Диаграммы Далица и Мандельстама — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Инварианты s, t и u << ! width="20%"|Оглавление ([http://synset.c…»)
 
 
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим реакцию аннигиляции пи-мезонов, при которой рождаются протон и антипротон
 +
 +
:<center><math>\pi^++\pi^-\mapsto p+\bar{p}.</math></center>
 +
 +
Это реакция ''неупругого'' рассеяния, так как исходные частицы (пи-мезоны) изменяют не только свои импульсы, но и "вид", превращаясь в протоны. В этом случае исходные массы равны <math>\textstyle m_1=m_2=m=135</math> МэВ и отличаются от масс конечных частиц <math>\textstyle m_3=m_4=M=938</math> МэВ. Поэтому косинус угла рассеяния в системе центра () масс равен:
 +
 +
:<center><math>\cos\chi = \frac{s+2(t-m^2-M^2)}{\sqrt{(s-4m^2)(s-4M^2)}}.</math></center>
 +
 +
Порог реакции <math>\textstyle s\geqslant (m_3+m_4)^2=4M^2</math>. Однако существует дополнительное ограничение, связанное с тем, что <math>\textstyle \cos^2\chi\leqslant 1</math>. Это неравенство имеет следующий вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> t\,(t + s-2(M^2+m^2))+(M^2-m^2)^2 \leqslant 0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Таким образом, возникает энергетически разрешённая область на плоскости <math>\textstyle (s,t)</math>, которую называют диаграммой Далица:
 +
 +
<center>[[File:stu_daliz.png]]</center>
 +
 +
На диаграмме Далица два независимых инварианта <math>\textstyle s</math> и <math>\textstyle t</math> откладываются на перпендикулярных декартовых осях, а энергетически разрешённая область отмечается серым цветом. Порог реакции <math>\textstyle s\geqslant 4M^2</math> проведен в виде тонкой вертикальной линии, справа от которой должна находиться разрешённая область. Это приводит к тому, что <math>\textstyle t<0</math>. Граница разрешённой области получается, когда в соотношении () выбирается знак равенства:
 +
 +
:<center><math>t + s-2(M^2+m^2)+\frac{(M^2-m^2)^2}{t} = 0.</math></center>
 +
 +
При <math>\textstyle t\to\infty</math> это уравнение стремится к прямой <math>\textstyle t =2(M^2+m^2)-s</math>. Вторая асимптотика соответствует пределу <math>\textstyle s\to \infty</math>, <math>\textstyle t\to 0</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь реакцию упругого рассеяния пи-мезона на протоне:
 +
 +
:<center><math>\pi^++p\mapsto \pi^++p.</math></center>
 +
 +
В этом случае новые частицы не рождаются и происходит просто изменение импульсов исходных частиц, поэтому эта реакция и называется упругой. Массы частиц равны <math>\textstyle m_1=m_3=m</math>, <math>\textstyle m_2=m_4=M</math>, и порогом реакции будет <math>\textstyle s\geqslant(M+m)^2</math>. Косинус угла рассеяния равен:
 +
 +
:<center><math>\cos\chi = \frac{s^2+2s(t-m^2-M^2)+(M^2-m^2)^2}{(s-(M+m)^2)(s-(M-m)^2)}.</math></center>
 +
 +
Для получения энергетических неравенств в данном случае проще расписать два неравенства <math>\textstyle \cos\chi\leqslant 1</math> и <math>\textstyle \cos\chi\geqslant -1</math>. Первое даёт
 +
 +
:<center><math>st\leqslant 0,</math></center>
 +
 +
и, так как <math>\textstyle s>0</math>, имеем <math>\textstyle t\leqslant 0</math>. Второе неравенство приводит к соотношению, похожему на (), но с переставленными местами инвариантами <math>\textstyle s</math> и <math>\textstyle t</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> s\,(s + t- 2(M^2+m^2)) + (M^2-m^2)^2 \geqslant 0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Нарисуем энергетически разрешённую область на диаграмме Далица:
 +
 +
<center>[[File:stu_daliz2.png]]</center>
 +
 +
Обратим внимание, что эта граничная энергетическая линия получается из линии реакции <math>\textstyle \pi^++\pi^-\mapsto \bar{p} + p</math> перестановкой местами <math>\textstyle s</math> и <math>\textstyle t</math> инвариантов. Это происходит потому, что рассматриваемые две реакции являются фактически одной четырёххвосткой. Если в <math>\textstyle \pi^++\pi^-\mapsto \bar{p} + p</math> поменять местами 2-ю и 3-ю частицы, мы получим реакцию <math>\textstyle \pi^++p\mapsto \pi^++p</math> (массы протона и антипротона одинаковые). Понятно, что инварианты <math>\textstyle s=(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2)</math> и <math>\textstyle t=(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_3)</math> поменяются местами. Говорят, что эти реакции происходят в различных ''каналах'' одной и той же четырёххвостки. Первая реакция происходит в <math>\textstyle s</math> канале, а вторая &mdash; в <math>\textstyle t</math>. Соответственно, линия граничной области получается при повороте рисунка на 90 градусов.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Кроме энергетических диаграмм Далица используются также ''диаграммы Мандельстама'', на которых одновременно изображаются все три инварианта <math>\textstyle (s,t,u)</math>. Такая диаграмма является косоугольной системой координат, в которой оси <math>\textstyle s</math> и <math>\textstyle t</math> проведены под углом 60 градусов. Однако рисуются не сами оси, а уровни <math>\textstyle s=1</math>, <math>\textstyle s=2</math>, ...., параллельные оси <math>\textstyle s=0</math> и отстоящие от неё на 1,2,... Аналогично для уровней <math>\textstyle t</math>, <math>\textstyle u</math>. Линии <math>\textstyle s=0</math>, <math>\textstyle t=0</math> и <math>\textstyle u=0</math> образуют правильный треугольник <math>\textstyle ABC</math>, высота которого равна
 +
 +
:<center><math>h=s+t+u=m^2_1+m^2_2+m^2_3+m^2_4.</math></center>
 +
 +
Положительные значения инвариантов откладываются от нулевой линии в сторону треугольника, а отрицательные &mdash; в обратную:
 +
 +
<center>[[File:stu_mand.png]]</center>
 +
 +
На первом рисунке жирными линиями отмечены нулевые уровни, а тонкими &mdash; уровни <math>\textstyle s=h</math>, <math>\textstyle t=h</math>, <math>\textstyle u=h</math>. В точке <math>\textstyle A</math> значение инвариантов равно <math>\textstyle s=h</math>, <math>\textstyle t=u=0</math>. Их сумма равна <math>\textstyle h</math>. Это свойство выполняется для любой точки плоскости (второй рисунок). Действительно, для площадей треугольников, образованных точками <math>\textstyle P</math>, <math>\textstyle A</math>, <math>\textstyle B</math>, <math>\textstyle C</math>, выполняется соотношение
 +
 +
:<center><math>S_{ABC}=S_{BCP}+S_{ACP} - S_{ABP}.</math></center>
 +
 +
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Основания всех треугольников одинаковые, а высоты равны <math>\textstyle h</math>, <math>\textstyle s</math>, <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle -u</math>, поэтому <math>\textstyle h=s+t+u</math>.
 +
 +
Можно перейти к прямоугольным декартовым координатам, проведя вертикальную ось <math>\textstyle s</math> вдоль высоты <math>\textstyle h</math> перпендикулярно линии <math>\textstyle s=0</math>, которая будет горизонтальной осью <math>\textstyle z</math> (первый рисунок). Прямоугольные координаты <math>\textstyle (z,s)</math> связаны с инвариантом <math>\textstyle t</math> следующим образом:
 +
 +
:<center><math>t=\frac{h+\sqrt{3} z-s}{2}.</math></center>
 +
 +
Третий инвариант равен
 +
 +
:<center><math>u=\frac{h-\sqrt{3} z-s}{2},</math></center>
 +
 +
в результате чего сумма всех инвариантов равняется <math>\textstyle h</math>.
 +
 +
Рассмотрим снова реакцию аннигиляции двух пи-мезонов с рождением протон-антипротонной пары:
 +
 +
:<center><math>\pi^++\pi^-\mapsto \bar{p} + p.</math></center>
 +
 +
Разрешённая область для этой реакции определяется неравенством порога <math>\textstyle s\leqslant 4M^2</math> и соотношением (). Выразим в последнем <math>\textstyle t</math> через переменные <math>\textstyle z</math> и <math>\textstyle s</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> 3z^2 - (s-h)^2 + 4 (M^2-m^2)^2 \leqslant 0, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle h=2(M^2+m^2)</math>. Эта область изображена на рисунке ниже:
 +
 +
<center>[[File:stu_mand2.png]]</center>
 +
 +
и соответствует параболе в верхней части рисунка с асимптотическими линиями <math>\textstyle u=0</math> и <math>\textstyle t=0</math>. Реакцию
 +
 +
:<center><math>\pi^++p\mapsto \pi^++p,</math></center>
 +
 +
и аналогично для античастиц, можно изобразить на этом же рисунке, если считать, что в ней, как и в предыдущей реакции, пи-мезоны имеют номера 1 и 2, а протоны &mdash; 3 и 4. Тогда в неравенствах (), <math>\textstyle t\leqslant 0 </math>, <math>\textstyle s\geqslant(M+m)^2</math> необходимо поменять <math>\textstyle s</math>, <math>\textstyle t</math> местами, и получится () с обратным знаком неравенства и <math>\textstyle s\leqslant 0 </math>, <math>\textstyle t\geqslant(M+m)^2</math>. Эта область изображена на рисунке в правом нижнем углу. Третий возможный канал изображен в левом углу рисунка и соответствует реакции неупругого рассеяния нейтрального пи-мезона на нейтроне с образованием протона и заряженного пи-мезона:
 +
 +
:<center><math>\pi^0+n\mapsto \pi^- + p.</math></center>
 +
 +
На самом деле эта реакция не полностью симметрична двум предыдущим, так как массы частиц различаются. Однако это отличие невелико. Так, нейтрон тяжелее протона примерно на 0.1\% или 1\% от массы пи-мезона. Аналогично нейтральный пи-мезон <math>\textstyle \pi^0</math> всего на 1\% легче, чем его заряженные собратья <math>\textstyle \pi^\pm</math>.
 +
 +
Таким образом, все три реакции получаются перестановкой частиц в реакции и переобозначением инвариантных переменных <math>\textstyle s</math>, <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle u</math>.
  
  

Текущая версия на 18:06, 9 апреля 2011

Инварианты s, t и u << Оглавление (Глава 3) >> Антисимметричные тензоры

Рассмотрим реакцию аннигиляции пи-мезонов, при которой рождаются протон и антипротон

Это реакция неупругого рассеяния, так как исходные частицы (пи-мезоны) изменяют не только свои импульсы, но и "вид", превращаясь в протоны. В этом случае исходные массы равны МэВ и отличаются от масс конечных частиц МэВ. Поэтому косинус угла рассеяния в системе центра () масс равен:

Порог реакции . Однако существует дополнительное ограничение, связанное с тем, что . Это неравенство имеет следующий вид:

(EQN)

Таким образом, возникает энергетически разрешённая область на плоскости , которую называют диаграммой Далица:

Stu daliz.png

На диаграмме Далица два независимых инварианта и откладываются на перпендикулярных декартовых осях, а энергетически разрешённая область отмечается серым цветом. Порог реакции проведен в виде тонкой вертикальной линии, справа от которой должна находиться разрешённая область. Это приводит к тому, что . Граница разрешённой области получается, когда в соотношении () выбирается знак равенства:

При это уравнение стремится к прямой . Вторая асимптотика соответствует пределу , .

Рассмотрим теперь реакцию упругого рассеяния пи-мезона на протоне:

В этом случае новые частицы не рождаются и происходит просто изменение импульсов исходных частиц, поэтому эта реакция и называется упругой. Массы частиц равны , , и порогом реакции будет . Косинус угла рассеяния равен:

Для получения энергетических неравенств в данном случае проще расписать два неравенства и . Первое даёт

и, так как , имеем . Второе неравенство приводит к соотношению, похожему на (), но с переставленными местами инвариантами и :

(EQN)

Нарисуем энергетически разрешённую область на диаграмме Далица:

Stu daliz2.png

Обратим внимание, что эта граничная энергетическая линия получается из линии реакции перестановкой местами и инвариантов. Это происходит потому, что рассматриваемые две реакции являются фактически одной четырёххвосткой. Если в поменять местами 2-ю и 3-ю частицы, мы получим реакцию (массы протона и антипротона одинаковые). Понятно, что инварианты и поменяются местами. Говорят, что эти реакции происходят в различных каналах одной и той же четырёххвостки. Первая реакция происходит в канале, а вторая — в . Соответственно, линия граничной области получается при повороте рисунка на 90 градусов.

Кроме энергетических диаграмм Далица используются также диаграммы Мандельстама, на которых одновременно изображаются все три инварианта . Такая диаграмма является косоугольной системой координат, в которой оси и проведены под углом 60 градусов. Однако рисуются не сами оси, а уровни , , ...., параллельные оси и отстоящие от неё на 1,2,... Аналогично для уровней , . Линии , и образуют правильный треугольник , высота которого равна

Положительные значения инвариантов откладываются от нулевой линии в сторону треугольника, а отрицательные — в обратную:

Stu mand.png

На первом рисунке жирными линиями отмечены нулевые уровни, а тонкими — уровни , , . В точке значение инвариантов равно , . Их сумма равна . Это свойство выполняется для любой точки плоскости (второй рисунок). Действительно, для площадей треугольников, образованных точками , , , , выполняется соотношение

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Основания всех треугольников одинаковые, а высоты равны , , и , поэтому .

Можно перейти к прямоугольным декартовым координатам, проведя вертикальную ось вдоль высоты перпендикулярно линии , которая будет горизонтальной осью (первый рисунок). Прямоугольные координаты связаны с инвариантом следующим образом:

Третий инвариант равен

в результате чего сумма всех инвариантов равняется .

Рассмотрим снова реакцию аннигиляции двух пи-мезонов с рождением протон-антипротонной пары:

Разрешённая область для этой реакции определяется неравенством порога и соотношением (). Выразим в последнем через переменные и :

(EQN)

где . Эта область изображена на рисунке ниже:

Stu mand2.png

и соответствует параболе в верхней части рисунка с асимптотическими линиями и . Реакцию

и аналогично для античастиц, можно изобразить на этом же рисунке, если считать, что в ней, как и в предыдущей реакции, пи-мезоны имеют номера 1 и 2, а протоны — 3 и 4. Тогда в неравенствах (), , необходимо поменять , местами, и получится () с обратным знаком неравенства и , . Эта область изображена на рисунке в правом нижнем углу. Третий возможный канал изображен в левом углу рисунка и соответствует реакции неупругого рассеяния нейтрального пи-мезона на нейтроне с образованием протона и заряженного пи-мезона:

На самом деле эта реакция не полностью симметрична двум предыдущим, так как массы частиц различаются. Однако это отличие невелико. Так, нейтрон тяжелее протона примерно на 0.1\% или 1\% от массы пи-мезона. Аналогично нейтральный пи-мезон всего на 1\% легче, чем его заряженные собратья .

Таким образом, все три реакции получаются перестановкой частиц в реакции и переобозначением инвариантных переменных , и .



Инварианты s, t и u << Оглавление (Глава 3) >> Антисимметричные тензоры

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии