Движение частиц и света

Материал из synset
Версия от 21:57, 4 июля 2013; WikiSysop (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Жёсткость, время и геометрия << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Динамика в неинерциальной системе

Пространство в неинерциальной системе отсчёта не является одновременно изотропным и однородным, как это было в инерциальных системах. Это приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся равномерно и прямолинейно. В классической механике мы говорим, что на частицы действуют силы инерции которые искривляют их траектории. Зная метрические коэффициенты , можно записать дифференциальное уравнение, решением которого является траектория движения свободной частицы в неинерциальной системе отсчёта. Это уравнение мы получим в главе , а сейчас приведём несколько примеров расчёта таких траекторий элементарными методами.

Рассмотрим сначала жёсткую равноускоренную систему отсчёта в координатах Мёллера. Запишем траекторию свободной частицы в лоренцевых координатах в лабораторной системе отсчёта в плоскости :

где — постоянные компоненты скорости, а — начальное положение частицы. Чтобы найти эту же траекторию в неинерциальной системе необходимо воспользоваться преобразованиями (), стр.\,\pageref{nonin_TXtx_gost}:

Подставляя их в траекторию, имеем:

Осталось выразить константы , и , через начальные условия. Полагая , имеем и . Беря производную левой и правой части по времени при , получаем:

где ( — начальная скорость частицы в неинерциальной системе. Подставляя эти константы в траекторию, окончательно имеем:

(EQN)
(EQN)

что является решением поставленной задачи.

Пусть в момент времени частица находилась в начале системы отсчета и имела составляющую скорости вдоль оси , а . В этом случае выражения для траектории упрощаются:

(EQN)

а координатные скорости будут равны:

(EQN)

Физическое время связано с координатным как , а физическая длина равна . Поэтому компоненты физической скорости — это . Вдоль оси физическая скорость нелинейно зависит от времени: , что связано с различным ходом часов, отличающихся координатой . Физическая скорость вдоль оси со временем стремиться по модулю к единице: . При квадрат физической скорости всё время равен единице (фундаментальной скорости "").

Собственное время частицы равно:

За бесконечное координатное время частица уходит за горизонт событий наблюдателя в начале координат. При этом собственное время самой частицы к этому "моменту" остается конечным.

Наконец, траектория частицы получается после исключения времени:

и при малых переходит в параболу (так в равноускоренной системе выглядит движение свободной частицы в классической механике).

Nonin acselr.png

Выше на рисунке приведено несколько примеров траекторий начинающихся из точки . Рядом с линиями в скобках приведены значения компонент начальной скорости .

В качестве еще одного примера, найдём траекторию свободной частицы во вращающейся системе отсчета (см.\,стр.\,\pageref{nonin_rot_transf_Born}). В лабораторной системе её траектория, проходящая в момент времени через точку с декартовыми координатами (), имеет вид:

где — угол между направлением движения и осью . Модуль вектора скорости , когда вместо частицы движется импульс света равен единице (). Запишем траекторию в полярных координатах , и перейдем к криволинейным координатам вращающейся системы отсчета в плоскости :

После несложных выкладок (\,H) получаем:

(EQN)

где , — начальное положение частицы в координатах неинерциальной системы и , . Отметим также выражение для изменения расстояния от центра вращения со временем:

(EQN)

и постоянные функции скоростей (точка — производная по ):

(EQN)

Ниже на рисунках изображены некоторые траектории света () во вращающейся системе отсчета:

Nonin rot1.png

На первом рисунке лучи света выходят из точки в различные стороны. На втором, наоборот, лучи сходятся в этой точке. Наконец, на третьем рисунке изображены траектории обмена световыми сигналами между наблюдателями, расположенными в жирных точках с наблюдателем, находящимся на оси вращения.

Качественно поведение изгиба световых траекторий можно понять, если вспомнить свойство силы инерции Кориолиса во вращающейся системе отсчета. Эта сила зависит от скорости тела и на вращающемся против часовой стрелке диске направлена перпендикулярно скорости, вправо от неё (в векторных обозначениях соответствующее ускорение имеет вид ). Аналогично, при движении импульса света его траектория всё время изгибается вправо.

Эта ключевая особенность вращающейся системы отсчета приводит к тому, что при радиолокационном измерении расстояния сигнал между наблюдателями проходит по различным путям, в зависимости от того к какому из наблюдателей он движется. Выше на третьем рисунке цветок световых лучей как раз отражает подобное несовпадение траекторий. Стрелками помечено направления движения импульсов.

В отличие от вращающейся системы, в жесткой равноускоренной системе отсчета траектория света в радиолокационном эксперименте одна и та же при движении света "туда и обратно". Аналогично мяч в поле силы тяжести при игре в волейбол движется по одной параболе, не зависимо от того, игроки какой команды его отправили в этот полет. Траектория движения такого светового импульса находится из уравнений (), () в которых необходимо положить и .

Искривление лучей света приводит к тому, что окружающий мир в неинерциальной системе отсчёта выглядит совсем не так как в инерциальной. Наблюдатель видит объект в направлении под которым к нему пришел "луч" света, излученный этим объектом. Если "луч" движется по искривленной траектории, то и предмет будет виден не там, где он находится "на самом деле". Выше на втором рисунке каждая линия показывает последовательность точек, которые наблюдатель видит находящимися на одной прямой.

В равноускоренной системе отсчёта также происходит визуальное искажение окружающего мира. Например, наблюдатель в начале координат видит своих коллег по системе, находящихся на оси не вверху и внизу, а впереди себя. Чем дальше такой наблюдатель от него находится, тем под большим углом к оси он будет визуально наблюдаться. Качественно это легко представить нарисовав параболу между двумя точками на оси . Эта ось играет для равноускоренной вдоль оси системы роль поверхности Земли. Брошенный из одной точки в другую камень полетит по параболе, начиная и оканчивая движение под углом к поверхности. Аналогично ведут себя и лучи света.


Жёсткость, время и геометрия << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Динамика в неинерциальной системе

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии