Случайные величины — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 16 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  |[[Стохастические уравнения]] <<  
+
  | width="30%"|[[Стохастические уравнения]] <<  
  |>> [[Совместная вероятность]]
+
  ! width="40%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]
 +
| width="30%" align="right"| >> [[Нормальное распределение]]
 
|}
 
|}
 
 
----
 
----
  
Строка 10: Строка 10:
 
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением''  случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
 
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением''  случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
  
 +
<center>
 
:<math> \bar{x} = \left  \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>
 
:<math> \bar{x} = \left  \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>
 +
</center>
  
 
где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'')  появления того или иного <math>\textstyle x_i</math>. Если все <math>\textstyle x_i</math> различны, то среднее равно их сумме, делённой на <math>\textstyle n</math>. Чем вероятнее <math>\textstyle x_i</math>, тем больший вклад оно даёт в среднее.
 
где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'')  появления того или иного <math>\textstyle x_i</math>. Если все <math>\textstyle x_i</math> различны, то среднее равно их сумме, делённой на <math>\textstyle n</math>. Чем вероятнее <math>\textstyle x_i</math>, тем больший вклад оно даёт в среднее.
Строка 18: Строка 20:
 
Вероятность обнаружить случайную величину  <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие''  имеет единичную вероятность:   
 
Вероятность обнаружить случайную величину  <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие''  имеет единичную вероятность:   
  
<gallery>
+
<center>
Файл:stat_stoch.gif|
+
{| width="100%" align="center" 
:<math> \displaystyle    \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math>
+
|align="center"|[[Файл:Int_prob.gif]]
</gallery>
+
|align="center"| <math> \displaystyle    \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math>
+
|}
 +
</center>
 +
 
 
Это соотношение называют ''условием нормировки''.
 
Это соотношение называют ''условием нормировки''.
  
Строка 29: Строка 33:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции <math>\textstyle F(x)</math> случайной величины <math>\textstyle x</math>:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции <math>\textstyle F(x)</math> случайной величины <math>\textstyle x</math>:
  
 +
<center>
 
:<math>\left  \langle F(x)\right \rangle = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x)  P(x)\,dx.</math>
 
:<math>\left  \langle F(x)\right \rangle = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x)  P(x)\,dx.</math>
 +
</center>
  
 
Мы обозначаем ''операцию'' усреднения при помощи двух ''эквивалентных'' символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение <math>\textstyle \mathbf{E} F(x)</math>.
 
Мы обозначаем ''операцию'' усреднения при помощи двух ''эквивалентных'' символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение <math>\textstyle \mathbf{E} F(x)</math>.
Строка 35: Строка 41:
 
Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:
 
Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:
  
:<math>\left  \langle \alpha \cdot f(x)\right \rangle=\alpha\cdot\left  \langle f(x)\right \rangle,            \left  \langle f(x)+g(x)\right \rangle=\left  \langle f(x)\right \rangle+\left  \langle g(x)\right \rangle.</math>
+
<center>
 +
:<math>\left  \langle \alpha \cdot f(x)\right \rangle=\alpha\cdot\left  \langle f(x)\right \rangle,~~~~~~~~~~~           \left  \langle f(x)+g(x)\right \rangle=\left  \langle f(x)\right \rangle+\left  \langle g(x)\right \rangle.</math>
 +
</center>
  
 
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left  \langle x^2\right \rangle \neq \left  \langle x\right \rangle^2</math>.
 
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left  \langle x^2\right \rangle \neq \left  \langle x\right \rangle^2</math>.
Строка 41: Строка 49:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>:
  
 +
<center>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2  P(x)\,dx.</math>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2  P(x)\,dx.</math>
 +
</center>
  
 
Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это  ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2=\mathbf{Var}(x)</math>. Среднее значение <math>\textstyle \bar{x}</math> как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
 
Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это  ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2=\mathbf{Var}(x)</math>. Среднее значение <math>\textstyle \bar{x}</math> как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
  
 +
<center>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle  =  \left  \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle =  \left  \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left  \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left  \langle x^2\right \rangle - \left  \langle x\right \rangle^2.</math>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle  =  \left  \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle =  \left  \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left  \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left  \langle x^2\right \rangle - \left  \langle x\right \rangle^2.</math>
 +
</center>
  
Среднее обычно характеризует ''наиболее типичное'' значение случайной величины <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности  <math>\textstyle P(x)</math>. Если она имеет единственный максимум в окрестности <math>\textstyle \bar{x}</math>, то при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
+
''Если'' плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует ''наиболее типичное'' значение <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности  <math>\textstyle P(x)</math> и  при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
  
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
+
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' более высоких порядков. Так, безразмерные отношения  
  
:<math> asym=\left  \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3,      excess=\left  \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math>
+
<center>
 +
:<math> asym=\left  \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3,~~~~~~       excess=\left  \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math>
 +
</center>
  
 
называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.
 
называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.
Строка 57: Строка 71:
  
 
----
 
----
 
+
{| width="100%" 
 +
| width="30%"|[[Стохастические уравнения]] <<
 +
! width="40%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]
 +
| width="30%" align="right"| >> [[Нормальное распределение]]
 +
|}
 +
----
 
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
 
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
 
[[:Категория:Стохастические процессы]]
 

Текущая версия на 14:38, 17 февраля 2010

Стохастические уравнения << Оглавление >> Нормальное распределение

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины . На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением случайной величины выражение:

где -- относительные частоты (или вероятности) появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .

Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие имеет единичную вероятность:

Int prob.gif

Это соотношение называют условием нормировки.

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: .

Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, . Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

Если плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует наиболее типичное значение . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности и при случайная величина становится практически детерминированной со значением .

Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.



Стохастические уравнения << Оглавление >> Нормальное распределение

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения