Группы O(3) и SO(3)

Линейные преобразования <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Группа SU(2)

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим 3-мерное пространство с координатами $\textstyle {\mathbf {x} }=\{x,y,z\}$. Группой вращения $\textstyle \mathbf {O} (3)$ называется линейное преобразование $\textstyle {\mathbf {x} }'={\mathbf {R} }\,{\mathbf {x} }$, которое не изменяет длины радиус-вектора: $\textstyle {\mathbf {x} }^{2}={\mathbf {x} }^{T}\cdot {\mathbf {x} }=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (значок $\textstyle ^{T}$ — транспонирование):

${\mathbf {x} }'^{2}={\mathbf {x} }'^{T}{\mathbf {x} }'=({\mathbf {R} }\,{\mathbf {x} })^{T}\;{\mathbf {R} }\,\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{T}\,{\mathbf {R} }^{T}{\mathbf {R} }\,{\mathbf {x} }={\mathbf {x} }^{2},$

где учтено, что при транспонировании произведения матриц их порядок меняется $\textstyle ({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{T}={\mathbf {B} }^{T}{\mathbf {A} }^{T}$. Чтобы квадрат вектора не изменился $\textstyle {\mathbf {x} }'^{2}={\mathbf {x} }^{2}$, должно выполняться условие ортогональности:

${\mathbf {R} }^{T}{\mathbf {R} }={\mathbf {1} }.$

Другими словами, обратная матрица к матрице поворота, является просто её транспонированием. Напомним, что буква "$\textstyle \mathbf {O}$" в названии группы означает ортогональная, а тройка — размерность пространства.

Так как определитель при транспонировании матрицы не изменяется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, из условия ортогональности следует, что

$(\det \mathbf {R} )^{2}=1.$

Матрица вращения вокруг оси $\textstyle z$ (стр.\,\pageref{rotate_XY}) на угол $\textstyle \phi$ имеет единичный определитель:

$\det \mathbf {R} _{z}=\det {\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1.$

Все матрицы вращения, имеющие единичный определитель образуют специальную ортогональную группу $\textstyle \mathbf {SO} (3)$.(3)$} Её также называют собственными преобразованиями или просто вращениями.

Кроме вращений, длину радиус-вектора оставляют неизменными преобразования инверсии (или отражения осей): $\textstyle \{x,y,z\}\mapsto \{-x,-y,-z\}$. Матрица этого преобразования имеет вид:

$\mathbf {I} _{xyz}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.$

Это тоже ортогональная матрица, но имеющая определитель равный минус единице: $\textstyle \det \mathbf {I} _{xyz}=-1$, поэтому она принадлежит к группе $\textstyle \mathbf {O} (3)$, но не принадлежит к группе $\textstyle \mathbf {SO} (3)$.

Матрица $\textstyle \mathbf {I} _{xyz}$ вместе с единичной матрицей $\textstyle \mathbf {1}$ образует дискретную абелеву группу из двух элементов $\textstyle \mathbf {I} =\{\mathbf {1} ,\mathbf {I} _{xyz}\}$, изоморфную циклической группе $\textstyle \mathbf {C} _{2}$. При этом элемент группы $\textstyle \mathbf {I} _{xyz}$ является обратным самому себе: $\textstyle \mathbf {I} _{xyz}^{2}=\mathbf {1}$. Так как эта группа является "частным случаем" группы $\textstyle \mathbf {O} (3)$, то она является её подгруппой, т.е. $\textstyle \mathbf {I} \subset \mathbf {O} (3)$.

Можно рассмотреть дискретную абелеву группу ранга 4, в которой кроме единичной матрицы есть ещё три элемента:

$\mathbf {I} _{xy}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\mathbf {I} _{yz}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\mathbf {I} _{xz}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.$

Они осуществляют инверсии пар осей и имеют единичный детерминант. Эта группа является подгруппой не только $\textstyle \mathbf {O} (3)$, но $\textstyle \mathbf {SO} (3)$, так как инверсия двух осей в 3-мерном пространстве всегда может быть реализована поворотом системы координат.

Подгруппой группы $\textstyle \mathbf {O} (3)$ является также более широкая группа инверсий, когда отражается одна, две или три оси. Инверсии осей $\textstyle x$, $\textstyle y$ и $\textstyle z$ имеют следующее матричное представление:

$\mathbf {I} _{x}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\mathbf {I} _{y}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\mathbf {I} _{z}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.$

Стоит проверить что для $\textstyle \mathbf {P} =\{\mathbf {1} ,\;\mathbf {I} _{x},\;\mathbf {I} _{y},\;\mathbf {I} _{z},\;\mathbf {I} _{xy},\;\mathbf {I} _{xz},\;\mathbf {I} _{yz},\;\mathbf {I} _{xyz}\}$ выполняется аксиома замкнутости, а каждый элемент является обратным самому себе. Эта группа включает в качестве подгруппы группу отражения всех трёх осей, что записывается в виде такой цепочки: $\textstyle \mathbf {I} \subset \mathbf {P} \subset \mathbf {O} (3)$. Группа $\textstyle \mathbf {P}$ 8-го порядка изоморфна абелевой группе $\textstyle \mathbf {C_{2,2,2}}$ (стр.\,\pageref{sym_C_n_k_def}) с тремя порождающими элементами $\textstyle \mathbf {I} _{x}$, $\textstyle \mathbf {I} _{y}$ и $\textstyle \mathbf {I} _{z}$ второго порядка.

Инвертирование сразу трёх осей (или одной) переводит правую систему координат в левую и наоборот. После такого инвертирования ни каким поворотом нельзя вернуться в исходное состояние. Таким образом, все преобразования группы $\textstyle \mathbf {O} (3)$ можно разбить на два класса — обычные вращения правой и левой системы координат. Это записывается в виде прямого произведения групп вращений и инверсий всех осей:

$\mathbf {O} (3)=\mathbf {SO} (3)\times \mathbf {I} .$

В данном случае прямое произведение означает, что рассматриваются последовательные преобразования $\textstyle \mathbf {R} \mathbf {I} _{xyz}$ или $\textstyle \mathbf {R} \mathbf {1}$, т.е. пары матриц из групп $\textstyle \mathbf {SO} (3)=\{\mathbf {R} \}$ и $\textstyle \mathbf {I} =\{\mathbf {1} ,\;\mathbf {I} _{xyz}\}$ матрично перемножаются. Так как матрицы $\textstyle \mathbf {I}$ пропорциональны единичной, то $\textstyle (\mathbf {R} _{2}\mathbf {I} _{2})(\mathbf {R} _{1}\mathbf {I} _{1})=(\mathbf {R} _{2}\mathbf {R} _{1})(\mathbf {I} _{2}\mathbf {I} _{1})$.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим подробнее группу вращений $\textstyle \mathbf {SO} (3)$. Введём матрицу $\textstyle {\mathbf {A} }$ небольшого отклонения от единичного преобразования (поворот на малые углы): $\textstyle {\mathbf {R} }={\mathbf {1} }+{\mathbf {A} }+...$. Пренебрегая вторым порядком малости, запишем условие ортогональности:

${\mathbf {R} }^{T}{\mathbf {R} }\approx (\mathbf {1} +{\mathbf {A} }^{T})(\mathbf {1} +{\mathbf {A} })\approx \mathbf {1} +{\mathbf {A} }^{T}+{\mathbf {A} }={\mathbf {1} }\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;{\mathbf {A} }^{T}=-{\mathbf {A} }.$

Операция транспонирования переставляет местами индексы, следовательно матрица $\textstyle \mathbf {A}$ является антисимметричной. Она имеет три независимых элемента:

${\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}0&a_{3}&-a_{2}\\-a_{3}&0&a_{1}\\a_{2}&-a_{1}&0\\\end{pmatrix}}.$

(EQN)

Величины $\textstyle {\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},a_{3})$ можно рассматривать как малые параметры преобразования. Генераторы группы $\textstyle {\mathbf {R} }=\mathbf {1} +{\mathbf {A} }+...={\mathbf {1} }+a^{i}{\mathbf {X} }_{i}+...$ имеют вид:

${\mathbf {X} }_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;{\mathbf {X} }_{2}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;{\mathbf {X} }_{3}={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.$

(EQN)

Прямым перемножением матриц несложно проверить, что они удовлетворяют следующей алгебре Ли:

$[{\mathbf {X} }_{1},\;{\mathbf {X} }_{2}]=-{\mathbf {X} }_{3},\;\;\;\;\;\;[{\mathbf {X} }_{3},\;{\mathbf {X} }_{1}]=-{\mathbf {X} }_{2},\;\;\;\;\;\;\;\;[{\mathbf {X} }_{2},\;{\mathbf {X} }_{3}]=-{\mathbf {X} }_{1}.$

(EQN)

Поэтому структурные константы равны $\textstyle c_{12}^{3}=c_{31}^{2}=c_{23}^{1}=-1$. Второй и третий коммутаторы получаются из первого, в результате циклической перестановки индексов: $\textstyle \{1,2,3\}\mapsto \{3,1,2\}\mapsto \{2,3,1\}$. Стоит вычислить ($\textstyle \lessdot$\,H) эти коммутаторы операторным методом (стр.\,\pageref{sym_oper_method}).

Коммутаторы () можно записать используя символ Леви-Чевиты:

$[{\mathbf {X} }_{i},\;{\mathbf {X} }_{j}]=-\varepsilon _{ijk}\,{\mathbf {X} }_{k}$

($\textstyle \varepsilon _{123}=1$, по $\textstyle k$ сумма). Матрица инверсии трёх осей пропорциональна единичной, поэтому коммутирует с каждым генератором: $\textstyle [\mathbf {X} _{i},\;\mathbf {I} _{xyz}]=0.$ Кроме этого диагональными являются квадраты матриц генераторов:

$\mathbf {X} _{1}^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\mathbf {X} _{2}^{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\mathbf {X} _{3}^{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},$

откуда следует, что $\textstyle \mathbf {X} _{1}^{3}=-\mathbf {X} _{1}$, и т.д. Сумма квадратов генераторов $\textstyle {\mathbf {C} }={\mathbf {X} }_{1}^{2}+{\mathbf {X} }_{2}^{2}+{\mathbf {X} }_{3}^{3}=-2\cdot {\mathbf {1} }$ пропорциональна единичной матрице, а следовательно коммутирует со всеми генераторами: $\textstyle [{\mathbf {C} },{\mathbf {X} }_{i}]=0.$ Подобная величина в теории групп называется оператором Казимира.

Генераторы $\textstyle {\mathbf {X} }_{1}$, $\textstyle {\mathbf {X} }_{2}$ и $\textstyle {\mathbf {X} }_{3}$ связаны с бесконечно малыми поворотами вокруг осей $\textstyle x,y$ и $\textstyle z$. Если обозначить $\textstyle s_{1}=\sin a_{1}$, $\textstyle c_{1}=\cos a_{1}$ и т.д., то повороты вокруг трёх осей будут иметь вид:

${\mathbf {R} }_{x}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c_{1}&s_{1}\\0&-s_{1}&c_{1}\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;{\mathbf {R} }_{y}={\begin{pmatrix}c_{2}&0&-s_{2}\\0&1&0\\s_{2}&0&c_{2}\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;{\mathbf {R} }_{z}={\begin{pmatrix}c_{3}&s_{3}&0\\-s_{3}&c_{3}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.$

Определители этих матриц равны 1, поэтому мы имеем дело с группой $\textstyle \mathbf {SO} (3)$. Разложение их по параметрам $\textstyle a_{i}$ приводит к генераторам $\textstyle \mathbf {X} _{i}$.

Обратим внимание, что поворот в матрицах $\textstyle \mathbf {R} _{x}$, $\textstyle \mathbf {R} _{y}$, $\textstyle \mathbf {R} _{z}$ происходит по правому винту (штопору) "вкручивающемуся" в направлении оси. Поэтому при повороте вокруг $\textstyle y$ роль "первой" оси (от которой отсчитывается угол) играет $\textstyle z$, а "второй' — $\textstyle x$:

В результате матрицы $\textstyle \mathbf {R} _{x}$ и $\textstyle \mathbf {R} _{z}$ "блочно" одинаковы, а в матрице $\textstyle \mathbf {R} _{y}$ по отношению к $\textstyle \mathbf {R} _{x}$ переставлены местами строчки и аналогично колонки.

Группа $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ является неабелевой и последовательность поворотов играет роль. Например, если сначала повернуть систему вокруг оси $\textstyle y$, а затем вокруг оси $\textstyle x$, получим одну матрицу, а при выполнении этих поворотов в обратном порядке — другую:

${\mathbf {R} }_{x}{\mathbf {R} }_{y}={\begin{pmatrix}c_{2}&0&-s_{2}\\s_{1}s_{2}&c_{1}&s_{1}c_{2}\\c_{1}s_{2}&-s_{1}&c_{1}c_{2}\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {R} }_{y}{\mathbf {R} }_{x}={\begin{pmatrix}c_{2}&s_{1}s_{2}&-c_{1}s_{2}\\0&c_{1}&s_{1}\\s_{2}&-s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}\\\end{pmatrix}}.$

Неабелевость группы вращений связана с ненулевыми структурными константами. Понятно, что если коммутатор бесконечно малых поворотов (генераторов) отличен от нуля, то и матрицы произвольного поворота не будут между собой коммутировать. Естественно в группе $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ можно выделить и абелевы подгруппы. Например, вращение вокруг одной оси на различные углы является абелевой группой $\textstyle \mathbf {SO} (2)\subset \mathbf {SO} (3)$.

Описание композиции вращений существенно упрощается при использовании кватернионной техники. Поэтому к группе $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ мы вернемся при рассмотрении соответствующей темы в главе . В частности, получим явное выражение для функции композиции $\textstyle \phi (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$.

$\textstyle \bullet$ Найдем выражение для матрицы поворота на угол $\textstyle \phi$ вокруг произвольно направленного единичного вектора $\textstyle \mathbf {n}$. Пусть с твёрдым телом, вращающимся вокруг оси $\textstyle \mathbf {n}$ (ниже первый рисунок) жёстко связан некоторый вектор $\textstyle \mathbf {r}$. При повороте на угол $\textstyle \phi$ он переходит в вектор $\textstyle \mathbf {r} '$, скользя по перевёрнутому конусу (второй рисунок):

Обозначим проекцию $\textstyle \mathbf {r}$ на основание конуса через $\textstyle {\boldsymbol {\rho }}$, а проекцию $\textstyle \mathbf {r} '$ через $\textstyle {\boldsymbol {\rho }}'$. Их длины одинаковы, и вектор $\textstyle {\boldsymbol {\rho }}$, в результате поворота на угол $\textstyle \phi$, переходит в $\textstyle {\boldsymbol {\rho }}'$. Введём вектор $\textstyle \mathbf {n} \times \mathbf {r}$, лежащий в основании конуса перпендикулярно $\textstyle {\boldsymbol {\rho }}$ (см. "вид сверху" на третьем рисунке). Его длина равна $\textstyle |\mathbf {n} \times \mathbf {r} |=r\sin \gamma =|{\boldsymbol {\rho }}|$ (второй рисунок), поэтому $\textstyle {\boldsymbol {\rho }}'$ можно разложить по двум перпендикулярным векторам, имеющим одинаковую длину:

${\boldsymbol {\rho }}'={\boldsymbol {\rho }}\cos \phi +[\mathbf {n} \times \mathbf {r} ]\sin \phi .$

С другой стороны, векторы $\textstyle \mathbf {r}$ и $\textstyle \mathbf {r} '$ можно разложить следующим образом:

$\mathbf {r} ={\boldsymbol {\rho }}+\mathbf {n} \;(\mathbf {n} \mathbf {r} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} '={\boldsymbol {\rho }}'+\mathbf {n} \;(\mathbf {n} \mathbf {r} '),$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {n} (\mathbf {n} \mathbf {r} )$ направлен вдоль $\textstyle \mathbf {n}$ и равен высоте конуса. В результате, учитывая, что $\textstyle \mathbf {r} '\mathbf {n} =\mathbf {r} \mathbf {n}$, получаем: $\textstyle \mathbf {r} '={\boldsymbol {\rho }}\cos \phi +[\mathbf {n} \times \mathbf {r} ]\sin \phi +\mathbf {n} \;(\mathbf {n} \,\mathbf {r} ).$

Принято различать пассивные и активные повороты. В первом случае сравниваются координаты одной и той же фиксированной точки пространства в двух системах координат $\textstyle (x,y,z)$ и $\textstyle (x',y',z')$, повёрнутых относительно друг друга на угол $\textstyle \phi$. При активных вращениях рассматриваются координаты некоторого вектора, после его поворота относительно одной и той же системы координат:

Преобразования Лоренца описывают одно и тоже событие из различных систем отчёта, поэтому они являются пассивными вращениями. Для пространственных вращений мы также будем использовать пассивную интерпретацию. Несложно видеть, что поворот тела на угол $\textstyle \phi$ относительно неподвижной системы координат эквивалентно повороту системы координат при неподвижном теле на угол "$\textstyle -\phi$".

Поэтому, делая замену $\textstyle \phi \mapsto -\phi$ и меняя порядок векторов в векторном произведении, а также выражая $\textstyle {\boldsymbol {\rho }}$ через $\textstyle \mathbf {r}$ при помощи первого соотношения (), окончательно, получаем:

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} \,\cos \phi +\mathbf {n} (\mathbf {n} \mathbf {r} )(1-\cos \phi )-[\mathbf {n} \times \mathbf {r} ]\sin \phi .$

(EQN)

Пусть ось вращения направлена вдоль оси $\textstyle z$. Тогда компоненты единичного вектора имеют значения $\textstyle \mathbf {n} =\{0,0,1\}$. Записывая $\textstyle \mathbf {r} =\{x,y,z\}$ и аналогично со штрихами, из () получаем преобразование (), стр.\,\pageref{rotate_XY} для вращения в плоскости $\textstyle (x,y)$:

$\left\{{\begin{array}{l}x'=x\cos \phi +y\sin \phi \\y'=y\cos \phi -x\sin \phi \\z'=z.\end{array}}\right.$

Напомним, что при описании вращения используется правило правого винта (штопора). Этот винт вкручивается на угол $\textstyle \phi$ в направлении оси $\textstyle \mathbf {n}$ и его поворот показывает направление вращения системы координат. Кроме этого различают правые и левые системы координат:

В книге используется правая система. В этой системе ось $\textstyle z$ получается при помощи того же правого винта, если его рукоятку поворачивать от оси $\textstyle x$ к оси $\textstyle y$ в направлении $\textstyle z$. В 3-мерном пространстве левая система координат получается из правой в результате инверсии (обращении) одной или трёх осей. После такой операции, ни каким поворотом нельзя совместить оси левой и правой систем координат.

Векторное соотношение () можно записать в тензорном виде для преобразования $\textstyle r'_{i}=R_{ij}r_{j}$, при помощи символа Кронекера $\textstyle \delta _{ij}$ и антисимметричного тензора Леви-Чевиты ($\textstyle [\mathbf {n} \times \mathbf {r} ]_{i}=\varepsilon _{ikj}n_{k}r_{j}=-\varepsilon _{ijk}n_{k}r_{j}$):

$R_{ij}=\delta _{ij}\,\cos \phi +n_{i}n_{j}\,(1-\cos \phi )+\varepsilon _{ijk}n_{k}\,\sin \phi .$

(EQN)

Для бесконечно малого по углу $\textstyle \phi$ преобразования, раскладывая в ряд синус и косинус, имеем $\textstyle R_{ij}\approx \delta _{ij}+\varepsilon _{ijk}n_{k}\phi$, Поэтому генераторы группы равны $\textstyle (\mathbf {X} _{k})_{ij}=\varepsilon _{ijk}$, где индекс $\textstyle k$ перечисляет матрицы генераторов, а $\textstyle i,j$ — их элементы. Символ Леви-Чевиты равен $\textstyle \varepsilon _{123}=1$, при перестановке двух индексов появляется минус и при совпадении любых индексов он равен нулю. Поэтому несложно проверить, что значения $\textstyle (\mathbf {X} _{k})_{ij}=\varepsilon _{ijk}$ совпадают с элементами матриц ().

$\textstyle \bullet$ Из геометрических соображений понятно, что вращения вокруг различных единичных осей на некоторые углы охватывают все возможные вращения. Два последовательных вращения вокруг осей $\textstyle \mathbf {n} _{1}$ и $\textstyle \mathbf {n} _{2}$ на углы $\textstyle \phi _{1}$ и $\textstyle \phi _{2}$ всегда можно выразить через один поворот на угол $\textstyle \phi$ вокруг единичного вектора $\textstyle \mathbf {n}$. Связь между параметрами исходных поворотов и их результата будет получена в главе . Сейчас рассмотрим два последовательных поворота вокруг одной и той же оси. В этом случае происходит обычное сложение углов поворота (если последовательные вращения происходят вокруг разных осей это не так!):

$\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi _{1})\,\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi _{2})=\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi _{1}+\phi _{2}).$

Возьмем производную по $\textstyle \phi _{2}$, приравняв $\textstyle \phi _{2}=0$, а $\textstyle \phi _{1}=\phi$:

$\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi )\,\mathbf {X} (\mathbf {n} )={\frac {\partial \mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi )}{\partial \phi }},$

(EQN)

где матрицу $\textstyle \mathbf {X} (\mathbf {n} )$, при помощи выражения (), можно выразить через генераторы группы:

$\mathbf {X} (\mathbf {n} )={\frac {\partial \mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi )}{\partial \phi }}{\Bigr |}_{\phi =0}=n_{k}\mathbf {X} _{k}=n_{1}\mathbf {X} _{1}+n_{2}\mathbf {X} _{2}+n_{3}\mathbf {X} _{3}.$

Так как последовательность поворотов вокруг одной оси не играет роли ($\textstyle \mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi _{1})\,\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi _{2})=\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi _{2})\,\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi _{1})$), матрицы $\textstyle \mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi )$ и $\textstyle \mathbf {X} (\mathbf {n} )$ коммутируют (перестановочны). Следовательно, решение дифференциального матричного уравнения () можно записать следующим образом:

$\mathbf {R} (\mathbf {n} ,\,\phi )=e^{\mathbf {X} (\mathbf {n} )\,\phi }=e^{\mathbf {X} _{k}n_{k}\phi }.$

(EQN)

Экспонента от матрицы понимается в смысле её разложения в бесконечный степенной ряд Тейлора (возведение в произвольную степень матрицы является хорошо определенной операцией). Предполагается, что каждый элемент матрицы, получившейся в результате такого суммирования сходится к определенному значению. Стоит, разложив экспоненту, с точностью до второго порядка малости по $\textstyle \phi$, убедиться, что с той же точностью воспроизводится выражение (). Для этого сначала необходимо найти при помощи () следующие матрицы:

$\mathbf {X} _{k}n_{k}={\begin{pmatrix}0&n_{z}&-n_{y}\\-n_{z}&0&n_{x}\\n_{y}&-n_{x}&0\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;(\mathbf {X} _{k}n_{k})^{2}={\begin{pmatrix}n_{x}^{2}-1&n_{x}n_{y}&n_{x}n_{z}\\n_{y}n_{x}&n_{y}^{2}-1&n_{y}n_{z}\\n_{z}n_{x}&n_{z}n_{y}&n_{z}^{2}-1\\\end{pmatrix}},$

где учтено, что $\textstyle n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1$. Обратим внимание, что $\textstyle (\mathbf {X} _{k}n_{k})^{2}$ является симметричной матрицей (как и квадрат любой антисимметричной матрицы $\textstyle \mathbf {X} _{k}n_{k}$).

$\textstyle \bullet$ Аналогичное экспоненциальное представление c генераторами группы в показателе справедливо для многих линейных групп Ли. Остановимся на этом чуть подробнее. Пусть в групповом пространстве задана некоторая кривая. Это означает, что из всех элементов группы отобраны только такие элементы $\textstyle \mathbf {T} (t)$, которые можно перечислить (пронумеровать) при помощи одного непрерывного параметра $\textstyle t$. Считается, что элементы группы на кривой близки, если близки соответствующие им параметры. В случае матричных групп, элементы двух близких матриц близки в обычном смысле математического анализа. Для многопараметрических групп подмножество элементов, заданных на кривой не охватывает всех элементов группы. Однако, для ряда интересных в приложениях линейных групп множество всевозможных кривых, проходящих через единичный элемент $\textstyle \mathbf {T} (0)=\mathbf {1}$ (для которого естественно положить $\textstyle t=0$), покрывают все групповое пространство, пересекаясь только в единичном элементе. Более того, произведение двух элементов группы, лежащих на кривой, даёт элемент, который лежит на этой же кривой. Поэтому, всегда можно выбрать параметризацию, для которой:

$\mathbf {T} (t_{1})\mathbf {T} (t_{2})=\mathbf {T} (t_{1}+t_{2}).$

Продифференцируем это выражение по $\textstyle t_{2}$, положив его равным нулю, а $\textstyle t_{1}=t$:

$\mathbf {T} (t)\,\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {T} (t)}{\partial t}}.$

Так как в окрестности единичного преобразования матрицу $\textstyle \mathbf {T}$ можно разложить по генераторам группы, то

$\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {T} (t)}{\partial t}}{\Bigr |}_{t=0}=c_{k}\mathbf {X} _{k},$

где $\textstyle c_{k}$ — коэффициенты разложения и число слагаемых в сумме по $\textstyle k$ равно числу параметров группы. Аналогичное уравнение, с переставленными матрицами $\textstyle \mathbf {T} (t)$ и $\textstyle \mathbf {X}$ мы бы получили, продифференцировав по $\textstyle t_{1}$. Поэтому они коммутируют и решение уравнения можно записать в виде:

$\mathbf {T} (t)=e^{\mathbf {X} _{k}c_{k}\,t}.$

Числа $\textstyle c_{1},...,c_{n}$ имеют смысл компонент касательного к кривой вектора в групповом пространстве в окрестности единичного преобразования, который разложен по базису генераторов $\textstyle \mathbf {X} _{1},...,\mathbf {X} _{n}$. Масштабным преобразованием параметра $\textstyle t$ всегда можно сделать сумму квадратов коэффициентов $\textstyle c_{k}$ равной единице.

---

Линейные преобразования <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Группа SU(2)

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии