Математика, от мамонтов до наших дней

Материал из synset
Версия от 14:12, 11 февраля 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Защищена страница «Математика, от мамонтов до наших дней» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Истинность и доказуемость << Оглавление >> Доказательство от противного

В жизни нам редко удаётся убедить кого-либо в чём-либо. Сколько существует людей – столько будет и мнений. Поэтому часть людей, неудовлетворённых такой ситуацией, решила существенно сузить тему обсуждений, но при этом научиться убеждать друг друга, приходя к единому мнению, которое торжественно назвали "Истина". Так появилась математика.

То, что объединение кучек из "двух" и "трёх" камней всегда будет приводить к такому же результату, как и добавление камня к куче из "четырех" камней, было абсолютно очевидным. Только полностью лишённые права считаться математиками, могли оспаривать истинность этого утверждения. В такой однозначности и неизбежности ощущалась тень улыбки Всевышнего, и, конечно, математические занятия также начали носить признаки священнодействия.

К тому же, затем выяснилось, что некоторые математические истины очень полезны для суетных дел человеческих. Можно пересчитать овец в стаде, честно разделить мамонта на части, или предсказать затмение Солнца, подняв свой авторитет перед соплеменниками. Однако, не смотря на очевидную полезность, математика многих привлекает не по этому. Им нравится убеждать и быть убеждаемыми, т.е. заниматься доказательствами.

От первого проблеска математической мысли до её современных вершин, доказательства носят психологический характер. По образному выражению Владимира Андреевича Успенского "психологическое доказательство – это рассуждение, убедительное на столько, что вы готовы других людей убеждать при помощи этого же рассуждения."

Древние индийские математики, тот факт, что площадь круга равна радиусу умноженному на половину длины окружности, доказывали так:

Logic see.gif

Естественно, подобная лаконичность носит налёт снобизма и клановости. Предполагается, что детали, любой посвящённый додумает сам. В частности разработает понятие бесконечно малых, предельного перехода, а возможно, и придёт к определению числа . Похожая ситуация, к сожалению, присутствует и в некоторых современных трактатах.

Математика началась с понятий множества, числа и равенства. Вряд ли кто-то высекал на стенах пещеры каракули "", но осознание того, что различные, очень не похожие друг на друга объекты окружающего мира, собранные вместе, обладают чем то общим, создало первого математика. Для всех не математиков два мамонта, безусловно, не тоже, что два саблезубых тигра, или две симпатичные самки. Однако, если отбросить все различия, то между тем что осталось можно поставить знак равенства и назвать числом.

"Бог создал натуральные числа, а всё остальное придумал человек". С этим утверждением Леопольда Кронекера трудно согласиться. На самом деле Бог создал Всё. А всё остальное, в том числе и натуральные числа, придумал человек. Понятие числа возникло в результате некоторого возбуждения нейронов в мозгу математика, которое, по удивительному замыслу Божьему, имеет примерно такую же конфигурацию и в головах других математиков. Практически одновременно появились понятия "сложить", "меньше", "больше" и "не равно". Для этого достаточно было насыпать несколько кучек камней и сказать – СМОТРИ.

Математики быстро научились вычитать, отбирая из кучи камней часть, и поняли, что эта операция обратна сложению. В результате решения задачи честного раздела кучи камней на несколько равных частей, возникла операция деления, а некоторые странные, ни как поровну не делящиеся совокупности, были названы простыми. Умножение обратное делению, имело также и самостоятельное существование, воплощённое в виде прямоугольника, выложенного одинаковыми камнями. Начали появляться первые знаковые системы, формализующее рассуждение.

Следующий прорыв возник из простого вопроса: ", , а чему равно ?". И просто посмотреть на кучку камней, чтобы на него ответить, недостаточно! Необходимо было невероятное напряжение мысли для придумывания таких понятий как "ноль" и "отрицательное число", а затем – фантастическая харизма, для убеждения других, что рассуждать о них, вообще говоря, тоже можно. К счастью, сейчас отрицательным числам учат задолго до того, как ребёнок поймёт, что он хочет быть математиком. В этом возрасте у человеческого существа очень развито умение удивляться, однако сомневаться оно почти не умеет. Поэтому в отрицательные числа ребёнок сначала верит, а затем привыкает к ним. Став же взрослым, он теряет способность удивляться. А ведь если у натуральных чисел есть хоть какие-то прообразы в окружающем мире, то отрицательных чисел там просто нет! Даже "привычный" ноль, на самом деле, также загадочен, как и хлопок Будды одной ладонью.

Просто изобретать новые математические понятия (объекты) конечно неинтересно. Интересно открывать те свойства и следствия, которые следуют из их существования. При этом необходимо уметь убежать других в их истинности, т.е. доказывать. Из ничего вывести всё можно. Но тяжело. Поэтому, кроме объектов потребовались исходные "очевидные" истины, при помощи которых можно доказывать другие. Благодаря Евклиду возник аксиоматический метод. Он тоже основывался на психологическом доказательстве, однако, при этом в основу рассуждения клалось небольшое число истин, из которых выводилось бесконечное множество других истин. Эта очень красивая идея стала очередным прорывом в математической мысли, определив её развитие на последующие тысячелетия.

Очень часто новые сущности возникали при попытках расширить действие операций в которых участвуют уже существующие объекты. Так появились отрицательные и рациональные числа. При помощи последних стало возможным описывать музыкальные гармоники, сколь угодно малые величины и геометрические построения. В мире везде усматривался их след. И при этом они были лишь парой целых чисел и ! Вся гармония рухнула в один миг, когда кто то из учеников Пифагора доказал (убедив даже Учителя), что . Т.е. существует объект, определяемый формулой , который не является рациональным числом. Потрясение было на столько велико, что пифагорейцы засекретили это открытие. Однако, такими волюнтаристическими методами остановить математическую мысль нельзя. На свободу вырвались сначала алгебраические числа подобные , а затем и такие монстры, как и , оказавшиеся не только не рациональными, но даже и не алгебраическими. Весь этот быстро разрастающийся зоопарк объединили в понятие действительного числа.

Одновременно с ним в математику пришла бесконечность. Она, конечно, была там и раньше. Неисчислимы звёзды на небе и капли в океане. Евклид знал, что простых чисел бесконечно много. Но все эти бесконечности были очень безобидными. Бесконечность "непрерывного" таила множество опасностей для главного орудия – убедительного математического рассуждения. Для их преодоления потребовалось изобретение исключительно полезного для практики исчисления бесконечно малых. Математики и физики научили друг друга дифференцировать, интегрировать, и это было хорошо.

Однако, настоящего математика нужды практики интересуют меньше всего. Он хочет убеждать и быть убеждённым. Поэтому пришёл Кантор.

Георг Кантор формализовал исходное понятие математической мысли – теорию множеств. Многие из его доказательств очень психологичны:

СМОТРИ

Идея соответствия между двумя множествами и возможность "пересчитать" элементы множества при помощи натуральных чисел была простой и очень красивой, особенно когда оказалось, что пересчитать можно даже всюду плотные рациональные числа. После того, как всё было пересчитано, неожиданно выяснилось, что действительные числа несчётны. Вслед за этим посыпались логические парадоксы, часть которых была известна ещё древним, но рассматривалась как некий курьёз. В парадоксах проводятся некоторые убедительные рассуждения, приводящие к противоположным результатам. Под угрозой оказалась самая привлекательная черта математики – убедительность её доказательств!

Пришлось разработать методы формальных теорий, при помощи которых часть психологических доказательств можно записать в виде последовательности символов, которую, используя некоторый алгоритм, может проверить кто угодно не понимая смысла этих символов. Это была вершина вершин. Возникла возможность проводить формальные доказательства. Конечно совсем избавиться от психологии не получилось, но многие доказательства стали ещё убедительней, а математика приобрела статус исключительно точной науки.

После совсем небольшого периода торжества, Курт Гёдель ошарашил всех теоремой о том, что в математике "существуют истинные формулы, которые невозможно доказать." Это было на столько неожиданно и скандально, что появилось множество философских спекуляций, от утверждений об ограниченной познаваемости мира, до выводов о невозможности построения искусственного интеллекта. В последнем случае объявляется, что человеческое мышление способно распознать истинность некоторого утверждения, даже если не может его доказать. В тоже время компьютер, действуя формально (алгоритмически), не способен на такие рефлексивные откровения. Мы закончим эту главу анализом подобных заблуждений, но сначала подробно проанализируем понятия алгоритма, множества и формальной теории.

Теоремы "о неполноте" и "о несчётности" являются яркими примерами психологических доказательств, полученных при помощи метода рассуждений от противного. Поэтому, с его анализа мы и начнем.


Истинность и доказуемость << Оглавление >> Доказательство от противного

Истинность и доказуемость - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе