Группа Пуанкаре

Группа Лоренца <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Нелинейные преобразования

---

$\textstyle \bullet$ Группа Пуанкаре $\textstyle \mathbf {P} (1,3)$ объединяет группы Лоренца и трансляций:

$x'^{\alpha }=a^{\alpha }+\Lambda _{\;\beta }^{\alpha }\,x^{\beta }.$

Трансляции означают сдвиги начала отчёта времени и начала системы координат: $\textstyle t'=t+a^{0}$, $\textstyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {a}$. Группа Лоренца имеет 6 параметров (вектор скорости и вектор вращений). Трансляция — это ещё 4 параметра. Поэтому группа Пуанкаре — 10-параметрическая группа с инвариантом, равным расстоянию в 4-мерном пространстве между двумя событиями:

$(\mathrm {x} _{2}-\mathrm {x} _{1})^{2}=(t_{2}-t_{1})^{2}-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})^{2}=inv.$

Группа Лоренца — это подгруппа группы Пуанкаре. Её инвариантом является как $\textstyle (\mathrm {x} _{2}-\mathrm {x} _{1})^{2}$, так и $\textstyle \mathrm {x} ^{2}$. В тоже время для группы Пуанкаре $\textstyle \mathrm {x} ^{2}$ не является инвариантом, так как он трансляционно неинвариантен.

Запишем два преобразования Пуанкаре в матричном виде:

$\mathrm {x} _{1}=\mathrm {a} _{1}+\mathbf {\Lambda } _{1}\mathrm {x} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm {x} _{2}=\mathrm {a} _{2}+\mathbf {\Lambda } _{2}\mathrm {x} _{1}.$

Подставим первое преобразование во второе: $\textstyle \mathrm {x} _{2}=\mathrm {a} _{2}+\mathbf {\Lambda } _{2}\mathrm {a} _{1}+\mathbf {\Lambda } _{2}\mathbf {\Lambda } _{1}\mathrm {x} .$ Поэтому символическая запись закона групповой композиции имеет вид:

$(\mathrm {a} _{2},\;\mathbf {\Lambda } _{2})\cdot (\mathrm {a} _{1},\;\mathbf {\Lambda } _{1})=(\mathrm {a} _{2}+\mathbf {\Lambda } _{2}\mathrm {a} _{1},\;\mathbf {\Lambda } _{2}\mathbf {\Lambda } _{1}).$

Единичным элементом группы является $\textstyle (0,\;\mathbf {1} )$, а обратным к $\textstyle (\mathrm {a} ,\;\mathbf {\Lambda } )$ будет элемент $\textstyle (-\mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathrm {a} ,\;\mathbf {\Lambda } ^{-1})$ ($\textstyle \lessdot$H). Множество всех трансляций $\textstyle (\mathrm {a} ,\;\mathbf {1} )$ (без преобразований Лоренца) являются инвариантной подгруппой группы Пуанкаре ($\textstyle \lessdot$\,H).

Преобразование группы Пуанкаре можно записать в матричном виде, если расширить матрицы до размерности 5:

${\begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{\;0}^{0}&\Lambda _{\;1}^{0}&\Lambda _{\;2}^{0}&\Lambda _{\;3}^{0}&a^{0}\\\Lambda _{\;0}^{1}&\Lambda _{\;1}^{1}&\Lambda _{\;2}^{1}&\Lambda _{\;3}^{1}&a^{1}\\\Lambda _{\;0}^{2}&\Lambda _{\;1}^{2}&\Lambda _{\;2}^{2}&\Lambda _{\;3}^{2}&a^{2}\\\Lambda _{\;0}^{3}&\Lambda _{\;1}^{3}&\Lambda _{\;2}^{3}&\Lambda _{\;3}^{3}&a^{3}\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\\1\\\end{pmatrix}}$

При перемножении таких матриц 5x5 (композиция преобразований) последняя строчка матрицы изменяться не будет, как не будет изменяться равный единице 5-й элемент в столбике преобразуемого вектора.

Перемножать матрицы, для получения алгебры генераторов достаточно утомительно. Проще оказывается операторный подход (стр.\,\pageref{sym_oper_method}). Матрицы генераторов $\textstyle \mathbf {R} _{i}$, $\textstyle \mathbf {L} _{i}$ группы Лоренца (стр.\,\pageref{sym_R_L_Lorenz}) приводят к следующим операторам $\textstyle {\hat {X}}_{i}=-(\mathbf {X} _{i})_{\;\beta }^{\alpha }x^{\beta }\partial _{\alpha }$ с такой же алгеброй для коммутаторов:

${\hat {L}}_{x}=t\partial _{x}+x\partial _{t},\;\;\;\;\;\;{\hat {L}}_{y}=t\partial _{y}+y\partial _{t},\;\;\;\;\;{\hat {L}}_{z}=t\partial _{z}+z\partial _{t},$

${\hat {R}}_{x}=y\partial _{z}-z\partial _{y},\;\;\;\;\;{\hat {R}}_{y}=z\partial _{x}-x\partial _{z},\;\;\;\;\;{\hat {R}}_{z}=x\partial _{y}-y\partial _{x}.$

Шесть операторов $\textstyle {\hat {R}}_{i}$, $\textstyle {\hat {L}}_{j}$ можно объединить при помощи антисимметричного операторного тензора:

${\hat {J}}_{\alpha \beta }=\imath {\begin{pmatrix}0&{\hat {L}}_{x}&{\hat {L}}_{y}&{\hat {L}}_{z}\\-{\hat {L}}_{x}&0&-{\hat {R}}_{z}&{\hat {R}}_{y}\\-{\hat {L}}_{y}&{\hat {R}}_{z}&0&-{\hat {R}}_{x}\\-{\hat {L}}_{z}&-{\hat {R}}_{y}&{\hat {R}}_{x}&0\\\end{pmatrix}}=\imath (x_{\alpha }\partial _{\beta }-x_{\beta }\partial _{\alpha }).$

Во втором равенстве, являющимся ковариантным представлением оператора $\textstyle {\hat {J}}_{\alpha \beta }$, учтено, что $\textstyle x_{\alpha }=\{t,-x,-y,-z\}$. В тоже время $\textstyle \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ является обычной производной по $\textstyle x$. Для предания $\textstyle {\hat {J}}_{\alpha \beta }$ эрмитовости, в его определении дополнительно был введен множитель $\textstyle \imath$.

Для трансляции $\textstyle x'^{\alpha }=x^{\alpha }+a^{\alpha }$, величина $\textstyle u_{k}^{\alpha }=\delta _{k}^{\alpha }$ (стр.\,\pageref{operat_gener}) приводит к оператору инфинитезимального преобразования, который мы также сделаем эрмитовым:

${\hat {P}}_{\alpha }=\imath \partial _{\alpha }.$

В квантовой теории, умноженный на постоянную Планка $\textstyle \hbar$, он становится оператором 4-импульса. Найдём как он коммутирует с оператором 4-вращений, который соответствует оператору момента импульса:

${\hat {J}}_{\alpha \beta }=x_{\alpha }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P}}_{\alpha }.$

Действуя коммутатором на произвольную функцию, имеем ($\textstyle \imath ^{2}=-1$):

$[{\hat {P}}_{\alpha },\,{\hat {J}}_{\mu \nu }]F=-\partial _{\alpha }(x_{\mu }\partial _{\nu }F)+\partial _{\alpha }(x_{\nu }\partial _{\mu }F)+x_{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\alpha }F-x_{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\alpha }F.$

Раскрывая производную произведения, и учитывая, что

$\partial _{\alpha }x_{\mu }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}=g_{\alpha \nu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\mu }}}=g_{\alpha \nu }\delta _{\mu }^{\nu }=g_{\alpha \mu },$

получаем:

$[{\hat {P}}_{\alpha },\,{\hat {J}}_{\mu \nu }]F=\imath \,(g_{\alpha \mu }{\hat {P}}_{\nu }-g_{\alpha \nu }{\hat {P}}_{\mu })F,$

где произвольную функцию теперь можно опустить. Чтобы оценить удобство операторного подхода, стоит попробовать получить эти же соотношения на прямую для генераторов, перемножая матрицы.

Так как частные производные перестановочны, то операторы $\textstyle {\hat {P}}_{\alpha }$ коммутируют друг с другом. Кроме этого, повторяя вычисления подобные проведенным выше, можно найти коммутатор $\textstyle [{\hat {J}}_{\alpha \beta },\;{\hat {J}}_{\mu \nu }]$. В результате получается алгебра Пуанкаре:

$[{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {P}}_{\beta }]=0,$

(EQN)

$[{\hat {P}}_{\alpha },\,{\hat {J}}_{\mu \nu }]=\imath \,(g_{\alpha \mu }{\hat {P}}_{\nu }-g_{\alpha \nu }{\hat {P}}_{\mu }),$

(EQN)

$[{\hat {J}}_{\alpha \beta },\;{\hat {J}}_{\mu \nu }]=\imath \,(g_{\alpha \mu }{\hat {J}}_{\nu \beta }-g_{\alpha \nu }{\hat {J}}_{\mu \beta }+g_{\beta \mu }{\hat {J}}_{\alpha \nu }-g_{\beta \nu }{\hat {J}}_{\alpha \mu }).$

(EQN)

Некоммутативность операторов трансляций $\textstyle {\hat {P}}_{\alpha }$ и 4-поворотов $\textstyle {\hat {J}}_{\mu \nu }$ связана с неперестановочностью этих операций. Пусть, например, тело в начале координат поворачивается вокруг вертикальной оси на некоторый угол, а затем сдвигается в горизонтальной плоскости. Результат этих операций в обратной последовательности (сдвиг, а затем поворот вокруг начала координат) будет другой, как для положения тела, так и для его ориентации. Из () следует ($\textstyle \lessdot$\,H), ч то 4-повороты коммутируют с квадратом 4-смещений (и вообще с любым операторным 4-скаляром!):

$[{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {P}}_{\gamma }{\hat {P}}^{\gamma }]=0.$

По определению, представление алгебры Пуанкаре осуществляют любые линейные операторы (не обязательно матрицы), удовлетворяющие коммутационным соотношениям ()-(). Так, если $\textstyle {\hat {J}}_{\alpha \beta }$, $\textstyle {\hat {P}}_{\alpha }$ не являются матрицами 4x4, то $\textstyle {\hat {J}}_{\alpha \beta }\neq x_{\alpha }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P}}_{\alpha }$, как это происходит, например, для системы точечных частиц, обладающей спином (см.стр.\,\pageref{spin_def}). В этом случае можно ввести ненулевой оператор Паули-Любанского:

${\hat {W}}^{\nu }={\frac {1}{2}}\,\varepsilon ^{\nu \alpha \beta \gamma }\,{\hat {J}}_{\alpha \beta }\,{\hat {P}}_{\gamma }.$

(EQN)

Он 4-ортогонален оператору сдвигов и коммутирует с ним:

${\hat {W}}_{\nu }{\hat {P}}^{\nu }=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[{\hat {W}}_{\mu },\,{\hat {P}}_{\nu }]=0.$

(EQN)

Коммутатор с оператором вращения имеет вид:

$[{\hat {W}}_{\alpha },\,{\hat {J}}_{\mu \nu }]=\imath \,(g_{\alpha \mu }{\hat {W}}_{\nu }-g_{\alpha \nu }{\hat {W}}_{\mu }).$

(EQN)

Наконец, коммутатор двух операторов $\textstyle {\hat {W}}$ равен:

$[{\hat {W}}^{\mu },\,{\hat {W}}^{\nu }]=\imath \,\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }{\hat {P}}_{\alpha }{\hat {W}}_{\beta },$

(EQN)

что проверяется при помощи () и ().

При помощи свертки операторов $\textstyle {\hat {J}}_{\mu \nu }$ и $\textstyle {\hat {P}}_{\nu }$, можно получить еще один ковариантный оператор, который, как и $\textstyle {\hat {W}}_{\mu }$, ортогонален оператору сдвигов $\textstyle {\hat {P}}_{\mu }$:

${\hat {N}}_{\mu }={\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}^{\nu }.$

(EQN)

Для него справедливы следующие коммутаторы:

$[{\hat {N}}_{\mu },\,{\hat {P}}_{\nu }]=\imath ({\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}_{\nu }-g_{\mu \nu }\,M^{2}),$

$[{\hat {N}}_{\alpha },\,{\hat {J}}_{\mu \nu }]=\imath \,(g_{\alpha \mu }{\hat {N}}_{\nu }-g_{\alpha \nu }{\hat {N}}_{\mu }),$

$[{\hat {N}}_{\mu },\,{\hat {W}}_{\nu }]=\imath \,{\hat {W}}_{\mu }{\hat {P}}_{\nu },$

где $\textstyle M^{2}={\hat {P}}_{\alpha }{\hat {P}}^{\alpha }$, а при вычислении последнего коммутатора лучше использовать () и (). Между собой эти операторы коммутируют так:

$[{\hat {N}}_{\mu },\,{\hat {N}}_{\nu }]=\imath M^{2}\,{\hat {J}}_{\mu \nu }.$

Обратим внимание на одинаковую структуру коммутаторов операторных 4-векторов $\textstyle {\hat {P}}_{\alpha }$, $\textstyle {\hat {W}}_{\alpha }$ и $\textstyle {\hat {N}}_{\alpha }$ с тензорным оператором вращений $\textstyle {\hat {J}}_{\mu \nu }$. Это общий результат и так будет коммутировать любой операторный 4-вектор $\textstyle {\hat {A}}_{\alpha }$. Связано это с тем, что $\textstyle {\hat {J}}_{\mu \nu }$ определяет матрицу преобразования группы Лоренца. Аналогично, любое тензорное выражение $\textstyle {\hat {S}}_{\alpha \beta }$ будет коммутировать с $\textstyle {\hat {J}}_{\mu \nu }$ как произведение двух операторов $\textstyle {\hat {A}}_{\alpha }{\hat {B}}_{\beta }$, см. ().

Перечислим все независимые ненулевые 4-скаляры, которые можно определить при помощи введенных операторов:

${\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu },\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\hat {W}}_{\mu }{\hat {W}}^{\mu },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\hat {N}}_{\mu }{\hat {N}}^{\mu },\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\hat {W}}_{\mu }{\hat {N}}^{\mu }.$

Первые два из них коммутируют со всеми операторами, являясь операторами Казимира группы Пуанкаре.

Как мы увидим в следующей главе, инвариантность относительно сдвигов приводит к сохранению полного импульса системы $\textstyle P_{\mu }$. Аналогично, инвариантность относительно 4-поворотов связана с сохранением тензора полного момента импульса системы $\textstyle J_{\mu \nu }$. Квадрат импульса является константой, равной полной массе системы $\textstyle {\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu }=M^{2}$. Квадрат оператора Паули-Любанского равен:

${\hat {W}}_{\mu }{\hat {W}}^{\mu }={\hat {N}}_{\mu }{\hat {N}}^{\mu }-{\frac {M^{2}}{2}}\,{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {J}}^{\mu \nu },$

где мы воспользовались коммутатором () и тождеством для свертки двух символов Леви-Чевиты по одному индексу ($\textstyle \lessdot$\,H).

$\textstyle \bullet$ Чтобы построить неприводимые представления алгебры Пуанкаре необходимо отобрать набор коммутирующих между собой операторов и найти их собственные функции и значения. Используя базис собственных функций, можно записать матричные элементы всех операторов. При этом коммутирующие операторы будут представлены диагональными матрицами с собственными значениями, стоящими на диагонали. Аналогичным образом мы поступили при нахождении представлений алгебры групп $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ и $\textstyle \mathbf {SU} (2)$ (см.стр.\,\pageref{sym_algebra_pred_SU2_Jp} и далее).

В качестве коммутирующих операторов удобно выбрать два оператора Казимира, компоненты оператора импульса и нулевую компоненту оператора Паули-Любанского:

$M^{2}={\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu },\;\;\;\;\;W^{2}={\hat {W}}_{\mu }{\hat {W}}^{\mu },\;\;\;\;\;{\hat {P}}_{\mu },\;\;\;\;\;\;\;{\hat {W}}_{0}.$

Обратим внимание, что хотя $\textstyle [{\hat {W}}_{\mu },{\hat {P}}_{\nu }]=0$, различные компоненты оператора $\textstyle {\hat {W}}_{\mu }$ между собой не коммутируют и в базисный набор можно взять только одну из них, например, $\textstyle {\hat {W}}_{0}$. Кроме этих семи операторов, для некоторых классов представлений (конкретных величин собственных значений) существуют дополнительные базисные операторы (см. ниже). Собственные значения операторов будем обозначать теми же символами, что и операторы, но без шляпок над ними.

Собственные значения оператора импульса принимают непрерывные значения на всем диапазоне вещественной оси. Действительно, решение уравнения $\textstyle \imath \partial _{\mu }\Phi =P_{\mu }\Phi$ на собственные функции и значения для оператора $\textstyle {\hat {P}}_{\mu }=\imath \partial _{\mu }$ имеют решение $\textstyle \Phi _{P_{\mu }}(x)\sim e^{-\imath P_{\mu }x^{\mu }}$, с любым собственным значением $\textstyle P_{\mu }$. Аналогично, непрерывный спектр принимают собственные значения оператора Казимира $\textstyle M^{2}={\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu }$ (как и интервал они могут быть как положительными, так и отрицательными).

Следуя Вигнеру различают пять классов представлений, со следующими собственными значениям:

${\begin{array}{llll}I.\;\;\;\;&M^{2}>0\\II.&M^{2}=0,&W^{2}=0,&P^{\mu }\neq 0\\III.&M^{2}=0,&W^{2}\neq 0\\IV.&M^{2}<0\\V.&P^{\mu }=0\\\end{array}}$

Для физических приложений интерес представляют первые два класса, соответствующие в квантовой теории массивным и безмассовым частицам. Если $\textstyle M^{2}>0$, появляется дополнительный оператор $\textstyle {\hat {P}}^{0}/|{\hat {P}}^{0}|$, коммутирующий со всеми операторами алгебры и имеющий смысл знака энергии системы.

$\textstyle \bullet$ Оператор Паули-Любанского $\textstyle {\hat {W}}^{\mu }$ непосредственно связан с оператором спина $\textstyle {\hat {S}}^{\mu }=\{{\hat {S}}^{0},\,{\hat {\mathbf {S} }}\}$, стр.\,\pageref{spin_def}:

${\hat {W}}^{\mu }=M{\hat {S}}^{\mu }.$

Запишем его в векторных обозначениях (см. также стр.\,\pageref{spin_def}):

${\hat {S}}^{0}={\hat {\mathbf {J} }}{\hat {\mathbf {U} }},\;\;\;\;\;\;{\hat {\mathbf {S} }}={\hat {\mathbf {J} }}{\hat {U}}^{0}-{\hat {\mathbf {G} }}\times {\hat {\mathbf {U} }},$

где $\textstyle {\hat {U}}^{\mu }=\{{\hat {U}}^{0},{\hat {\mathbf {U} }}\}$ — оператор 4-скорости ($\textstyle {\hat {P}}^{\mu }=M{\hat {U}}^{\mu }$) и введены операторные векторы $\textstyle {\hat {\mathbf {J} }}=\{{\hat {J}}^{23},{\hat {J}}^{31},{\hat {J}}^{12}\}$ и $\textstyle {\hat {\mathbf {G} }}=\{{\hat {J}}^{10},{\hat {J}}^{20},{\hat {J}}^{30}\}$. Рассмотрим случай, когда собственные значения оператора $\textstyle {\hat {\mathbf {P} }}$ равны нулю $\textstyle (\mathbf {P} =\mathbf {0} )$. Мы будем говорить, что это соответствует системе отсчета в которой полный импульс равен нулю (строго говоря такая терминология справедлива только при переходе к квантовой теории). В такой "системе покоя" матричные элементы $\textstyle {\hat {S}}^{0}$ равны нулю, а пространственные совпадают с полным моментом:

$\Phi '_{\mathbf {P} =0}\,{\hat {S}}^{0}\,\Phi _{\mathbf {P} =0}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi '_{\mathbf {P} =0}\,{\hat {\mathbf {S} }}\,\Phi _{\mathbf {P} =0}=\Phi '_{\mathbf {P} =0}\,{\hat {\mathbf {J} }}\,\Phi _{\mathbf {P} =0}.$

Коммутатор () для пространственных компонент совпадает с коммутаторами генераторов групп $\textstyle \mathbf {SO} (3)$ и $\textstyle \mathbf {SU} (2)$. Например:

$[{\hat {J}}_{x},\,{\hat {J}}_{y}]=[{\hat {J}}_{23},\,{\hat {J}}_{31}]=\imath g_{33}{\hat {J}}_{21}=\imath {\hat {J}}_{z}.$

Повторяя рассуждения, которые мы сделали при построении неприводимых представлений этой алгебры, приходим к выводу, что собственные значения оператора $\textstyle {\hat {J}}_{z}$ полного момента (и спина $\textstyle {\hat {S}}_{z}$ в системе покоя) принимают $\textstyle 2j+1$ значений: $\textstyle j,j-1,...,-j$, где максимальное значение $\textstyle j$ может быть целым или полуцелым числом. В частности, блок матрицы $\textstyle {\hat {S}}_{z}$, соответствующий значениям нулевого импульса будет диагональным.

Целые значения спина физически соответствуют бозонам (фотон, $\textstyle \pi$-мезон,...), а полуцелые — фермионам (электрон, протон,...). Собственно все известные в природе элементарные частицы относятся к одному из этих двух классов. Более того, истинно фундаментальными (бесструктурными, на данном уровне знания) частицами материи являются фермионы с минимально возможным спином 1/2 (лептоны и кварки).

Таким образом, алгебра Пуанкаре, существенно расширяет возможности построения различных представлений по сравнению с алгеброй Лоренца. Алгебра Пуанкаре может быть ещё более расширена, за счет введения дополнительных операторов. Подобные расширения приводят к суперсимметричным теориям, изложение которых выходит за рамки нашей книги.

---

Группа Лоренца <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Нелинейные преобразования

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии