Динамическое уравнение для средних — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Динамическое уравнение для средних» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Для получения информации о случайном процессе <math>\textstyle x(t)</math> можно сначала решить уравнение Ито, а затем вычислить ''наблюдаемые'' характеристики процесса, которые, в конечном счёте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.
 +
 +
Рассмотрим итерационную схему в моменты времени <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle t+dt</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x(t+dt) = x + a(x,t)\,dt + b(x,t)\,\varepsilon\, \sqrt{dt}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.1)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Значение процесса <math>\textstyle x=x(t)</math> и гауссова величина <math>\textstyle \varepsilon</math> являются двумя ''независимыми'' случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число <math>\textstyle x(t+dt)</math>. Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью <math>\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x+dt, t+dt)</math>. Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с <math>\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x, t)\cdot P(\varepsilon)</math>, где <math>\textstyle P(\varepsilon)</math> &mdash; гауссова плотность вероятности. Так как <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle \varepsilon</math> независимы и <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>, то усреднение последнего слагаемого в (3.1) даёт ноль, поэтому:
 +
 +
:<center><math>\left\langle x(t+dt)\right\rangle = \left\langle x(t)\right\rangle + \left\langle a(x(t), t)\right\rangle \,dt.</math></center>
 +
 +
Перенося <math>\textstyle \left\langle x(t)\right\rangle </math> влево и разделив обе части на <math>\textstyle dt</math>, мы приходим к динамическому уравнению для среднего:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\left\langle x\right\rangle }{dt}= \dot{\left\langle x\right\rangle } = \left\langle a(x, t)\right\rangle . </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.2)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Если <math>\textstyle a(x,t)=\alpha(t)+\beta(t)\, x</math>, то (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:
 +
 +
:<center><math>\dot{\left\langle x\right\rangle } = \alpha(t)+\beta(t)\, \left\langle x\right\rangle .</math></center>
 +
 +
Поэтому при любой волатильности <math>\textstyle b(x,t)</math> среднее значение процесса с линейным по <math>\textstyle x</math> сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!
 +
 +
Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию <math>\textstyle F=F(x,t)</math>, изменение которой подчиняется [[Лемма Ито|лемме Ито (2.15)]], получаем:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> { \;\frac{d\left\langle F(x,t)\right\rangle }{dt} = \left\langle \frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\cdot \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2}\cdot \frac{\partial^2 F }{\partial x^2} \right\rangle \; }. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.3)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Выбирая те или иные функции <math>\textstyle F(x,t)</math>, можно получить множество полезных соотношений для средних величин.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
 +
 +
:<center><math>dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W,</math></center>
 +
 +
решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по <math>\textstyle x</math>, и сразу получается зависимость среднего от времени:
 +
 +
:<center><math>\dot{\left\langle x\right\rangle } = -\beta\cdot\bigl(\left\langle x\right\rangle -\alpha\bigr)\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x\right\rangle = \alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t}.</math></center>
 +
 +
В качестве начального условия при <math>\textstyle t_0=0</math> выбрано значение среднего, равное <math>\textstyle x_0</math>. Вообще, если в начальный момент времени <math>\textstyle x=x_0</math>, то средние произвольной степени при <math>\textstyle t_0=0</math> равны <math>\textstyle \left\langle x^n\right\rangle =x^n_0</math>. Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: <math>\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x, t_0)=\delta(x-x_0)</math>. В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, ''задавая'' <math>\textstyle \left\langle x^n\right\rangle </math> в момент <math>\textstyle t_0=0</math>.
 +
 +
Выбирая теперь <math>\textstyle F=x^2</math>, получим уравнение для квадрата:
 +
 +
:<center><math>\dot{\left\langle x^2\right\rangle } = -2 \beta\,\left\langle x^2\right\rangle + 2\alpha\beta \,\left\langle x\right\rangle + \sigma^2.</math></center>
 +
 +
Функция <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle </math> нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:
 +
 +
:<center><math>\left\langle x^2\right\rangle = \left[\alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t}\right]^2 + \gamma^2\,\left(1-e^{-2\beta t}\right),</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \gamma=\sigma/\sqrt{2\beta}</math>. Откуда волатильность процесса равна:
 +
 +
:<center><math>\sigma_x(t) = \gamma\,\sqrt{1-e^{-2\beta t}}.</math></center>
 +
 +
Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая <math>\textstyle F=x^n</math>, имеем:
 +
 +
:<center><math>\dot{\left\langle x^n\right\rangle }= 0 \;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\; \left\langle x^{n}\right\rangle = \alpha \left\langle x^{n-1}\right\rangle + (n-1)\gamma^2 \,\left\langle x^{n-2}\right\rangle .</math></center>
 +
 +
Так как среднее единицы равно единице: <math>\textstyle \left\langle x^0\right\rangle =\left\langle 1\right\rangle =1</math>, из этого уравнения последовательно находим:
 +
 +
:<center><math>\left\langle x\right\rangle = \alpha,\;\;\;\;\left\langle x^2\right\rangle =\alpha^2+\gamma^2,\;\;\;\; \left\langle x^3\right\rangle =\alpha^3+3\alpha\gamma^2,\;\;\;\; \left\langle x^4\right\rangle =\alpha^4+6\alpha^2\gamma^2+3\gamma^4.</math></center>
 +
 +
Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр. \pageref{sol_OU}):
 +
 +
:<center><math>x = \alpha + \gamma\,\varepsilon.</math></center>
 +
 +
Для этого необходимо возвести <math>\textstyle x</math> в соответствующую степень и усреднить, с учётом <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^{2n+1}\right\rangle =0</math>, <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^{2n}\right\rangle =1\cdot 3\cdot 5\cdot ..\cdot (2n-1)</math>.
 +
 +
В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения: <math>\textstyle dx = (\alpha + \beta x)\, dt + (\sigma +\gamma x)\, \delta W</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности <math>\textstyle P(x)</math> в стационарном режиме. Выберем функцию <math>\textstyle F(x)</math>, не зависящую от времени, и положим производную <math>\textstyle \left\langle F(x)\right\rangle </math> равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:
 +
 +
:<center><math>\int\limits^{\infty}_{-\infty}P(x)\, \left[ a(x)\cdot \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x)}{2}\cdot \frac{\partial^2 F }{\partial x^2} \right]\, dx = 0.</math></center>
 +
 +
Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе &mdash; два, и считая, что <math>\textstyle P(x)</math> достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:
 +
 +
:<center><math>\int\limits^{\infty}_{-\infty}\left[ - \frac{\partial (a\cdot P)}{\partial x} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\partial^2 (b^2\cdot P) }{\partial x^2} \right]\,F(x)\, dx = 0.</math></center>
 +
 +
Так как функция <math>\textstyle F(x)</math> произвольна, то интеграл будет равен нулю, только если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается ''стационарное уравнение Фоккера - Планка'':
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ a(x) \cdot P\bigr] = \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2}{\partial x^2} \;\bigl[ b^2(x) \cdot P \bigr]</math></center>
 +
 +
которое легко интегрируется:
 +
 +
:<center><math>a(x) P = \frac{1}{2}\;\frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ b^2(x) \cdot P\bigr].</math></center>
 +
 +
Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени <math>\textstyle \left\langle x^m\right\rangle </math>. Поэтому, устремив <math>\textstyle x\to\infty</math>, мы получим слева и справа ноль, что подтверждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{1}{2}\, \frac{P'(x)}{P(x)} =\frac{a(x)}{b^2(x)} - \frac{b'(x)}{b(x)}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.4)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где штрих у функций &mdash; это производная по <math>\textstyle x</math>. Его решение имеет вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|
 +
<math>P(x) = \frac{C}{b^2(x)}\,
 +
\exp \left\{2\int\frac{a(x)}{b^2(x)} \, dx \right\}{\bigl|} . </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.5)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Константа интегрирования <math>\textstyle C</math> находится из условия нормировки. Выполнимость этого условия является критерием возможности стационарного решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. \pageref{log_winer}) со сносом <math>\textstyle a(x)=\mu \, x</math> и волатильностью <math>\textstyle b(x)=\sigma\, x</math> имеем <math>\textstyle P(x)\sim x^{-2+2\mu/\sigma^2}</math>. Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
 +
 +
:<center><math>dx = -\beta\cdot(x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W.</math></center>
 +
 +
Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:
 +
 +
:<center><math>P(x) = \frac{1}{\sigma}\,\sqrt{\frac{\beta}{\pi}}\,\exp\left\{-\frac{(x-\alpha)^2}{\sigma^2/\beta}\right\},</math></center>
 +
 +
которая является распределением Гаусса. В терминах случайных величин <math>\textstyle P(x)</math> можно записать в виде:
 +
 +
:<center><math>x = \alpha + \frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\, \varepsilon,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math> &mdash; гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти (<math>\textstyle \lessdot</math> H) асимптотическую плотность вероятности для процесса <math>\textstyle dx = -\beta\cdot (x-\alpha) \,dt + \sigma\, x^\nu\, \delta W</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим ещё одну задачу:
 +
 +
:<center><math>dx = \sigma \sqrt{\alpha^2+x^2}\,\delta W.</math></center>
 +
 +
Так как снос равен нулю <math>\textstyle a=0</math>, то среднее значение не изменяется со временем <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_0</math>. Для среднего квадрата имеем:
 +
 +
:<center><math>\dot{\left\langle x^2\right\rangle } = \sigma^2\, (\alpha^2+\left\langle x^2\right\rangle )\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x^2\right\rangle = (\alpha^2 + x^2_0)\,e^{\sigma^2 \,t} - \alpha^2.</math></center>
 +
 +
Поэтому дисперсия процесса
 +
 +
:<center><math>\sigma^2_x(t) = (\alpha^2 + x^2_0)\,\left(e^{\sigma^2 \,t} -1\right)</math></center>
 +
 +
в пределе <math>\textstyle t\to\infty</math> стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом случае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:
 +
 +
:<center><math>P(x) = \frac{\alpha/\pi}{x^2+\alpha^2},</math></center>
 +
 +
к которому действительно приближается плотность вероятности процесса. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют <math>\textstyle \left\langle x^n\right\rangle </math> при <math>\textstyle n>1</math>.
  
  

Текущая версия на 17:45, 15 марта 2010

Порождающий процесс Винера << Оглавление >> Процесс Феллера

Для получения информации о случайном процессе можно сначала решить уравнение Ито, а затем вычислить наблюдаемые характеристики процесса, которые, в конечном счёте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.

Рассмотрим итерационную схему в моменты времени и :

(3.1)

Значение процесса и гауссова величина являются двумя независимыми случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число . Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью . Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с , где — гауссова плотность вероятности. Так как и независимы и , то усреднение последнего слагаемого в (3.1) даёт ноль, поэтому:

Перенося влево и разделив обе части на , мы приходим к динамическому уравнению для среднего:

(3.2)

Если , то (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:

Поэтому при любой волатильности среднее значение процесса с линейным по сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!

Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию , изменение которой подчиняется лемме Ито (2.15), получаем:

(3.3)

Выбирая те или иные функции , можно получить множество полезных соотношений для средних величин.

В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по , и сразу получается зависимость среднего от времени:

В качестве начального условия при выбрано значение среднего, равное . Вообще, если в начальный момент времени , то средние произвольной степени при равны . Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: . В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, задавая в момент .

Выбирая теперь , получим уравнение для квадрата:

Функция нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:

где . Откуда волатильность процесса равна:

Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая , имеем:

Так как среднее единицы равно единице: , из этого уравнения последовательно находим:

Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр. \pageref{sol_OU}):

Для этого необходимо возвести в соответствующую степень и усреднить, с учётом , .

В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения: ( H).

Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности в стационарном режиме. Выберем функцию , не зависящую от времени, и положим производную равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:

Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе — два, и считая, что достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:

Так как функция произвольна, то интеграл будет равен нулю, только если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается стационарное уравнение Фоккера - Планка:

которое легко интегрируется:

Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени . Поэтому, устремив , мы получим слева и справа ноль, что подтверждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

(3.4)

где штрих у функций — это производная по . Его решение имеет вид:

(3.5)

Константа интегрирования находится из условия нормировки. Выполнимость этого условия является критерием возможности стационарного решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. \pageref{log_winer}) со сносом и волатильностью имеем . Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.

В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:

которая является распределением Гаусса. В терминах случайных величин можно записать в виде:

где — гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти ( H) асимптотическую плотность вероятности для процесса .

Рассмотрим ещё одну задачу:

Так как снос равен нулю , то среднее значение не изменяется со временем . Для среднего квадрата имеем:

Поэтому дисперсия процесса

в пределе стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом случае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:

к которому действительно приближается плотность вероятности процесса. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют при .



Порождающий процесс Винера << Оглавление >> Процесс Феллера

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения