Стохастический осциллятор — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 33: Строка 33:
 
:<center><math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{a} = \begin{pmatrix} p \\ -x -2\lambda p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sigma_1 x & \sigma_2 p & \sigma_3\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \delta \mathbf{W} = \begin{pmatrix} \delta W_1 \\ \delta W_2 \\ \delta W_3 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
 
:<center><math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{a} = \begin{pmatrix} p \\ -x -2\lambda p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sigma_1 x & \sigma_2 p & \sigma_3\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \delta \mathbf{W} = \begin{pmatrix} \delta W_1 \\ \delta W_2 \\ \delta W_3 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
  
Для функции <math>\textstyle F(\mathbf{x})=F(x,p)</math> координат и импульсов воспользуемся динамическим уравнением для средних (стр. \pageref{aver_F_n_dim}):
+
Для функции <math>\textstyle F(\mathbf{x})=F(x,p)</math> координат и импульсов воспользуемся динамическим уравнением для средних ([[Системы стохастических уравнений]]):
  
 
:<center><math>\frac{d}{dt}{\left\langle F(\mathbf{x})\right\rangle } = \left\langle \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \,\mathbf{a} +\frac{1}{2} \mathrm{Tr}\,\left[ \mathbf{b}^T \cdot \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2} \cdot \mathbf{b} \right] \right\rangle , \;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2}= \begin{pmatrix} F_{xx} & F_{xp} \\ F_{px} & F_{pp} \end{pmatrix},</math></center>
 
:<center><math>\frac{d}{dt}{\left\langle F(\mathbf{x})\right\rangle } = \left\langle \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \,\mathbf{a} +\frac{1}{2} \mathrm{Tr}\,\left[ \mathbf{b}^T \cdot \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2} \cdot \mathbf{b} \right] \right\rangle , \;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2}= \begin{pmatrix} F_{xx} & F_{xp} \\ F_{px} & F_{pp} \end{pmatrix},</math></center>
Строка 39: Строка 39:
 
где <math>\textstyle F_{xx}</math> &mdash; вторая производная по <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle F_{xp}</math> &mdash; производная по <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle p</math>, и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем (<math>\textstyle \lessdot</math> H):
 
где <math>\textstyle F_{xx}</math> &mdash; вторая производная по <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle F_{xp}</math> &mdash; производная по <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle p</math>, и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем (<math>\textstyle \lessdot</math> H):
  
:<center>
+
:<center>[[File:osc_eqn.png]]</center>
<math>
 
\frac{d}{dt}\, \bigl<F(x,p)\bigr> =\bigl< p F_x - (x+2\lambda p)F_p\bigr>
 
+ \frac{1}{2}\bigl<(\sigma^2_1 x^2 + \sigma^2_2 p^2 + \sigma^2_3) F_{pp}\bigr>.
 
</math>
 
</center>
 
  
 
Выбор <math>\textstyle F=x</math> и <math>\textstyle F=p</math> приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!):
 
Выбор <math>\textstyle F=x</math> и <math>\textstyle F=p</math> приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!):
Строка 54: Строка 49:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \left\langle x\right\rangle = \left( x_0\,\cos \omega t + \frac{p_0+\lambda x_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}\\ \left\langle p\right\rangle = \left( p_0\,\cos \omega t - \frac{x_0+\lambda p_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}, \end{array} \right. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \left\langle x\right\rangle = \left( x_0\,\cos \omega t + \frac{p_0+\lambda x_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}\\ \left\langle p\right\rangle = \left( p_0\,\cos \omega t - \frac{x_0+\lambda p_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}, \end{array} \right. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.3)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
где <math>\textstyle \omega=\sqrt{1-\lambda^2}</math> (мы считаем, что трение мало и <math>\textstyle \lambda<1</math>). При выводе () можно воспользоваться алгоритмом на стр. \pageref{sec_line_n_dim_models} или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
+
где <math>\textstyle \omega=\sqrt{1-\lambda^2}</math> (мы считаем, что трение мало и <math>\textstyle \lambda<1</math>). При выводе (7.3) можно воспользоваться алгоритмом ([[Линейные многомерные модели]]) или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
  
 
Выбор <math>\textstyle F=x^2,\;p^2,\;xp</math> приводит к системе уравнений для моментов:
 
Выбор <math>\textstyle F=x^2,\;p^2,\;xp</math> приводит к системе уравнений для моментов:
Строка 63: Строка 58:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \dot{\left\langle x^2\right\rangle } = 2\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle xp\right\rangle } = \left\langle p^2\right\rangle - \left\langle x^2\right\rangle - 2\lambda \,\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle p^2\right\rangle } = -2\left\langle xp\right\rangle + \sigma^2_1\left\langle x^2\right\rangle + (\sigma^2_2 - 4\lambda) \,\left\langle p^2\right\rangle + \sigma^2_3.\\ \end{array} \right. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \dot{\left\langle x^2\right\rangle } = 2\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle xp\right\rangle } = \left\langle p^2\right\rangle - \left\langle x^2\right\rangle - 2\lambda \,\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle p^2\right\rangle } = -2\left\langle xp\right\rangle + \sigma^2_1\left\langle x^2\right\rangle + (\sigma^2_2 - 4\lambda) \,\left\langle p^2\right\rangle + \sigma^2_3.\\ \end{array} \right. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.4)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 72: Строка 67:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle = \frac{\sigma^2_3}{4\lambda -\sigma^2_1-\sigma^2_2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle xp\right\rangle =0. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle = \frac{\sigma^2_3}{4\lambda -\sigma^2_1-\sigma^2_2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle xp\right\rangle =0. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.5)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 81: Строка 76:
 
Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение <math>\textstyle \lambda</math> играет стабилизирующую роль, уменьшая <math>\textstyle \mathbf{D}</math>.
 
Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение <math>\textstyle \lambda</math> играет стабилизирующую роль, уменьшая <math>\textstyle \mathbf{D}</math>.
  
Заметим, что динамика при <math>\textstyle t\to\infty</math> продолжается только, если существует внешний шум (<math>\textstyle \sigma_3\neq 0</math>). Если <math>\textstyle \sigma_3=0</math>, стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и <math>\textstyle \left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle =0</math>. Причина подобного поведения та же, что и у логистического уравнения (стр. \pageref{why_logistic_stop}).
+
Заметим, что динамика при <math>\textstyle t\to\infty</math> продолжается только, если существует внешний шум (<math>\textstyle \sigma_3\neq 0</math>). Если <math>\textstyle \sigma_3=0</math>, стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и <math>\textstyle \left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle =0</math>. Причина подобного поведения та же, что и у [[Логистическое уравнение|логистического уравнения]].
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть детерминированной составляющей трения нет <math>\textstyle \lambda=0</math>, а флуктуации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды <math>\textstyle \sigma_1=\sigma_2=\sigma</math>. Введём энергию гармонического осциллятора:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть детерминированной составляющей трения нет <math>\textstyle \lambda=0</math>, а флуктуации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды <math>\textstyle \sigma_1=\sigma_2=\sigma</math>. Введём энергию гармонического осциллятора:
Строка 87: Строка 82:
 
:<center><math>E=\frac{x^2+p^2}{2}.</math></center>
 
:<center><math>E=\frac{x^2+p^2}{2}.</math></center>
  
Из () следует, что её среднее значение удовлетворяет уравнению:
+
Из (7.4) следует, что её среднее значение удовлетворяет уравнению:
  
 
:<center><math>\frac{d}{dt}\left\langle E\right\rangle = \sigma^2 \left\langle E\right\rangle + \frac{\sigma^2_3}{2},</math></center>
 
:<center><math>\frac{d}{dt}\left\langle E\right\rangle = \sigma^2 \left\langle E\right\rangle + \frac{\sigma^2_3}{2},</math></center>
Строка 101: Строка 96:
 
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dx = p\, dt\\ dp = -x\, dt - 2\lambda\, p \, dt + \sigma \, \delta W. \end{array} \right.</math></center>
 
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dx = p\, dt\\ dp = -x\, dt - 2\lambda\, p \, dt + \sigma \, \delta W. \end{array} \right.</math></center>
  
Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (стр. \pageref{stochastic_oscillator}). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. стр. \pageref{sec_line_n_dim_models}) с матрицами:
+
Подобную систему мы рассматривали в шестой главе ([[Уравнение стохастического осциллятора]]). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. [[Линейные многомерные модели]]) с матрицами:
  
 
:<center><math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2\lambda \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\; \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sigma \\ \end{pmatrix}.</math></center>
 
:<center><math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2\lambda \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\; \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sigma \\ \end{pmatrix}.</math></center>
  
Чтобы найти <math>\textstyle e^{\mathbf{A}t}</math>, продифференцируем () по <math>\textstyle x_0</math> и <math>\textstyle p_0</math>:
+
Чтобы найти <math>\textstyle e^{\mathbf{A}t}</math>, продифференцируем (7.3) по <math>\textstyle x_0</math> и <math>\textstyle p_0</math>:
  
 
:<center><math>e^{\mathbf{A}t} = \begin{pmatrix} \omega \cos \omega t + \lambda\sin \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \omega \cos \omega t - \lambda\sin \omega t \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{e^{-\lambda t}}{\omega}.</math></center>
 
:<center><math>e^{\mathbf{A}t} = \begin{pmatrix} \omega \cos \omega t + \lambda\sin \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \omega \cos \omega t - \lambda\sin \omega t \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{e^{-\lambda t}}{\omega}.</math></center>
  
При помощи этой матрицы, интегрируя (), стр. \pageref{n_sys_line_disp}, можно найти дисперсию координаты и импульса:
+
При помощи этой матрицы, интегрируя (6.28), ([[Линейные многомерные модели]]), можно найти дисперсию координаты и импульса:
  
 
:<center><math>\left\{ \begin{matrix} D_{xx}(t) \\ D_{pp}(t) \\ \end{matrix} \right\} = \frac{\sigma^2}{4\lambda} - \frac{\sigma^2}{4\lambda\omega^2} \, \bigl[1-\lambda^2 \cos(2\omega t) \pm \lambda \omega \sin(2\omega t)\bigr]\,e^{-2\lambda t}.</math></center>
 
:<center><math>\left\{ \begin{matrix} D_{xx}(t) \\ D_{pp}(t) \\ \end{matrix} \right\} = \frac{\sigma^2}{4\lambda} - \frac{\sigma^2}{4\lambda\omega^2} \, \bigl[1-\lambda^2 \cos(2\omega t) \pm \lambda \omega \sin(2\omega t)\bigr]\,e^{-2\lambda t}.</math></center>
Строка 117: Строка 112:
 
:<center><math>D_{xp}(t) = \frac{\sigma^2 }{2\omega^2}\, \sin^2(\omega t)\,e^{-2\lambda t}</math></center>
 
:<center><math>D_{xp}(t) = \frac{\sigma^2 }{2\omega^2}\, \sin^2(\omega t)\,e^{-2\lambda t}</math></center>
  
и стремится к нулю при <math>\textstyle t\to\infty</math> и <math>\textstyle \lambda>0</math>. В результате, в стационарном режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) матрица дисперсий диагональна (), поэтому автоковариационная матрица <math>\textstyle \mathrm{cov}\,\tau)</math> равна <math>\textstyle e^{\mathbf{A}^T|\tau|}</math> с множителем <math>\textstyle \sigma^2/4\lambda</math>.
+
и стремится к нулю при <math>\textstyle t\to\infty</math> и <math>\textstyle \lambda>0</math>. В результате, в стационарном режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) матрица дисперсий диагональна (7.5), поэтому автоковариационная матрица <math>\textstyle \mathrm{cov}\,\tau)</math> равна <math>\textstyle e^{\mathbf{A}^T|\tau|}</math> с множителем <math>\textstyle \sigma^2/4\lambda</math>.
  
 
При отсутствии трения <math>\textstyle \lambda=0</math>, <math>\textstyle \omega=1</math>:
 
При отсутствии трения <math>\textstyle \lambda=0</math>, <math>\textstyle \omega=1</math>:

Текущая версия на 21:21, 6 марта 2010

Теория броуновского движения << Оглавление >> Дрожание земной оси


Множество механических, электромагнитных, биологических и социальных систем описываются осцилляторными уравнениями. Для определённости мы рассмотрим одномерный механический осциллятор массой , подверженный трению и внешним стохастическим воздействиям. Определение импульса и закон Ньютона в этом случае имеют вид:

Oscillator.png

где сила состоит из трёх компонент:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle F = - \underbrace{(k + {\rm Noise}_1)\cdot x}_{сила\;упругости} \;-\; \underbrace{(2\lambda + {\rm Noise}_2)\cdot p}_{сила\;трения} \;+\; \underbrace{{\rm Noise}_3.}_{внешняя\;сила}}

Сила упругости пропорциональна величине отклонения от положения равновесия . Мы будем считать, что коэффициент упругости испытывает стохастические изменения, которые символически обозначены членом Noise. Знак минус перед упругой силой означает, что она стремится вернуть частицу назад, к положению равновесия. Сила сопротивления тем больше, чем больше скорость (импульс) частицы. Так происходит при движении в среде (воздух, вода). Сопротивление стремится остановить движение. Будем также предполагать, что коэффициент сопротивления подвержен стохастическим воздействиям Noise. Наконец, третья составляющая силы — это шум Noise, который может быть, например, внешними случайными толчками.

Все три стохастические компоненты, в зависимости от ситуации, можно рассматривать как в качестве независимых, так и в качестве зависимых случайных процессов. В общем случае между ними существуют некоторые корреляционные коэффициенты. Мы рассмотрим случай независимых стохастических воздействий, считая, что они имеют различную причину, и поэтому нескоррелированы.

Будем работать в системе единиц, для которой , ( C). Стохастические уравнения движения в этом случае имеют вид:

где — волатильность коэффициента упругости, — силы трения, а — внешнего шума. Винеровские переменные , и представляют собой изменения трёх независимых процессов.

Рассмотрим сначала общий случай, записав систему:

со следующими векторами и матрицами:

Для функции координат и импульсов воспользуемся динамическим уравнением для средних (Системы стохастических уравнений):

где — вторая производная по , — производная по и , и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем ( H):

Osc eqn.png

Выбор и приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!):

Её решение с начальными условиями , имеет вид:

(7.3)

где (мы считаем, что трение мало и ). При выводе (7.3) можно воспользоваться алгоритмом (Линейные многомерные модели) или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка ( H).

Выбор приводит к системе уравнений для моментов:

(7.4)

Эта неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений легко решается. Однако, так как уравнение для собственных значений оказывается кубическим, выражения получаются достаточно громоздкими. Ниже мы рассмотрим частные случаи этой системы.

Если , система имеет стационарный режим при , в котором:

(7.5)

При средние стремятся к нулю, и матрица дисперсии оказывается диагональной:

Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение играет стабилизирующую роль, уменьшая .

Заметим, что динамика при продолжается только, если существует внешний шум (). Если , стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и . Причина подобного поведения та же, что и у логистического уравнения.

Пусть детерминированной составляющей трения нет , а флуктуации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды . Введём энергию гармонического осциллятора:

Из (7.4) следует, что её среднее значение удовлетворяет уравнению:

а, следовательно, возрастает со временем:

Если стохастическое воздействие обусловлено только внешними толчками (), то рост не такой быстрый и аналогичен винеровскому увеличению неопределённости . Так же, как и броуновская частица под внешним воздействием в среднем удаляется от начального положения, так и квадрат амплитуды осциллятора при в среднем увеличивается.

Если существуют только внешние толчки (), то стохастика имеет постоянную волатильность :

Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (Уравнение стохастического осциллятора). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. Линейные многомерные модели) с матрицами:

Чтобы найти , продифференцируем (7.3) по и :

При помощи этой матрицы, интегрируя (6.28), (Линейные многомерные модели), можно найти дисперсию координаты и импульса:

Верхний знак соответствует дисперсии для : , а нижний — для : . Дисперсия произведения динамических переменных имеет вид:

и стремится к нулю при и . В результате, в стационарном режиме () матрица дисперсий диагональна (7.5), поэтому автоковариационная матрица равна с множителем .

При отсутствии трения , :

и, как мы видели выше, стационарного режима нет. Дисперсии по и растут во времени, совершая периодические колебания. Автоковариационная матрица получается перемножением и .


Теория броуновского движения << Оглавление >> Дрожание земной оси

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения