Динамика в неинерциальной системе

Движение частиц и света <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Парадоксы остановки и близнецов

---

Вернёмся к общему решению для траектории свободной частицы в жёсткой равноускоренной системе отсчёта (), (), стр.\,\pageref{nonint_traj_gestk_part_y}. Дифференцируя эти выражения по времени, несложно найти компоненты координатной скорости частицы:

С их помощью запишем квадрат физической скорости:

Это соотношение можно переписать в виде:

где и аналогично для начального значения с индексом 0. В правой части равенства стоит константа, поэтому при движении частицы сохраняется (является интегралом движения) следующая величина:

(EQN)

которую мы назовём энергией частицы. Параметр на который умножен интеграл движения, будем считать массой частицы.

В нерелятивистском пределе малых скоростей разложим корень в ряд Тейлора:

где во втором приближенном равенстве мы пренебрегли в знаменателе ускорением, считая . Равноускоренная неинерциальная система отсчёта в классической механике эквивалента однородному полю тяжести с (направленному против оси ). Поэтому член соответствует потенциальной энергии, а выражение для является полной энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная), включая энергию покоя .

Таким образом, сохраняющаяся величина () является полной энергией релятивистской частицы в неинерциальной системе отсчёта. Эта энергия эффективно учитывает силу инерции которая действует на частицу, поэтому зависит не только от её скорости, но и от положения.

Умножим числитель и знаменатель в выражении для энергии на :

Так как в жесткой равноускоренной системе отсчёта в координатах Мёллера интервал вдоль траектории движения частицы равен:

и , энергию можно переписать виде:

Вводя 4-вектор , аналогично инерциальной системе отсчёта, определим 4-скорость и 4-импульс частицы:

При помощи метрического тензора опустим индекс вниз, определив:

Так как , то квадрат 4-вектора скорости равен единице, а квадрат 4-импульса, как обычно, равен квадрату инвариантной массы частицы:

Для жесткой равноускоренной системы и , поэтому сохраняющаяся полная энергия совпадает с нулевой компонентой контравариантного 4-вектора :

Обратим внимание, что в неинерциальных системах отсчёта, в отличие от инерциальных в лоренцевых координатах, коэффициенты метрического тензора зависят от координат. Поэтому, является отличной от функцией координат и в жесткой неинерциальной системе отсчёта сохраняется именно , а не .

Так как скорость частицы под воздействием сил инерции, в общем случае, меняет своё направление, трёхмерный импульс не сохраняется. Это относится как к , так и к . Сохраняется только полная энергия.

Проведём некоторые обобщения. Определим квадрат физической скорости частицы:

(EQN)

где — физическая длина и — физическое время. Деля числитель и знаменатель на , получаем связь квадрата физической скорости (помечена тильдой) с компонентами координатной скорости:

(EQN)

где введено сокращение

Соответственно компонентами физической скорости (снова тильда) назовём:

(EQN)

так, что

Отметим также соотношение:

которое получается после свёртки определения () с .

Собственное время частицы (интервал вдоль её траектории) можно записать в виде:

или, подставляя интервал физического времени, как:

Поэтому компоненты вектора координатной 4-скорости равны:

Подчеркнём еще раз, что — это физическая, а не координатная скорость.

Теперь мы можем определить полную энергию частицы:

Подставляя компоненты 4-скорости, окончательно имеем

(EQN)

В главе мы докажем, что если метрические коэффициенты в неинерциальной системе отсчёта не зависят от времени, то выражение () является интегралом движения. Другими словами в стационарном случае полная энергия частицы всегда сохраняется.

Так, равномерно вращающаяся система отсчёта является стационарной. Продемонстрируем, что энергия частицы () в этой системе постоянна. Для интервала (стр.\,\pageref{nonin_rot_ds_Born})

физическое время и квадрат физической длины равны:

Поэтому квадрат физической длины () равен:

где точка — производная по времени . Соответственно, энергия частицы равна:

(EQN)

Благодаря соотношениям (), стр.\,\pageref{nonin_rot_light_r1} числитель и знаменатель в выражении для энергии постоянен.

Отметим простое частное решение приводящее к постоянству энергии:

В лабораторной системе отсчёта такая траектория частицы соответствует движению по прямой, проходящей через центр вращения. В координатных величинах неинерциальной системы отсчёта это движение выглядит как раскручивающая спираль.

---

Движение частиц и света <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Парадоксы остановки и близнецов

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии