Совместная и условная вероятность
Нормальное распределение << | Оглавление | >> Вероятностные свойства языка |
---|
Пусть мы имеем дело с двумя случайными величинами и . В этом случае наблюдаются пары эмпирических значений и т.д., возникающие с той или иной частотой. Поэтому можно говорить о совместной плотности вероятности того, что величины принимают некоторые значения в окрестности и .
Совместная вероятность позволяет вычислять среднее от произвольной функции двух аргументов:
(1.15)
|
Если мы не интересуемся значением величины , можно проинтегрировать по всем её возможным реализациям и получить плотность вероятности только для величины :
(1.16)
|
Интегрирование ещё раз левой и правой части по даст единицу. Поэтому условие нормировки имеет форму двойного интеграла. Оно получается из (1.15), если положить , так как .
Одновременное изучение и необязательно означает их временное совпадение. Например, в финансах может быть изменением цены за день европейского фондового индекса, а — американского, торгуемого после европейского. Между ними существует причинная связь, разделённая временем. С другой стороны, изменение цен двух акций и за день происходит одновременно и зависит от внешних синхронизирующих факторов (новости, макроэкономика и т.д.).
Как мы увидим в следующем разделе, совместная плотность вероятности особенно важна, если между случайными величинами существует некоторая зависимость. Эта связь может иметь функциональную форму . Тогда, если для реализуется некоторое значение, то величина будет полностью предопределена. Однако чаще , где — третья, "ненаблюдаемая", случайная переменная. Она может быть непредсказуемым внешним воздействием, меняющим параметры функциональной зависимости , или динамической переменной, которую мы не учли в более простой модели.
Кроме совместной вероятности двух величин и удобно ввести условную плотность вероятности. Она отвечает на вопрос, "какова вероятность , если уже известно значение величины ". Условная плотность равна совместной , нормированной на вероятность уже доступной информации :
(1.17)
|
В качестве примера для рассмотрим нормальное распределение, а для совместной плотности вероятности — "двумерную повёрнутую" гауссиану:
Совместная и условная вероятности представлены на рисунке ниже:
Объём под равен единице, тогда как под — бесконечности. Нормировка условной вероятности имеет смысл получения любого значения при данном :
(1.18)
|
Стоит проверить, что формула (1.18) согласуется с (1.16).
Для условной вероятности распространено обозначение . Однако ниже мы увидим, что оказывается более естественной записью при описании цепочек связанных между собой событий. В любом случае , как и , — это функция двух вещественных аргументов.
Условная вероятность важна, так как позволяет связать друг с другом разнообразные события, отражая их причинно-следственную связь.
Нормальное распределение << | Оглавление | >> Вероятностные свойства языка |
---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения