Вернёмся к общему решению для траектории свободной частицы в жёсткой равноускоренной системе отсчёта (), (), стр.\,\pageref{nonint_traj_gestk_part_y}. Дифференцируя эти выражения по времени, несложно найти компоненты координатной скорости частицы:
С их помощью запишем квадрат физической скорости:
Это соотношение можно переписать в виде:
где и аналогично для начального значения с индексом 0. В правой части равенства стоит константа, поэтому при движении частицы сохраняется (является интегралом движения) следующая величина:
|
(EQN)
|
которую мы назовём энергией частицы. Параметр на который умножен интеграл движения, будем считать массой частицы.
В нерелятивистском пределе малых скоростей разложим корень в ряд Тейлора:
где во втором приближенном равенстве мы пренебрегли в знаменателе ускорением, считая . Равноускоренная неинерциальная система отсчёта в классической механике эквивалента однородному полю тяжести с (направленному против оси ). Поэтому член соответствует потенциальной энергии, а выражение для является полной энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная), включая энергию покоя .
Таким образом, сохраняющаяся величина () является полной энергией релятивистской частицы в неинерциальной системе отсчёта. Эта энергия эффективно учитывает силу инерции которая действует на частицу, поэтому зависит не только от её скорости, но и от положения.
Умножим числитель и знаменатель в выражении для энергии на :
Так как в жесткой равноускоренной системе отсчёта в координатах Мёллера интервал вдоль траектории движения частицы равен:
и , энергию можно переписать виде:
Вводя 4-вектор , аналогично инерциальной системе отсчёта, определим 4-скорость и 4-импульс частицы:
При помощи метрического тензора опустим индекс вниз, определив:
Так как , то квадрат 4-вектора скорости равен единице, а квадрат 4-импульса, как обычно, равен квадрату инвариантной массы частицы:
Для жесткой равноускоренной системы и , поэтому сохраняющаяся полная энергия совпадает с нулевой компонентой контравариантного 4-вектора :
Обратим внимание, что в неинерциальных системах отсчёта, в отличие от инерциальных в лоренцевых координатах, коэффициенты метрического тензора зависят от координат. Поэтому, является отличной от функцией координат и в жесткой неинерциальной системе отсчёта сохраняется именно , а не .
Так как скорость частицы под воздействием сил инерции, в общем случае, меняет своё направление, трёхмерный импульс не сохраняется. Это относится как к , так и к . Сохраняется только полная энергия.
Проведём некоторые обобщения. Определим квадрат физической скорости частицы:
|
(EQN)
|
где — физическая длина и — физическое время. Деля числитель и знаменатель на , получаем связь квадрата физической скорости (помечена тильдой) с компонентами координатной скорости:
|
(EQN)
|
где введено сокращение
Соответственно компонентами физической скорости (снова тильда) назовём:
|
(EQN)
|
так, что
Отметим также соотношение:
которое получается после свёртки определения () с .
Собственное время частицы (интервал вдоль её траектории) можно записать в виде:
или, подставляя интервал физического времени, как:
Поэтому компоненты вектора координатной 4-скорости равны:
Подчеркнём еще раз, что — это физическая, а не координатная скорость.
Теперь мы можем определить полную энергию частицы:
Подставляя компоненты 4-скорости, окончательно имеем
|
(EQN)
|
В главе мы докажем, что если метрические коэффициенты в неинерциальной системе отсчёта не зависят от времени, то выражение () является интегралом движения. Другими словами в стационарном случае полная энергия частицы всегда сохраняется.
Так, равномерно вращающаяся система отсчёта является стационарной. Продемонстрируем, что энергия частицы () в этой системе постоянна. Для интервала (стр.\,\pageref{nonin_rot_ds_Born})
физическое время и квадрат физической длины равны:
Поэтому квадрат физической длины () равен:
где точка — производная по времени . Соответственно, энергия частицы равна:
|
(EQN)
|
Благодаря соотношениям (), стр.\,\pageref{nonin_rot_light_r1} числитель и знаменатель в выражении для энергии постоянен.
Отметим простое частное решение приводящее к постоянству энергии:
В лабораторной системе отсчёта такая траектория частицы соответствует движению по прямой, проходящей через центр вращения. В координатных величинах неинерциальной системы отсчёта это движение выглядит как раскручивающая спираль.
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии