разницу средних даёт правая граница. И этот вклад остаётся, даже когда она формально отодвигается на бесконечность. Причина связана с быстрым (экспоненциальным) ростом величины суммы <math>\textstyle 2^n</math>, потенциально получаемой во втором конверте. В тоже время эта сумма ни когда не встречается в первом конверте. При больших <math>\textstyle n</math> она равна сумме всех денег до этой границы:<br />
<br />
:<center><math>1+2+...+2^{n-1} = 2^{n} - 1.</math></center><br />
<br />
Именно это приводит к тому, что относительная доходность выбора второго конверта оказывается больше, чем первого. Кажущийся парадокс возникает потому, что при <math>\textstyle n\to \infty</math> существует сколь угодно много вариантов появления сумм в обоих конвертах, которые имеют одинаковую вероятность. Это и создаёт иллюзию равноправия конвертов.</div>WikiSysop