Диверсификация

Эмпирические закономерности <<	Оглавление	>> Портфель на всю жизнь

---

Участники рынка редко покупают только один финансовый инструмент. Чаще они формируют инвестиционный портфель, содержащий в своём составе много различных активов, например, акций. Поэтому перед инвестором стоит задача выбора оптимального состава портфеля.

Изменения цены любой акции в два последовательных момента времени практически независимы. Однако между собой изменения цен различных акций за один и тот же период времени часто оказываются существенно скоррелированными. Этот факт необходимо учитывать при формировании портфеля.

Рассмотрим $\textstyle n$ компаний, акции которых можно купить на рынке. Пусть изменение цены акции $\textstyle i$-й компании характеризуется логарифмической доходностью $\textstyle r_{i}(t)=\ln(x_{i}(t)/x_{i}(t-1))\approx dx_{i}/x_{i}$. Доходность $\textstyle r_{i}(t)$ может включать также дивидендный доход. Везде в этом разделе нижний индекс обозначает номер компании, а не момент времени.

При формировании портфеля необходимо принять решение, какую долю $\textstyle w_{i}$ имеющихся денег $\textstyle \Pi$ потратить на покупку акций $\textstyle i$-той компании. Если её цена равна $\textstyle x_{i}$ и их куплено $\textstyle N_{i}$ штук, то $\textstyle w_{i}=N_{i}x_{i}/\Pi$. Сумма всех долей в портфеле должна равняться единице:

$\Pi =\sum _{i=1}^{n}N_{i}x_{i}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}=w_{1}+w_{2}+...+w_{n}=1.$

Примем модель, в которой последовательные доходности данной акции являются независимыми стационарными случайными числами, имеющими среднее $\textstyle {\bar {r}}_{i}$ и волатильность $\textstyle \sigma _{i}$. Тогда и суммарная доходность портфеля из $\textstyle n$ акций за фиксированный период времени также будет случайной величиной:

$r=\sum _{i=1}^{n}w_{i}r_{i}=w_{1}r_{1}+w_{2}r_{2}+...+w_{n}r_{n},$

имеющей своё среднее значение:

${\bar {r}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\bar {r}}_{i}$

(8.1)

и волатильность:

$\sigma ^{2}=\left\langle (r-{\bar {r}})^{2}\right\rangle =\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}w_{j}\;\left\langle (r_{i}-{\bar {r}}_{i})(r_{j}-{\bar {r}}_{j})\right\rangle =\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}\,D_{ij}\,w_{j},$

(8.2)

где $\textstyle D_{ij}$ — ковариационные\index{ковариационный коэффициент} коэффициенты доходностей между акциями $\textstyle i$-й и $\textstyle j$-й компаний.

Выбрав в портфеле тот или иной набор весов $\textstyle w_{1},...,w_{n}$, мы для него получим некоторую среднюю доходность $\textstyle {\bar {r}}$ и волатильность $\textstyle \sigma$. Если перебрать все возможные портфели, то на плоскости ($\textstyle \sigma$, $\textstyle {\bar {r}}$) получится похожая на зонтик область, называемая достижимым множеством:

Из достижимого множества выбирается такой портфель, который при фиксированной волатильности имеет максимальный доход, или при фиксированной доходности — минимальную волатильность. Таким портфелям на рисунке соответствует кривая $\textstyle AB$, так называемое эффективное множество.

Действительно, зафиксировав $\textstyle \sigma$ (точка $\textstyle S$) и поднимаясь вдоль прямой $\textstyle SP$ для получения наибольшего дохода, мы попадём в точку $\textstyle P$ на кривой $\textstyle AB$. Аналогичное рассуждение справедливо и при движении в горизонтальном направлении.

Кривая $\textstyle AB$ явным образом отражает расхожее эмпирическое утверждение о том, что чем больше доход, тем выше риск, и наоборот. При этом: мерой измерения риска служит волатильность портфеля. Интуитивно это понятно. Чем больше волатильность, тем более вероятны существенные отклонения доходности портфеля от среднего, в том числе и в отрицательную область убытков.

$\textstyle \bullet$ Инвестор имеет определенную свободу в выборе точки на кривой эффективного множества. Однако эта свобода исчезает, если помимо покупки акций планируется разместить часть средств в некоторый актив с гарантированной доходностью $\textstyle r_{f}$ (risk-free). В качестве такого актива может выступать, например, банковский депозит или надежная облигация.

Предположим, что инвестор выбрал портфель акций с доходностью $\textstyle r_{M}$ и волатильностью $\textstyle \sigma _{M}$. Тогда комбинацию из этого портфеля и безрискового депозита можно рассматривать, как новый портфель из двух активов. Один — с параметрами ($\textstyle \sigma _{M},{\bar {r}}_{M}$), другой - с ($\textstyle 0,r_{f}$). Депозит имеет нулевую волатильность и нулевую корреляцию с портфелем, так как независимо от ситуации на рынке он всегда приносит один и тот же доход $\textstyle r_{f}$.

Пусть в акции вложена часть денег $\textstyle w_{1}=w$, а остальные $\textstyle w_{2}=1-w$ размещены в безрисковом активе. Тогда уравнения (8.1), (8.2) для двух активов имеют вид:

${\begin{array}{lcl}{\bar {r}}&=&wr_{M}+(1-w)r_{f}\\\sigma &=&w\sigma _{M}.\end{array}}$

Исключая $\textstyle w=\sigma /\sigma _{M}$, получаем уравнение прямой:

${\bar {r}}(\sigma )=r_{f}+{\frac {r_{M}-r_{f}}{\sigma _{M}}}\;\sigma .$

(8.3)

Эта прямая должна проходить как можно выше, т.е. при фиксированной волатильности давать максимальный доход. Одна её точка $\textstyle (0,r_{f})$ закреплена, а другая находится внутри множества портфелей. Поэтому выше всех (самая доходная) будет прямая, касающаяся сверху эффективной границы:

Точка касания $\textstyle M$ — "касательный портфель" — однозначно определяется безрисковой ставкой $\textstyle r_{f}$ и статистическими параметрами акций. Эффективным множеством теперь становится отрезок $\textstyle r_{f}M$ и его "продолжение" $\textstyle MB$ по граничной кривой эффективного множества.

Таким образом, в случае размещения в безрисковом активе даже небольшой части средств инвестора наиболее оптимальным портфелем акций оказывается касательный портфель. Рациональный инвестор может управлять своими рисками только путём выбора доли $\textstyle w$ средств, которые он вкладывает в акции, но не структурой этого портфеля. Достаточно неожиданный для интуиции результат!

Касательный портфель $\textstyle M$ представляет собой выделенную точку эффективного множества. Он соответствует максимально возможному наклону прямой:

$k={\frac {{\bar {r}}-r_{f}}{\sigma }}=max.$

Это отношение называется коэффициентом Шарпа.

$\textstyle \bullet$ Доходности акций сильно скоррелированы. Поэтому иногда используют модель линейной зависимости доходности акции и рынка в целом:

$r_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}\;r_{M}+\xi _{i},$

(8.4)

где $\textstyle r_{i}$ — ежедневное или еженедельное изменение цены (доходность) $\textstyle i-$той акции, а $\textstyle r_{M}$ — изменение фондового индекса, такого, как S\&P500 или Dow. Величины $\textstyle \xi _{i}$ считаются случайными воздействиями на конкретную бумагу, не зависящими от рыночных колебаний $\textstyle r_{M}$, т.е. $\textstyle \left\langle r_{M}\xi _{i}\right\rangle =\left\langle r_{M}\right\rangle \left\langle \xi _{i}\right\rangle$. Это линейная модель (стр. \pageref{line_model}), поэтому наклон прямой, характеризующий чувствительность изменения цены $\textstyle i$-й бумаги к изменению цены рынка в целом (бета - коэффициент), равен:

$\beta _{i}={\frac {\left\langle (r_{i}-{\bar {r}}_{i})(r_{M}-{\bar {r}}_{M})\right\rangle }{\sigma _{M}^{2}}}.$

Значения коэффициента $\textstyle \beta _{i}$ не ограничены пределами [-1...1]. Если бета больше единицы ($\textstyle \sigma _{i}>\sigma _{M}$), это означает, что бумага в момент падения рынка, скорее всего, также упадет, причем сильнее, чем рынок, а при росте, наоборот, — обгонит его. Отрицательные беты (крайне редкое явление) и положительные средние доходности $\textstyle {\bar {r}}_{i}$ дают возможность инвестировать в бумаги, судьба которых развивается в противофазе с рынком. Бумаги с $\textstyle \beta _{i}<1$ называют оборонительными.

Переход к линейной модели (8.4) позволяет существенно упростить вычисление ковариационных коэффициентов в портфельной теории:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left\langle (r_i - \bar{r}_i)(r_j - \bar{r}_j)\right\rangle = \beta_i \beta_j \;\sigma_M^2 + \xi_{ij},\;\;\;где\;\xi_{ij} = \left\langle (\xi_i-\bar{\xi}_i)(\xi_j-\bar{\xi}_j)\right\rangle .}

В частности:

$\sigma _{i}^{2}=\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}+\sigma _{\xi _{i}}^{2}.$

Говорят, что волатильность акции состоит из двух составляющих — общерыночного риска $\textstyle \beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}$ и собственного риска бумаги $\textstyle \sigma _{\xi _{i}}^{2}=\xi _{ii}$.

Если пренебречь величинами $\textstyle \xi _{ij}$, то волатильность портфеля (8.2), составленного из $\textstyle n$ акций с весовыми коэффициентами $\textstyle w_{i}$, будет равна:

$\sigma ^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}w_{j}\left\langle (r_{i}-{\bar {r}}_{i})(r_{j}-{\bar {r}}_{j})\right\rangle =\sigma _{M}^{2}\sum _{i,j=1}^{n}w_{i}w_{j}\beta _{i}\beta _{j}=\left[\sigma _{M}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\beta _{i}\right]^{2}.$

Вместо квадратичной проблемы оптимизации получается задача линейного программирования, т.е. поиск максимума выражения $\textstyle {\bar {r}}=\sum w_{i}{\bar {r}}_{i}$ при ограничениях $\textstyle \sum w_{i}=1$, $\textstyle \sum w_{i}\beta _{i}=\sigma /\sigma _{M}$ и $\textstyle 0\leqslant w_{i}\leqslant 1$. Решая задачу для различных $\textstyle \sigma$, мы получим эффективное множество $\textstyle {\bar {r}}(\sigma )$. Естественно оно будет несколько отличаться от точного, найденного из соотношений (8.1), (8.2).

---

Эмпирические закономерности <<	Оглавление	>> Портфель на всю жизнь

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения