Группа SU(2)

Материал из synset
Версия от 15:57, 7 октября 2012; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Защищена страница «Группа SU(2)» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
Перейти к: навигация, поиск
Группы O(3) и SO(3) << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Группа Лоренца

Рассмотрим теперь группу . Напомним, что её элементами являются унитарные матрицы с единичным определителем . Группа при преобразованиях вектора с комплексными коэффициентами оставляет неизменным квадрат модуля компонент вектора: . Действительно:

Запишем матрицу в окрестности единичного преобразования:

где коэффициенты матрицы — малые комплексные числа. Условие унитарности приводит к антиэрмитовости матрицы :

Единичность определителя матрицы даёт ещё одно уравнение (равенство нулю следа матрицы) (\,H):

Матрица зависит от вещественных параметров ( элементов, имеющих действительную и мнимую части). Из уравнений следует, что диагональные элементы должны быть чисто мнимыми ( ограничений). Для недиагональных элементов они дают еще действительных уравнений. Плюс одно ограничение получается из . В результате, общее число действительных параметров, определяющих матрицу равно . Специальная унитарная группа имеет 3 параметра.(2) Запишем её матрицу в следующем виде:

Несложно проверить, что эта матрица удовлетворяет обоим полученным выше условиям. Разложение, записанное во втором равенстве, приводит к трём матричным генераторам: . Они удовлетворяют алгебре Ли, похожей на алгебру группы вращения :

Если их умножить на , то получатся матрицы Паули .

Любую матрицу группы можно записать в следующем виде:

Несложно проверить, что эта матрица унитарна: . Введем вместо 2-х комплексных параметров четыре действительных :

(EQN)

Равенство единице определителя выполняется, если , т.е. являются компонентами единичного вектора: . Выделение фактора станет ясным ниже. В такой параметризации матрица выражается через генераторы группы следующим образом:

(EQN)

Бесконечно малые параметры связаны с новыми параметрами: (берём ведущее приближение при разложении синуса и косинуса в ряд Тейлора). Матрицу можно также записать в следующем компактном, но более формальном виде (по сумма):

(EQN)

Действительно, несложно проверить, что квадрат матрицы для единичного вектора равен единичной матрице с обратным знаком (по сумма):

Поэтому:

При разложении в ряд Тейлора экспоненты (), получается ().

Если в качестве бесконечно малых параметров выбрать , то новые генераторы будут удовлетворять алгебре Ли эквивалентной алгебре группы (по сумма):

где

Как мы сейчас увидим, подобное совпадение алгебр неслучайно.

Продемонстрируем связь групп и . При помощи координат радиус-вектора построим эрмитову () матрицу:

Её определитель пропорционален длине радиус-вектора. При помощи унитарных матриц с единичными определителем запишем следующее преобразование:

(EQN)

Оно сохраняет эрмитовость матрицы: , и так как , длина радиус-вектора оказывается инвариантной:

Таким образом, преобразование () осуществляет некоторый поворот декартовой системы координат.

Возникает закономерный вопрос. Если существует связь группы и обычных вращений и кроме того, алгебры групп и совпадают, то не означает ли это, что группы и изоморфны (т.е. их элементы могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие)? Ответ отрицательный! Дело в том, что одинаковое поведение в малом (в окрестности единичного преобразования), вообще говоря, не означает одинаковости при любых значениях параметров.

Действительно, используя параметризацию (), запишем преобразование () в явном виде для случая , .

где , . Перемножая матрицы, имеем:

Сравнивая действительные и мнимые части, окончательно получаем:

Таким образом унитарное преобразование с параметрами и соответствует повороту в 3-мерном пространстве вокруг оси на угол . Если бы мы выбрали , то получился бы поворот вокруг оси , а при - вокруг .

Теперь заметим, что в группе параметр пробегает значения от 0 до (см. множитель в ()), определяя различные матрицы. В тоже время в группе интервалы и приводят к одним и тем же матрицам. Поэтому одной матрице соответствует две матрицы группы и, следовательно, преобразование () осуществляет гомоморфное отображение в .

Если бы мы отказались от условия , вместо группы получилась бы группа . Её матрицы отличаются дополнительным фазовым множителем с вещественным параметром "":

Эта матрица по прежнему унитарна , но её определитель не равен единице, хотя и имеет единичный модуль , что следует из условия унитарности.

Фазовый множитель можно рассматривать как унитарную матрицу из одного комплексного элемента. Эта "матрица" действует на единственное комплексное число: Поэтому это группа . Если записать и по теореме Эйлера , то преобразование для оказывается полностью эквивалентным поворотам в плоскости. Таким образом, группы и изоморфны. В свою очередь, группа является прямым произведением .

Очевидно, что группа абелева. В тоже время группа , как и является неабелевой.

Группа симметрий встречается в физике элементарных частиц при рассмотрении спина и изоспина. Следующая по размерности специальная унитарная группа лежит в основе одного из фундаментальных взаимодействий — квантовой хромодинамики. Эта группа имеет параметров и соответственно 8 генераторов, которые являются матрицами 3x3. Эти матрицы строятся аналогично группе . Матрица "отклонения от единичной" со свойствами и может быть записана следующим образом (выделена мнимая единица!):

Параметризация диагональных элементов произвольна (они чисто мнимые и их сумма равна нулю). Разложение даёт 8 генераторов или т.н. матриц Гелл-Манна (3) (обычно делится на , что соответствует переопределению параметра ).

Существование гомеоморфного отображения группы на , в силу определения данного на стр.\,\pageref{sec_represatation}, означает, что матрицы группы являются матричным представлением элементов группы . Аналогично в обратную сторону: все элементы группы можно изоморфно отобразить в часть матриц (это точное представление).

Алгебры генераторов групп и совпадают, хотя имеют различную размерность (матрицы 2x2 и 3x3). Представлением алгебры группы Ли размерности называется множество квадратных матриц x, коммутатор которых совпадает с коммутатором генераторов группы. Не стоит путать размерность представления и размерность группы Ли (равную числу действительных параметров, "перечисляющих" элементы группы). Для одной и той же группы можно построить представления алгебр различной размерности.

Почему интересно изучение представлений, например, группы ? Эта группа с тремя генераторами является группой матриц размера 3x3. С их помощью записывается преобразование компонент 3-вектора при поворотах системы координат: (собственно одним из определений компонент вектора является: "набор 3-х величин, преобразующихся при поворотах при помощи матрицы "). Пусть теперь найдены матрицы-генераторы другой размерности , имеющие такую же алгебру, как и . Это означает, что построены матрицы преобразования некоторой -компонентной величины . Таким образом, существуют различные математические объекты, по разному преобразующиеся при вращении системы координат. Часть из них хорошо известна. Например, тензоры ранга 2 в 3-мерном пространстве имеют 9 компонент. Обычно мы записываем их преобразование как произведение двух векторов: . Однако его можно записать и при помощи матрицы 9x9, действующей на столбик, состоящий из 9 компонент тензора.

Замечательно, что существуют более экзотические объекты, несводимые к векторам и тензорам. Например, матрицам 2x2 преобразования группы соответствуют так называемые 3-спиноры, которые мы подробно изучим в главе . Природа не любит "математической пустоты". Если естественным образом возникают математические конструкции обобщающие, например, векторы, то, обычно, в физике находятся объекты, адекватное описание которых проще всего провести при помощью этих конструкций. Например, спиноры лежат в основе нашего понимания таких фундаментальных частиц как лептоны (к которым относится электрон) и кварки, из которых "состоят" адроны.

Найдем все неприводимые представления алгебры групп и . Как мы увидим в дальнейшем, классификация представлений группы Лоренца (к которой относятся преобразования Лоренца), также основана на этой алгебре. Матрицы — антиэрмитовы. Удобно вместо них ввести эрмитовы матрицы , не меняющиеся при эрмитовом сопряжении: . Для них справедлива следующая алгебра:

(EQN)

В частности . Кроме этого введем ещё две матрицы:

При помощи коммутатора () несложно проверить, что

и эрмитово сопряжение меняет местами эти матрицы: .

Рассмотрим уравнение на собственные функции и собственные значения матрицы :

(EQN)

Если представление имеет размерность (матрицы x), то — это столбик, состоящий их чисел (индекс нумерует столбики соответствующие различным собственным значениям , а не компоненты этих столбиков). Для эрмитовой матрицы x это уравнение имеет не более решений (они существует, если , а это степенное уравнение порядка относительно числа ). Кроме этого, все собственные значения — действительны (стр.\,\pageref{math_eq_egenval}). Найдем их. Умножая коммутатор справа на столбик , приходим к выводу, что столбик , также является собственным вектором матрицы , который соответствует собственному значению :

(EQN)

Матрицы называются повышающей () и понижающей (). Число собственных значений ограничено значением и бесконечно повышать и понижать собственное значение матрицы не могут. В частности существует максимальное собственное значение , для которого

(EQN)

Понижая при помощи , мы также рано или поздно получим ноль, т.е. существует целое число , такое, что . При этом собственные значения равны , , ...., .

Собственные векторы унитарной матрицы являются ортогональными и в силу линейности уравнений () могут быть сделаны ортонормированными: . С их помощью матрицу можно задать диагональной с элементами:

т.е. на её диагонали стоят собственные значения. Беря след от коммутатора и учитывая, что для любых матриц , получаем, что . След — это сумма диагональных элементов, поэтому (арифметическая прогрессия):

В результате, максимальное собственное значение , т.е. оно может быть только целым или полуцелым ( — целое число), а собственные значения равны . Например, для и имеем следующие представления матрицы (нумерация индексов элементов матриц соответствует ):

Из линейных уравнений () следует, что:

(EQN)

где — некоторые числа. Первое соотношение следует из линейности, а второе из первого, так как учитывая и (нет суммы по ), имеем: . Найдем коэффициенты :

и так как , получаем:

Сложив левые части этих соотношений для , , ...., (принимая во внимание, что ):

получаем . Сумма правых частей (арифметическая прогрессия) дает .

Поэтому, с точностью до произвольного фазового множителя, имеем:

Теперь можно записать элементы понижающей и повышающей матриц

Элементы этих матриц равны нулю за исключением чисел , ..., , стоящих над главной диагональю в и под главной диагональю в . Так, для имеем , поэтому для и и , получаем:

что совпадает с матрицами 2x2 генераторов , полученных при рассмотрении группы . Аналогично, для представления , имеем , откуда:

что соответствует матрицам 3x3 генераторов группы , с точностью до преобразования эквивалентности , см. стр.\,\pageref{sec_represatation} (найдите (\,H) матрицу ). Аналогично записываются неприводимые представления более высокой размерности. Неприводимость представления следует из того, что число линейно независимых векторов равно размерности представления (нет инвариантных подпространств).

В заключение введем матрицу Казимира:

которая коммутирует со всеми генераторами алгебры что проверяется при помощи алгебры матриц . Векторы также являются её собственными векторами. В частности, для максимального , имеем:

где учтен второй коммутатор () и ().


Группы O(3) и SO(3) << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Группа Лоренца

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии