Дипольный и магнитный моменты — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Магнитостатика]] <<  
 
  | width="40%"|[[Магнитостатика]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5])  
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования Лоренца для полей]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования Лоренца для полей]]
 
|}
 
|}
Строка 200: Строка 200:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Магнитостатика]] <<  
 
  | width="40%"|[[Магнитостатика]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5])
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования Лоренца для полей]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования Лоренца для полей]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 18:53, 2 июля 2013

Магнитостатика << Оглавление (Глава 5) >> Преобразования Лоренца для полей


Если заряды сосредоточены в некоторой области пространства, то можно найти приближенное значение интегралов (), (), стр.\pageref{phi_int_stat}, на большом расстоянии от зарядов. Будем считать, что , и, пренебрегая вторым порядком малости по , запишем разложение:

где в последнем приближенном равенстве мы воспользовались разложением . Вводя полный заряд , как интеграл по объёму от плотности заряда и вектор дипольного момента :

выражение для потенциала () можно записать в следующем виде:

Беря градиент от потенциала, получаем электрическое поле . Градиент от первого слагаемого даёт кулоновское поле, а градиент от второго вычисляется, как производная произведения:

где при взятии производной мы проигнорировали сингулярность, так как значение поля нас интересует на больших расстояниях от начала координат. Вводя единичный вектор , окончательно имеем:

Ведущее кулоновское приближение является центрально симметричным полем. Дипольное слагаемое нарушает эту симметрию, так как появляется выделенное направление, определяемое вектором , например:

E dipol.png

Дипольный момент направлен от отрицательного заряда к положительному. Если заряды по модулю одинаковые (), момент равен заряду, умноженному на расстояние между зарядами . В этом случае и поле на оси диполя убывает как .

Найдём силу, действующую на диполь во внешнем электрическом поле. Будем считать, что диполь достаточно маленький по сравнению со степенью неоднородности электрического поля. Поэтому последнее разложим в ряд Тейлора по каждой компоненте:

где и производная во втором слагаемом вычисляется в начале координат, где расположен диполь. Суммарная сила, действующая на систему точечных зарядов, может быть переписана в виде интеграла:

Если , то интеграл переходит в сумму по всем зарядам. Подставляя разложение для электрического поля, имеем

где введены полный заряд системы и дипольный момент , а постоянные коэффициенты разложения поля вынесены за интеграл.

Так как ротор электрического поля в электростатике равен нулю, справедливо тождество, получаемое раскрытием двойного векторного произведения по формуле "бац минус цаб":

Поэтому выражение для силы можно переписать следующим образом:

Сила — это градиент потенциальной энергии с обратным знаком: , следовательно, потенциальная энергия электрически нейтрального диполя () равна:

Потенциальная энергия достигает минимума, когда диполь разворачивается по электрическому полю. Подобный разворот возникает в результате воздействия суммарного момента силы, который мы запишем в первом приближении по неоднородности электрического поля:

Когда и параллельны, момент силы становится нулевым.

Статические магнитные поля создаются постоянными токами, уходящими на бесконечность, или замкнутыми токами. Если замкнутые токи локализованы в пространстве, то можно получить приближенное выражение для магнитного поля на больших расстояниях от такого тока. Будем считать, что , и, аналогично дипольному разложению, ряд для подставим в (), стр.\pageref{A_stat}:

Интеграл по замкнутым стационарным токам внутри объёма равен нулю (первый интеграл). Например, для тонкого проводника и объёмный интеграл переходит в контурный, равный нулю для замкнутого контура (замкнутого проводника). Подынтегральную функцию второго интеграла можно записать следующим образом:

(EQN)

Уравнение непрерывности для сохранения заряда (), стр.\pageref{elec_q_save}, в стационарном случае имеет вид . Учитывая это, раскроем производную произведения ( H):

При получении интегрального соотношения учтено, что при интегрировании по объёму переходит в поверхностный интеграл, который равен нулю, так как токи локализованы и из объёма не вытекают. Поэтому интеграл от левой части () равен с обратным знаком интегралу от первого слагаемого в правой части: , . В результате для и любого постоянного вектора имеем:

(EQN)

Введя магнитный момент:

(EQN)

потенциал магнитного поля можно записать в следующем виде:

Взяв ротор от этого выражения, получаем магнитное поле:

(EQN)

где — единичный вектор в направлении радиус-вектора .

Пусть постоянный ток течёт по плоскому витку тонкого провода. Аналогично выводу выражения для силы взаимодействия двух проводников (стр. \pageref{lorenz_cont}) перейдём в () от интеграла по объёму к контурному интегралу ():

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма (см. ниже первый рисунок), поэтому

где — площадь витка провода, а — нормаль к нему. В частности, магнитный момент кольцевого тока радиуса равен .

На больших расстояниях от тока магнитное поле () похоже на поле электрического диполя. Однако для диполя линии напряжённости электрического поля начинаются на зарядах. Для кольцевого тока они "нанизаны" вокруг кольца аналогично тому, как они окружали бесконечный прямолинейный ток:

B current4.png

Найдём магнитный момент () системы точечных частиц, имеющих постоянное отношение заряда к массе (например, как у электронов):

Вводя нерелятивистский момент импульса -й частицы , получаем:

(EQN)

где в правой части стоит суммарный нерелятивистский момент импульса системы. В ряде стационарных случаев (например, для кольцевого тока) скорость частиц по модулю постоянна. Поэтому для скорости можно записать , где , — релятивистские импульс и энергия. Так как энергия для всех частиц одинакова, её можно вынести за сумму, и в выражении выше будет стоять релятивистский момент импульса и .

Магнитный момент определяет силу и момент силы, действующие на "маленький" замкнутый ток во внешнем магнитном поле. Запишем разложение в ряд Тейлора по каждой компоненте слабо неоднородного магнитного поля в окрестности начала координат (см. также стр.\pageref{page_E_expand}):

где и производные от магнитного поля вычислены в точке . Подставляя разложение для магнитного поля в интегральное представление силы Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_cont}, имеем:

Для замкнутого ограниченного тока первый интеграл от равен нулю. Для вычисления второго интеграла заметим, что ротор магнитного поля в точке, где нет токов, которые создают это поле, равен нулю. Поэтому

(EQN)

где здесь и ниже оператор набла действует только на магнитное поле. Таким образом, подынтегральная функция равна:

Учитывая тождество (), справедливое для и любого постоянного (относительно переменной интегрирования) вектора, в качестве которого возьмём , имеем:

Вводя магнитный момент, получаем силу, действующую на замкнутый ток в слабо неоднородном поле:

где учтено и () с вместо . Производные действуют, естественно, только на магнитное поле и вычисляются в "центре" замкнутого тока, т.е. в точке относительно которой рассчитывается магнитный момент. Градиент потенциальной энергии частицы равен с обратным знаком силе . Поэтому потенциальная энергия маленького замкнутого тока равна

(EQN)

Как и для электрического диполя (стр.\pageref{electro_dipol}), потенциальная энергия достигает минимума, когда вектор магнитного момента ориентирован по магнитному полю.

Учитывая только ведущий член разложения магнитного поля (приближение однородного поля), можно найти суммарный момент силы:

Второй интеграл равен нулю. Это следует из производной произведения:

где во втором равенстве учтено, что . При интегрировании по объёму, дивергенция в левой части этого соотношения (по теореме Гаусса) даёт интеграл по поверхности, равный нулю, так как токи из объёма не вытекают. В результате, учитывая (), получаем момент силы, равный:

Момент силы определяет изменение момента импульса системы частиц:

Поэтому при малых скоростях, учитывая (), можно записать:

Из этого уравнения следует, что момент импульса системы зарядов вращается с угловой скоростью вокруг магнитного поля , не меняя своей длины и угла с полем. Такое вращение называется ларморовой прецессией.

Большинство элементарных частиц обладают спином — собственным моментом вращения. Спин — это момент импульса в системе покоя частицы. При взаимодействии частиц сохраняется полный момент системы, равный сумме моментов импульса движения и спинов частиц. Для фермионов спин всегда полуцелый (в долях постоянной Планка): , , ... Для бозонов он целый: , ,... Изучение взаимодействия частиц с внешним магнитным полем позволяет измерять их магнитные моменты. Между магнитным моментом и спином существует пропорциональность, аналогичная соотношению (). Однако коэффициент пропорциональности для различных частиц разный:

где индивидуальный для частиц данного типа параметр называется -фактором. Так, для электрона он приближённо равен . Вычисление -факторов производится при помощи квантовой электродинамики и даёт результаты, совпадающие с экспериментом с высокой точностью.



Магнитостатика << Оглавление (Глава 5) >> Преобразования Лоренца для полей

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии