Найдём теперь вероятность достижения при блуждании границ интервала . Пусть это будут поглощающие границы, и в начальный момент времени частица находится в некоторой точке . Вероятность того, что в момент времени она ещё ни разу не коснулась границ и находится внутри интервала , равна:
|
(4.17)
|
Второе равенство записано для однородных систем, у которых снос и волатильность не зависят от времени. Именно их мы сейчас и рассмотрим. Для таких систем можно сдвинуть начало отсчёта времени, считая начальным , а "конечным" — . Возьмём производную по выражения (4.17) и воспользуемся
первым уравнением Колмогорова (4.6). В результате уравнение для имеет вид:
|
(4.18)
|
Для плотности вероятности справедливо начальное условие в виде функции Дирака . Поэтому из (4.17) следует начальное условие: (частица гарантированно находится в ). Кроме этого, если оказывается на границе, вероятность дальнейшего пребывания в интервале будет равной нулю, поэтому:
Обозначим через время достижения одной из границ. Понятно, что -случайная величина и — это интегральная вероятность того, что ("всё ещё находится"). Вероятность, что , равна . Её производная по даст плотность вероятности того или иного времени пребывания в интервале . Поэтому, например, среднее время пребывания равно:
Мы считаем, что , т.к. частица в ограниченном пространстве рано или поздно достигает одной из границ. Для среднего -той степени от введём следующее обозначение и найдём уравнение, которому удовлетворяет функция .
Проведя интегрирование по частям в определении , получаем:
|
(4.19)
|
Умножим уравнение (4.18) на и проинтегрируем по :
Благодаря нормировочному условию имеем . Поэтому мы получили последовательность уравнений с правой частью, определяемой на предыдущей итерации. В частности, для среднего времени :
с граничными условиями (если частица в начальном положении была на границе, то она сразу покинет пространство).
Например, при винеровском блуждании с нулевым сносом и волатильностью имеем:
где и — константы интегрирования. Пусть поглощающие границы находятся в точках . Тогда граничные условия приводят к:
Максимальное среднее время достижения границ получается тогда, когда в начальный момент частица находится в центральной части интервала . В силу симметрии задачи (сноса нет) этот результат вполне ожидаем. Даже если находится недалеко от , то при среднее время также стремится к бесконечности.
В качестве упражнения ( H) стоит решить эту же задачу при ненулевом сносе и рассмотреть предел "широкого" пространства .
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения