Время и расстояние в равноускоренной системе

Равноускоренная система отсчета <<	Оглавление	>> Неинерциальные координаты и время

---

Рассмотрим систему $\textstyle S'$, точка $\textstyle x'=0$ которой движется равноускоренно относительно инерциальной системы $\textstyle S$. Будем считать, что оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе (стр.\pageref{df_eq_for_u_with_a}) был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

$x(t)={\frac {1}{a}}\,{\bigl [}{\sqrt {1+(at)^{2}}}-1{\bigr ]}.$

(EQN)

Будем считать, что начало системы $\textstyle S'$ (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением ()

Основная особенность неинерциальной системы — это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости $\textstyle (y',z')$, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси $\textstyle x'$.

Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы $\textstyle S'$, по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости $\textstyle (y',z')$ в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle g=9.8\;м/c^2} , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости $\textstyle (y',z')$. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси $\textstyle x'$ под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно"тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость".

Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (стр. \pageref{princip_simplisity}). Например, координата $\textstyle y'$ свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости $\textstyle (y',z')$, за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное допущение о том, что

темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.

Если в момент времени $\textstyle t'=t=0$ начала систем совпадали и скорость $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов $\textstyle t'$ (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь вид (стр. \pageref{time_del_acsel}):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t'=\frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,at)\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{ch}(at'). }

(EQN)

Каким бы ни было значение $\textstyle a$, всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе \cite{Bailey1977} в пределах относительной ошибки $\textstyle 2\cdot 10^{-3}$ увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет $\textstyle v=0.9994$ и время замедляется в $\textstyle 1/{\sqrt {1-v^{2}}}=29$ раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений $\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g$, где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle g=9.8\,м/с^2} .

$\textstyle \bullet$ Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием $\textstyle x_{0}$, которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта $\textstyle S$. Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе $\textstyle S$. Время на часах первого корабля, стартовавшего из $\textstyle x=0$, обозначим через $\textstyle t'$, а второго, стартовавшего из $\textstyle x=x_{0}$, через $\textstyle t''$. В инерциальной системе отсчёта время единое и равно $\textstyle t$. При $\textstyle t=t'=t''=0$ корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы $\textstyle S'$ изменяется со временем в соответствии с ()

$x(t)={\frac {1}{a}}\,{\bigl [}{\sqrt {1+(at)^{2}}}-1{\bigr ]}={\frac {1}{a}}\,{\bigl [}\mathrm {ch} (at')-1{\bigr ]},$

(EQN)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля ().

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию $\textstyle x(t)$ начала системы отсчёта $\textstyle S'$. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы $\textstyle S$, то это ускорение не будет синхронным в $\textstyle S'$, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта $\textstyle S'$ — понятие относительное. Если наблюдатели в $\textstyle S'$ "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе $\textstyle S$ будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе $\textstyle S'$ происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (стр. \pageref{delta_lorenz1}), и второй корабль в системе $\textstyle S$ разгоняется медленнее.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории $\textstyle f(t)$ должен двигаться второй корабль относительно системы $\textstyle S$, чтобы система отсчёта $\textstyle S'$ для её экипажей была жесткой.

Расчёты проведём в неподвижной системе $\textstyle S$. Пусть первый корабль в момент времени $\textstyle t_{1}$ отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени $\textstyle t$, отражается и возвращается обратно в момент времени $\textstyle t_{2}$: \parbox{8cm}{

} \parbox{7cm}{

$\left\{{\begin{array}{l}f(t)-x(t_{1})=t-t_{1}\\f(t)-x(t_{2})=t_{2}-t.\end{array}}\right.$

} Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта $\textstyle S$. Координата первого корабля равна $\textstyle x(t)$, см. (), второго — $\textstyle f(t)$. Запишем время ухода $\textstyle t_{1}=\mathrm {ch} (at'_{1})/a$ и возвращения $\textstyle t_{2}=\mathrm {ch} (at'_{2})/a$ сигнала по часам первого корабля ($\textstyle t'_{1}$ и $\textstyle t'_{2}$):

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle f(t)-t=x(t_{1})-t_{1}={\frac {1}{a}}\,{\bigl [}\mathrm {ch} (at'_{1})-1{\bigr ]}-{\frac {1}{a}}\,\mathrm {ch} (at'_{1})={\frac {1}{a}}\,\left(e^{-at'_{1}}-1\right)\\[4mm]\displaystyle f(t)+t=x(t_{2})+t_{2}={\frac {1}{a}}\,{\bigl [}\mathrm {ch} (at'_{2})-1{\bigr ]}+{\frac {1}{a}}\,\mathrm {ch} (at'_{2})={\frac {1}{a}}\,\left(e^{+at'_{2}}-1\right).\end{array}}\right.$

Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" $\textstyle \tau _{0}=t'_{2}-t'_{1}=const$ не зависит от момента его посылки $\textstyle t'_{1}$. Вычитая уравнения системы, находим:

$2at=e^{at'_{2}}-e^{-a\,(t'_{2}-\tau _{0})}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;e^{at'_{2}}=at+{\sqrt {e^{a\tau _{0}}+(at)^{2}}}.$

В качестве решения квадратного уравнения относительно $\textstyle e^{at'_{2}}$ выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию $\textstyle f(t)$:

$a\,f(t)={\sqrt {e^{a\tau _{0}}+(at)^{2}}}-1={\sqrt {(1+ax_{0})^{2}+(at)^{2}}}-1,$

(EQN)

где в последнем равенстве учтено начальное условие $\textstyle f(0)=x_{0}$. Назовём радиолокационным расстоянием половину времени $\textstyle \tau _{0}$ от движения сигнала в обе стороны:

$x'_{0}={\frac {t'_{2}-t'_{1}}{2}}={\frac {\tau _{0}}{2}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax_{0}).$

(EQN)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта $\textstyle S$ равна $\textstyle u_{2}(t)=df(t)/dt$, поэтому:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}. }

(EQN)

Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (), стр. \pageref{uskor_mov_u}, приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением $\textstyle a_{2}=a/(1+ax_{0})$.

---

Равноускоренная система отсчета <<	Оглавление	>> Неинерциальные координаты и время

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии