Многомерное распределение Гаусса

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

$\textstyle \bullet$ При изучении систем стохастических уравнений мы будем активно использовать матричные и тензорные обозначения. Для сокращения операции умножения матриц используется два типа соглашений:

$\eta _{\alpha }=\sum _{i=1}^{n}S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}\;=\;S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {\epsilon } )_{\alpha }.$

По повторяющемуся индексу всегда подразумевается суммирование, и знак суммы опускается. Выше таковым является индекс "$i$" во втором равенстве. Повторяющиеся индексы, по которым проводится суммирование, называют "немыми". В процессе вычислений их можно переобозначить в любую букву, которая ещё не используется в выражении. Третье равенство в уравнении () — это матричная форма той же суммы, в которой матрица $\mathbf {S} =S_{\alpha \beta }$ и вектор $\textstyle \epsilon =\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\}$ перемножаются вообще без упоминания индексов и знака суммирования.

Рассмотрим $n$ независимых гауссовых случайных величин, имеющих нулевое среднее и единичную дисперсию. Среднее значение их произведения $\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle$ равно единице для совпадающих индексов и нулю — для различных. Подобная матрица будет обозначаться символом Кронекера:

$\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle =\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&i=j\\0&i\neq j.\end{array}}\right.$

Вычислим, например, ковариационную матрицу случайных величин $\textstyle \eta _{\alpha }$:

${\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }{\bigr \rangle }=S_{\alpha i}S_{\beta j}{\bigl \langle }\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}{\bigr \rangle }=S_{\alpha i}S_{\beta j}\delta _{ij}=S_{\alpha i}S_{\beta i}=S_{\alpha i}S_{i\beta }^{T}=(\mathbf {S} \mathbf {S} ^{T})_{\alpha \beta }.$

При суммировании с символом Кронекера $\textstyle \delta _{ij}$ в сумме остаются только слагаемые с $\textstyle i=j$. Поэтому одна из сумм (по $\textstyle j$) и символ Кронекера исчезают, и остаётся только суммационный индекс $\textstyle i$. Затем вводится новая матрица $\textstyle S_{i\beta }^{T}=S_{\beta i}$ с переставленными индексами. Подобная операция называется транспонированием. В табличном представлении она соответствует перестановке местами строк и столбцов матрицы.

Матрица $\textstyle \mathbf {S}$ может имеет обратную Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}^{-1}} , если выполняется уравнение:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^{-1} = \mathbf{S}^{-1} \cdot \mathbf{S} = \mathbf{1},}

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{1}=\delta_{ij}} — единичная матрица (символ Кронекера). Так, для определённого выше вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta=(\eta_1,...,\eta_n)} можно записать:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta =\mathbf{S}\cdot \epsilon\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\epsilon=\mathbf{S}^{-1}\cdot \eta,}

где мы умножили левую и правую части на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}^{-1}} .

$\textstyle \bullet$ Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon = (\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)} — стандартные независимые гауссовые случайные величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)} , а величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta=(\eta_1,...,\eta_n)} получены из них () при помощи перемешивающих коэффициентов Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S_{\alpha\beta}} . Среднее значение произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha\eta_\beta} определяется матрицей дисперсий ():

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D_{\alpha\beta}=\bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{D} = \mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^{T},}

которая является симметричной: $\textstyle D_{\alpha \beta }=D_{\beta \alpha }$.

Найдём производящую функцию для случайных величин Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta} . Для этого введём вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}=(b_1,...,b_n)} и вычислим среднее экспоненты от скалярного произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}\cdot \eta=b_1\eta_1+...+b_n\eta_n} (по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} нет суммы!):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle = \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \mathbf{S}\cdot \varepsilon}\right\rangle = \left\langle e^{ b_{i} S_{i1} \varepsilon_1}\right\rangle \cdot ...\cdot\left\langle e^{b_{i} S_{in} \varepsilon_n}\right\rangle = e^{\frac{1}{2}\{(b_{i} S_{i1})^2+...+(b_{i} S_{in})^2\}}.}

Мы воспользовались независимостью величин Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_i} , разбив среднее произведения на произведение средних, и формулой (), стр. \pageref{aver_exp_gauss}. В показателе экспоненты стоит матричное выражение вида:

$(b_{i}S_{i1})^{2}+...+(b_{i}S_{in})^{2}=b_{i}S_{ik}\,b_{j}S_{jk}=b_{i}\,S_{ik}\,S_{kj}^{T}\,b_{j}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {S} \cdot \mathbf {S} ^{T}\cdot \mathbf {b} .$

Поэтому окончательно производящая функция равна:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi(\mathbf{b})=\left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle = e^{\frac{1}{2}\,\mathbf{b}\cdot \mathbf{D}\cdot \mathbf{b}}.}

Взяв частные производные по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_\alpha} , несложно найти среднее от любого произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha} . Проверим, что среднее Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle} равно Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}} . Возьмём производную производящей функции по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_\alpha} . Учитывая, что $\textstyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {D} \cdot \mathbf {b}$ равно Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_i D_{ij} b_j} , имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \phi(\mathbf{b}) }{\partial b_\alpha} = \frac{1}{2}\, (D_{\alpha j} b_j + b_i D_{i\alpha} ) \, \phi(\mathbf{b}) = D_{\alpha i} b_i \, \phi(\mathbf{b}),}

где во втором равенстве мы воспользовались тем, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}=D_{\beta\alpha}} . Аналогично берётся вторая производная:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 \phi(\mathbf{b}) }{\partial b_\alpha \partial b_\beta} = D_{\alpha \beta} \, \phi(\mathbf{b}) + D_{\alpha i} b_i \, D_{\beta j} b_j \,\phi(\mathbf{b}).}

Полагая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}=0} и учитывая, что

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle }{\partial b_\alpha \partial b_\beta }\Big|_{\mathbf{b}=0} = \bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle,}

приходим к соотношению $\textstyle D_{\alpha \beta }={\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }{\bigr \rangle }$. В качестве упражнения предлагается проверить следующее тензорное выражение:

${\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }\eta _{\gamma }\eta _{k}{\bigr \rangle }=D_{\alpha \beta }D_{\gamma k}+D_{\alpha \gamma }D_{\beta k}+D_{\alpha k}D_{\beta \gamma }.$

Таким образом, среднее любых степеней $\textstyle \eta$ полностью определяется матрицей дисперсии \mathbf{D}.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь явный вид совместной плотности вероятности для величин $\textstyle \eta _{1},...,\eta _{n}$. Запишем сначала плотность вероятности для $\textstyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}$:

$P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})=P(\varepsilon _{1})\cdot ...\cdot P(\varepsilon _{n})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\,(\varepsilon _{1}^{2}+...+\varepsilon _{n}^{2})}}{(2\pi )^{n/2}}}.$

При замене переменных $\textstyle \eta _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\varepsilon _{\beta }$ в интеграле необходимо изменить элемент объёма интегрирования $\textstyle d^{n}\varepsilon =d\varepsilon _{1}...d\varepsilon _{n}$, умножив его на якобиан:

$d^{n}\eta =\det \left|{\frac {\partial \eta _{\alpha }}{\partial \varepsilon _{\beta }}}\right|\,d^{n}\varepsilon =(\det \mathbf {S} )\,d^{n}\varepsilon .$

Так как при транспонировании матрицы её определитель не изменяется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \det\mathbf{D}=(\det\mathbf{S})^2} и, следовательно:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,...,\eta_n) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot \eta}}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det\mathbf{D}}},}

где в показателе экспоненты подставлены Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon=\mathbf{S}^{-1}\cdot \eta} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \epsilon^2 = S^{-1}_{i\alpha}\eta_\alpha\,S^{-1}_{i\beta}\eta_\beta = \eta_\alpha {S^{-1}}^{T}_{\alpha i}\,S^{-1}_{i\beta}\eta_\beta =\eta\cdot {\mathbf{S}^{-1}}^{T}\cdot\mathbf{S}^{-1}\cdot \eta = \eta \cdot (\mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^T)^{-1}\cdot \eta}

и использовано свойство обратных матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\mathbf{A}\cdot \mathbf{b})^{-1}= \mathbf{b}^{-1}\cdot \mathbf{A}^{-1}} (см. стр. \pageref{math_mat_tensor}). Как и любая плотность вероятности, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\eta_1,...,\eta_n)} нормирована на единицу, поэтому, учитывая выражение для производящей функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\bigr\rangle } , можно записать значение следующего Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -мерного гауссового интеграла:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\mathbf{b}\cdot \eta - \frac{1}{2}\eta\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot \eta} \,d^n\eta = (2\pi)^{n/2} \,\sqrt{\det\mathbf{D}}\; e^{\frac{1}{2}\,\mathbf{b}\cdot \mathbf{D}\cdot \mathbf{b}}. }

До сих пор мы работали с перемешанными величинами, имеющими нулевое среднее: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle\eta\bigr\rangle=\mathbf{S}\cdot \bigl\langle\epsilon\bigr\rangle=0} . Можно к ним прибавить некоторый постоянный вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bar{\eta}_\alpha} , который будет иметь смысл средних значений Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta_\alpha = \bar{\eta}_\alpha + S_{\alpha\beta}\varepsilon_\beta.}

Тогда общее Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -мерное гауссово распределение принимает вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,...,\eta_n) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,(\eta-\bar{\eta})\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot (\eta-\bar{\eta})}}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det\mathbf{D}}},}

где в плотность вероятности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)} подставлено Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon=\mathbf{S}^{-1}\cdot (\eta-\bar{\eta})} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Рассмотрим в качестве примера случай Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n=2} . Запишем элементы симметричной матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}} при помощи трёх независимых констант Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1} , $\textstyle \sigma _{2}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{D} = \begin{pmatrix} \sigma^2_1 & \rho\,\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma^2_2 \\ \end{pmatrix}. }

Несложно проверить, что определитель Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \det\mathbf{D} = \sigma^2_1\sigma^2_2 (1-\rho^2),}

а обратная к Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} матрица имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{D}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{D}}\, \begin{pmatrix} \sigma^2_2 & -\rho\,\sigma_1\sigma_2 \\ -\rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma^2_1 \\ \end{pmatrix}. }

В результате совместная плотность вероятности для $\textstyle \eta _{1},\eta _{2}$ может быть записана следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,\eta_2)=\frac{\exp\{-(x_1^2-2\rho\, x_1 x_2 + x^2_2)/2(1-\rho^2)\}}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}},}

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_i=(\eta_i-\bar{\eta}_i)/\sigma_i} — относительные отклонения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_i} от своих средних Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bar{\eta}_i} . Параметры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_i} являются волатильностями: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle(\eta_1-\bar{\eta}_1)^2\bigr\rangle=D_{11}=\sigma^2_1} , а $\textstyle \rho$ — коэффициент корреляции: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\left\langle x_1 x_2 \right\rangle } .

Матрица Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} является симметричной, тогда как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}} в общем случае — нет. Поэтому Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} зависит от трёх параметров, а $\textstyle \mathbf {S}$ — от четырёх, и одной и той же матрице дисперсии может соответствовать несколько различных матриц $\textstyle \mathbf {S}$. Так, можно записать:

$\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}\cos \alpha &\sigma _{1}\sin \alpha \\\sigma _{2}\sin \beta &\sigma _{2}\cos \beta \\\end{pmatrix}},$

где $\textstyle \rho =\sin(\alpha +\beta )$. Понятно, что возможны различные комбинации "углов" $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$, дающие один и тот же корреляционный коэффициент $\textstyle \rho$.

Если $\textstyle \alpha =-\beta$, то $\textstyle \rho =0$, и $\textstyle \mathbf {D} =\mathbf {S} \mathbf {S} ^{T}$ является диагональной, а при $\textstyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=1$ — единичной. Матрицу $\textstyle \mathbf {S}$, удовлетворяющую уравнению $\textstyle \mathbf {S} \mathbf {S} ^{T}=\mathbf {1}$, называют ортогональной.

Если $\textstyle \alpha =0$, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\sin\beta} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1=\sigma_2=1} , то

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \rho & \sqrt{1-\rho^2} \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \\ \end{pmatrix}. }

Подобная смесь переводит независимые стандартные случайные величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_1,\varepsilon_2\sim N(0,1)} в скоррелированные, так что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_1,\eta_2\sim N(0,1)}  :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \eta_1 =\;\; \varepsilon_1\ \eta_2 = \rho\,\varepsilon_1+ \sqrt{1-\rho^2}\;\varepsilon_2\ \end{array} \right. \;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\; \bigl\langle\eta_1\cdot\eta_2\bigr\rangle = \rho,\;\;\;\;\;\;\bigl\langle\eta^2_1\bigr\rangle=\bigl\langle\eta^2_2\bigr\rangle=1.}

Это позволяет, например, при компьютерном моделировании генерить скоррелированные величины при помощи нескоррелированных.

---

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения