Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Уравнение для стержня

---

Из преобразований Лоренца следует, что если одновременно зафиксировать положение всех точек движущегося объекта, то он будет выглядеть сжатым в направлении движения. Например, квадрат (в собственной системе отсчета), движущийся со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$ в плоскости $\textstyle (x,y)$ вдоль одной из граней, будет короче в $\textstyle \gamma$ раз (рисунки a, b). Если же квадрат движется под углом 45 градусов, то его диагональ вдоль направления движения будет сокращаться, а вторая диагональ — нет. Результат изображён на рисунке c.

Представим, что стороны квадрата — это координатные оси $\textstyle (x',y')$ движущейся системы отсчёта. Тогда, при произвольном направлении её скорости, эти оси будут не ортогональны друг другу и некоторым образом повёрнуты относительно неподвижной системы отсчёта.

\parbox{14cm}{\large \fig Движение квадрата со скоростью $\textstyle v=0.8$ в различных направлениях. Пунктир — координатная сетка неподвижной системы. }

На рисунке a изображены координатные оси восьми систем отсчёта и стрелками указаны направления их скорости. Хотя системы расположены по окружности, это ещё не томасовская прецессия, так как каждая система отсчёта движется прямолинейно с постоянной скоростью в указанном стрелкой направлении, а не вдоль окружности.

\parbox{14cm}{\large \fig Координатные оси систем отсчёта, имеющих одинаковый модуль скорости $\textstyle v=0.8$ и разное направление (левый рисунок). Правый рисунок определяет три угла осей движущейся системы отсчёта относительно неподвижной: $\textstyle \alpha =\alpha _{x}+\alpha _{y}+\pi /2$. }

Задавая координаты $\textstyle \mathbf {r} '$ точек в системе отсчёта $\textstyle K'$, связанной с телом, при помощи преобразований Лоренца можно получить координаты точек $\textstyle \mathbf {r}$ в неподвижной системе $\textstyle K$. Нас интересует мгновенная форма движущегося тела в момент времени $\textstyle t$ в системе $\textstyle K$. Поэтому необходимо так переписать преобразования Лоренца, чтобы радиус-вектор $\textstyle \mathbf {r}$ зависел от $\textstyle t$ и $\textstyle \mathbf {r} '$. Для этого запишем обратные преобразования Лоренца ($\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$):

$t=\gamma \,(t'+{\mathbf {v} }{\mathbf {r} }'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {r} }={\mathbf {r} }'+\gamma {\mathbf {v} }t'+\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }{\mathbf {r} }')$

(EQN)

и исключим из них время $\textstyle t'$:

$\mathbf {r} =\mathbf {v} t+\mathbf {r} '-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} ').$

(EQN)

Это соотношение позволяет вычислять положение точек движущегося тела в данный момент времени $\textstyle t$ в системе $\textstyle K$.

Первое слагаемое $\textstyle \mathbf {v} t$ в () указывает на то, что все точки движутся параллельно с постоянной скоростью $\textstyle \mathbf {v}$. Когда $\textstyle t=0$, начала систем отсчёта совпадают и форма движущегося тела определяется вторым и третьим слагаемыми (). При $\textstyle t=0$, из () следует, что:

$\mathbf {v} \mathbf {r} =\mathbf {v} \mathbf {r} '/\gamma ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} ^{2}=\mathbf {r} '^{2}-(\mathbf {v} \mathbf {r} ')^{2},$

(EQN)

т.е. продольные размеры испытывают лоренцевское сокращение, а поперечные (если $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {r} '=0$) остаются неизменными. Рассмотрим две фиксированные точки тела. Для радиус-векторов к каждой из них запишем соотношение (). Их скалярное произведение в двух системах отсчёта связаны следующим образом:

$\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}=\mathbf {r} '_{1}\mathbf {r} '_{2}-(\mathbf {v} \mathbf {r} '_{1})(\mathbf {v} \mathbf {r} '_{2}).$

(EQN)

Пусть движение происходит в плоскости $\textstyle (x,y)$. Выберем одну точку на оси $\textstyle x'$, а вторую — на оси $\textstyle y'$ (см. рис.b). В системе $\textstyle K'$ их координаты равны: $\textstyle \mathbf {r} '_{1}=\{1,0\}$, $\textstyle \mathbf {r} '_{2}=\{0,1\}$. Координаты $\textstyle \mathbf {r} _{i}=\{x_{i},\;y_{i}\}$ этих же точек в неподвижной системе отсчёта получаются из уравнения ():

$x_{1}=1-{\frac {\gamma v_{x}^{2}}{\gamma +1}},\;\;\;\;y_{1}=-{\frac {\gamma v_{x}v_{y}}{\gamma +1}};\;\;\;\;\;\;\;x_{2}=-{\frac {\gamma v_{x}v_{y}}{\gamma +1}},\;\;\;\;y_{2}=1-{\frac {\gamma v_{y}^{2}}{\gamma +1}},$

(EQN)

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}=1/{\sqrt {1-v_{x}^{2}-v_{y}^{2}}}$. В результате синус угла $\textstyle \alpha _{x}$ между осями $\textstyle x'$ и $\textstyle x$ и аналогично для $\textstyle \alpha _{y}$ между осями $\textstyle y'$ и $\textstyle y$ (см. рис.) равны:

$\sin \alpha _{x}={\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,{\frac {v_{x}v_{y}}{\sqrt {1-v_{x}^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin \alpha _{y}={\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,{\frac {v_{x}v_{y}}{\sqrt {1-v_{y}^{2}}}},$

(EQN)

где модули $\textstyle \mathbf {r} _{1}$ и $\textstyle \mathbf {r} _{2}$ найдены при помощи второго соотношения ().

Косинус угла между осями движущейся системы отсчёта находится из соотношения ():

$\cos \alpha =-{\frac {v_{x}v_{y}}{\sqrt {(1-v_{x}^{2})(1-v_{y}^{2})}}}.$

(EQN)

Таким образом, координатные оси системы $\textstyle K'$ будут ортогональными для наблюдателей в $\textstyle K$, только если одна из компонент скорости равна нулю. Это происходит при движении вдоль координатной оси.

---

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Уравнение для стержня