Случайные величины

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел $\textstyle x_{1},x_{2},...$ Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа $\textstyle x_{1},x_{2},\,...$ можно рассматривать как возможные реализации случайной величины $\textstyle x$.\index{случайная!величина} На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, $\textstyle x_{i}$ встречается $\textstyle n_{i}$ раз, а общее количество чисел равно $\textstyle n$. Мы называем средним значением \index{среднее!значение} случайной величины $\textstyle x$ выражение:

${\bar {x}}=\left\langle x\right\rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}n_{i}=\sum _{i}x_{i}p_{i}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xP(x)\,dx,$

где $\textstyle p_{i}=n_{i}/n$ -- относительные частоты (или вероятности)\index{частота}\index{вероятность} \index{частота}\index{вероятность} появления того или иного $\textstyle x_{i}$. Если все $\textstyle x_{i}$ различны, то среднее равно их сумме, делённой на $\textstyle n$. Чем вероятнее $\textstyle x_{i}$, тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей\index{плотность вероятности} называют такую функцию $\textstyle P(x)$, умножение которой на интервал $\textstyle dx$ дает вероятность $\textstyle p_{i}$ того, что значение $\textstyle x$ окажется в отрезке от $\textstyle x$ до $\textstyle x+dx$.

Вероятность обнаружить случайную величину $\textstyle x$ в любом месте диапазона $\textstyle [-\infty ..\infty ]$ равна площади под кривой $\textstyle P(x)$. Понятно, что такое достоверное событие \index{достоверное событие} имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\ } \parbox{8cm}{

$\displaystyle \sum _{i}p_{i}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }P(x)dx=1.$

} \end{center} Это соотношение называют условием нормировки.\index{условие!нормировки}

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить $\textstyle x$ в области $\textstyle x<0$ равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

$\textstyle \bullet$ Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции $\textstyle F(x)$ случайной величины $\textstyle x$:

$\left\langle F(x)\right\rangle ={\overline {F(x)}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(x)P(x)\,dx.$

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение $\textstyle '''E'''F(x)$.

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

$\left\langle \alpha \cdot f(x)\right\rangle =\alpha \cdot \left\langle f(x)\right\rangle ,\left\langle f(x)+g(x)\right\rangle =\left\langle f(x)\right\rangle +\left\langle g(x)\right\rangle .$

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: $\textstyle \left\langle x^{2}\right\rangle \neq \left\langle x\right\rangle ^{2}$.

$\textstyle \bullet$ Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность $\textstyle \sigma$:\index{волатильность}

$\sigma ^{2}=\left\langle (x-{\bar {x}})^{2}\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{2}P(x)\,dx.$

Волатильность $\textstyle \sigma$ в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат $\textstyle \sigma ^{2}$ -- это дисперсия или вариация, $\textstyle \sigma ^{2}='''Var'''(x)$.\index{дисперсия}\index{вариация} Среднее значение $\textstyle {\bar {x}}$ как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

$\sigma ^{2}=\left\langle (x-{\bar {x}})^{2}\right\rangle =\left\langle x^{2}-2x{\bar {x}}+{\bar {x}}^{2}\right\rangle =\left\langle x^{2}\right\rangle -2{\bar {x}}\left\langle x\right\rangle +{\bar {x}}^{2}=\left\langle x^{2}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2}.$

Среднее обычно характеризует наиболее типичное значение случайной величины $\textstyle x$. Волатильность -- это типичные отклонения $\textstyle x$ от своего среднего. Чем меньше $\textstyle \sigma$, тем уже плотность вероятности $\textstyle P(x)$. Если она имеет единственный максимум в окрестности $\textstyle {\bar {x}}$, то при $\textstyle \sigma \to 0$ случайная величина становится практически детерминированной со значением $\textstyle x={\bar {x}}$.

Аналогично дисперсии можно определить моменты\index{момент} более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

$asym=\left\langle (x-{\bar {x}})^{3}\right\rangle /\sigma ^{3},excess=\left\langle (x-{\bar {x}})^{4}\right\rangle /\sigma ^{4}-3$

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной $\textstyle P(x)$ она равна нулю. При больших положительных эксцессах $\textstyle P(x)$ медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.\index{асимметрия}\index{эксцесс}