Диверсификация

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Эмпирические закономерности << Оглавление >> Портфель на всю жизнь

Участники рынка редко покупают только один финансовый инструмент. Чаще они формируют инвестиционный портфель, содержащий в своём составе много различных активов, например, акций. Поэтому перед инвестором стоит задача выбора оптимального состава портфеля.

Изменения цены любой акции в два последовательных момента времени практически независимы. Однако между собой изменения цен различных акций за один и тот же период времени часто оказываются существенно скоррелированными. Этот факт необходимо учитывать при формировании портфеля.

Рассмотрим компаний, акции которых можно купить на рынке. Пусть изменение цены акции -й компании характеризуется логарифмической доходностью . Доходность может включать также дивидендный доход. Везде в этом разделе нижний индекс обозначает номер компании, а не момент времени.

При формировании портфеля необходимо принять решение, какую долю имеющихся денег потратить на покупку акций -той компании. Если её цена равна и их куплено штук, то . Сумма всех долей в портфеле должна равняться единице:

Примем модель, в которой последовательные доходности данной акции являются независимыми стационарными случайными числами, имеющими среднее и волатильность . Тогда и суммарная доходность портфеля из акций за фиксированный период времени также будет случайной величиной:

имеющей своё среднее значение:

(EQN)

и волатильность:

(EQN)

где ковариационные\index{ковариационный коэффициент} коэффициенты доходностей между акциями -й и -й компаний.

Выбрав в портфеле тот или иной набор весов , мы для него получим некоторую среднюю доходность и волатильность . Если перебрать все возможные портфели, то на плоскости (, ) получится похожая на зонтик область, называемая достижимым множеством:

Portf1.png

Из достижимого множества выбирается такой портфель, который при фиксированной волатильности имеет максимальный доход, или при фиксированной доходности — минимальную волатильность. Таким портфелям на рисунке соответствует кривая , так называемое эффективное множество.

Действительно, зафиксировав (точка ) и поднимаясь вдоль прямой для получения наибольшего дохода, мы попадём в точку на кривой . Аналогичное рассуждение справедливо и при движении в горизонтальном направлении.

Кривая явным образом отражает расхожее эмпирическое утверждение о том, что чем больше доход, тем выше риск, и наоборот. При этом: мерой измерения риска служит волатильность портфеля. Интуитивно это понятно. Чем больше волатильность, тем более вероятны существенные отклонения доходности портфеля от среднего, в том числе и в отрицательную область убытков.

Инвестор имеет определенную свободу в выборе точки на кривой эффективного множества. Однако эта свобода исчезает, если помимо покупки акций планируется разместить часть средств в некоторый актив с гарантированной доходностью (risk-free). В качестве такого актива может выступать, например, банковский депозит или надежная облигация.

Предположим, что инвестор выбрал портфель акций с доходностью и волатильностью . Тогда комбинацию из этого портфеля и безрискового депозита можно рассматривать, как новый портфель из двух активов. Один — с параметрами (), другой - с (). Депозит имеет нулевую волатильность и нулевую корреляцию с портфелем, так как независимо от ситуации на рынке он всегда приносит один и тот же доход .

Пусть в акции вложена часть денег , а остальные размещены в безрисковом активе. Тогда уравнения (), () для двух активов имеют вид: \begin{eqnarray} \bar{r} &=& w r_M + (1-w) r_f \nonumber \\ \sigma &=& w \sigma_M. \nonumber \end{eqnarray} Исключая , получаем уравнение прямой:

(EQN)

Эта прямая должна проходить как можно выше, т.е. при фиксированной волатильности давать максимальный доход. Одна её точка закреплена, а другая находится внутри множества портфелей. Поэтому выше всех (самая доходная) будет прямая, касающаяся сверху эффективной границы:


Portf2.png

Точка касания "касательный портфель" — однозначно определяется безрисковой ставкой и статистическими параметрами акций. Эффективным множеством теперь становится отрезок и его "продолжение" по граничной кривой эффективного множества.

Таким образом, в случае размещения в безрисковом активе даже небольшой части средств инвестора наиболее оптимальным портфелем акций оказывается касательный портфель. Рациональный инвестор может управлять своими рисками только путём выбора доли средств, которые он вкладывает в акции, но не структурой этого портфеля. Достаточно неожиданный для интуиции результат!

Касательный портфель представляет собой выделенную точку эффективного множества. Он соответствует максимально возможному наклону прямой:

Это отношение называется коэффициентом Шарпа.

Доходности акций сильно скоррелированы. Поэтому иногда используют модель линейной зависимости доходности акции и рынка в целом:

(EQN)

где — ежедневное или еженедельное изменение цены (доходность) той акции, а — изменение фондового индекса, такого, как S\&P500 или Dow. Величины считаются случайными воздействиями на конкретную бумагу, не зависящими от рыночных колебаний , т.е. . Это линейная модель (стр. \pageref{line_model}), поэтому наклон прямой, характеризующий чувствительность изменения цены -й бумаги к изменению цены рынка в целом (бета - коэффициент), равен:

Значения коэффициента не ограничены пределами [-1...1]. Если бета больше единицы (), это означает, что бумага в момент падения рынка, скорее всего, также упадет, причем сильнее, чем рынок, а при росте, наоборот, — обгонит его. Отрицательные беты (крайне редкое явление) и положительные средние доходности дают возможность инвестировать в бумаги, судьба которых развивается в противофазе с рынком. Бумаги с называют оборонительными.

Переход к линейной модели () позволяет существенно упростить вычисление ковариационных коэффициентов в портфельной теории:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left\langle (r_i - \bar{r}_i)(r_j - \bar{r}_j)\right\rangle = \beta_i \beta_j \;\sigma_M^2 + \xi_{ij},\;\;\;где\;\xi_{ij} = \left\langle (\xi_i-\bar{\xi}_i)(\xi_j-\bar{\xi}_j)\right\rangle .}

В частности:

Говорят, что волатильность акции состоит из двух составляющих — общерыночного риска и собственного риска бумаги .

Если пренебречь величинами , то волатильность портфеля (), составленного из акций с весовыми коэффициентами , будет равна:

Вместо квадратичной проблемы оптимизации получается задача линейного программирования, т.е. поиск максимума выражения при ограничениях , и . Решая задачу для различных , мы получим эффективное множество . Естественно оно будет несколько отличаться от точного, найденного из соотношений (), ().


Эмпирические закономерности << Оглавление >> Портфель на всю жизнь

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения