Мартингалы

Случайные процессы <<	Оглавление	>> Уравнения Ито

---

Бесплатного сыра, как известно, не бывает. Этот эвристический принцип оказывается мощным и конструктивным в теории финансов.

Если цена при блуждании в среднем не изменяется, $\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_{0}$, то такую модель называют мартингалом. Для неё лучшим прогнозом будущей цены будет текущее значение $\textstyle x_{0}$. Это очень общая математическая концепция. Например, в дискретной аддитивной модели $\textstyle x=x_{0}+\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n}$ для её мартингальности не требуется независимость и стационарность случайных изменений $\textstyle \varepsilon _{i}$ цены. Два последовательных изменения могут быть скоррелированы, и $\textstyle P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})\neq P(\varepsilon _{1})\cdot ...\cdot P(\varepsilon _{n})$. Единственное, что требуется, — это неизменность цены в среднем при любом $\textstyle n$:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n})\cdot P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})\;d\varepsilon _{1}...d\varepsilon _{n}=0.$

Таким образом, среднее значение накопленного изменения цены оказывается равным нулю и $\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_{0}$. Для мартингального процесса не имеет значения, когда начинается и заканчивается накопление изменения. На любом интервале времени оно должно быть нулевым. Чтобы проиллюстрировать этот важный момент, рассмотрим двухшаговое дискретное блуждание по дереву:

Из начальной цены Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_0=5} возможны равновероятные переходы к ценам 6 и 4 и т.д. по дереву. На рисунках представлены два различных процесса. В обоих случаях на втором этапе вероятности состояний равны Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \{1/4, 1/2, 1/4\}} и среднее значение цены равно начальному:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.25\cdot 7 +0.5\cdot 5+ 0.25\cdot 3=5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0.25\cdot 8 +0.5\cdot 5+ 0.25\cdot 2=5.}

Однако для правого процесса это свойство нарушается в промежуточных состояниях. Рассмотрим нижний узел первого ветвления с ценой 4. Если мы находимся в нём, то среднее значение будущей цены отлично от четырех: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle 0.5\cdot 5+ 0.5\cdot 2=3.5 \neq 4.} Поэтому второй процесс не является мартингалом и позволяет заработать, начиная с состояний 4 или 6.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} При обсуждении стохастических процессов в литературе часто используют достаточно формальные обозначения. Следуя Колмогорову, который построил аксиоматику теории вероятностей, говорят о вероятностном пространстве. Оно определяется тройкой Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\Omega, {\mathcal F}, '''P''')} , где $\textstyle \Omega$ — пространство элементарных событий, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle {\mathcal F}} — алгебра событий и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{P}} — распределение вероятностей. Разберёмся с каждым из этих понятий.

Пространство элементарных событий Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Omega} представляет собой множество простейших, не делимых далее событий, которые не могут произойти одновременно (попарно несовместные). Например, при броске игральной кости это пространство состоит из шести возможных событий, соответствующих выпадению тех или иных очков: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}} .

Алгебра событий Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle {\mathcal F}} — это множество всех возможных составных событий, включая элементарные. Для броска кости примерами таких событий могут быть Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle A=} "число делится на 3"=Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle (3\;или\;6)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle B=} "число больше 4"=Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (5\;или\;6)} . Над событиями возможны операции объединения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle A+B} , пересечения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle A \cdot B} и отрицания Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bar{A}} (стр. \pageref{prob_theor_intersect_union_not}). В результате получаются новые события. Множество Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle {\mathcal F}} является замкнутым, т.е. эти три операции всегда приводят к событиям, находящимся в $\textstyle {\mathcal {F}}$. Множества и операции, обладающие таким свойством, называют Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma} -алгеброй.

Распределение вероятностей P — это функция Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle p='''P'''({\mathcal F})} , которая ставит в соответствие каждому событию из Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle {\mathcal F}} вещественное число Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle 0\leqslant p \leqslant 1} . Другими словами, это вероятности всех возможных событий. Указание вероятностей Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''P'''({\mathcal F})} , а не Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''P'''(\Omega)} , существенно для задач, в которых событий из $\textstyle \Omega$ бесконечно много и они несчётны. Вероятность каждого из них может быть равна нулю. Так, равна нулю вероятность конкретного значения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} непрерывной случайной величины. В то же время составное событие из Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle {\mathcal F}} может иметь отличную от нуля вероятность (например, вероятность попадания в некоторый конечный интервал).

Случайной величиной Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} называется объект, возможные реализации которого попадают в те или иные элементы алгебры событий Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle {\mathcal F}} . Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} — вещественная величина, то в Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle {\mathcal F}} находятся все возможные отрезки вещественной оси, в которых может находиться Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} . Соответственно, $\textstyle '''P'''$ определяет вероятности попаданий Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} в такие отрезки.

Случайный процесс Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(t)} — это дискретное Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_t=x_1,x_2,...} или непрерывное Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(t)} упорядоченное множество случайных величин, которые могут быть, например, ценами финансового инструмента в различные моменты времени. Случайный процесс можно также рассматривать, как многомерную случайную величину.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Конкретная история значений случайного процесса Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(t)} является элементом множества алгебры событий $\textstyle {\mathcal {F}}$ случайного процесса. Если рассматриваются цены до момента времени $\textstyle t$ включительно, то такую историю обычно обозначают в виде $\textstyle {\mathcal {F}}_{t}$. Для дискретного случайного процесса $\textstyle {\mathcal {F}}_{t}$ имеет вид:

${\mathcal {F}}_{t}=...,x_{t-2},x_{t-1},x_{t}.$

В общем случае это бесконечная последовательность, идущая из прошлого.

Если известна некоторая история, то для данного процесса существует определённая вероятность появления следующего значения. Эта вероятность является условной, так как описывает наступление события при условии реализации данной истории.

Среднее значение случайного процесса в момент времени $\textstyle t_{i}$ при условии реализации той или иной истории $\textstyle {\mathcal {F}}_{j}=...,x_{j-1},x_{j}$ часто обозначают следующим образом:

$'''E'''(x_{i}|{\mathcal {F}}_{j})\;=\;\left\langle x_{i}\right\rangle _{j}\;=\;\int \;x\cdot P(...;\;x_{j-1},t_{j-1};\;x_{j},t_{j}\Rightarrow x_{i},t_{i})\;dx_{i}.$

Мартингалом называют такой случайный процесс, для которого

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle '''E'''(x_i|{\mathcal F}_j) = x_j,\;\;\;\;для\;''любых''\;\;\;\;j\leqslant i. }

Другими словами, среднее значение цены в момент времени $\textstyle t_{i}$ равно последнему известному историческому значению в момент $\textstyle t_{j}$.

Для марковских процессов, которые мы обсуждаем в этих лекциях, вероятность $\textstyle x(t)$ зависит только от его значения в прошлом $\textstyle x(t_{0})$ и не зависит от всей предыдущей истории. Марковский процесс будет мартингальным, если для любых моментов времени $\textstyle t_{0}<t$ выполняется соотношение:

$'''E'''(x(t)|x(t_{0}))\equiv \left\langle x(t)\right\rangle _{x(t_{0})}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\cdot P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)\;dx\;=\;x(t_{0})\;=\;x_{0},$

где индекс у знака среднего обозначает усреднение с условной вероятностью $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$. Моменты времени могут быть номерами на дискретной сетке или вещественными числами в модели непрерывного времени. Чаще всего мы считаем цены финансовых инструментов положительными величинами. В таких случаях плотность вероятности $\textstyle P=0$ при $\textstyle x<0$, и, следовательно, интегрирование реально будет происходить от нуля до плюс бесконечности.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Если средняя цена случайного процесса со временем не уменьшается, то он называется субмартингалом, а если не увеличивается — супермартингалом. В обозначениях условного среднего субмартингал определяется следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle '''E'''(x_i|{\mathcal F}_j) \geqslant x_j.}

Аналогично для супермартингала:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle '''E'''(x_i|{\mathcal F}_j) \leqslant x_j.}

Каждый мартингал является и субмартингалом, и супермартингалом. Понятно, что если процесс одновременно обладает обоими свойствами, то он в точности мартингален.

Рассмотрим простой пример. Пусть подбрасывается монета, и при выпадении "орла" один игрок платит другому доллар, а при выпадении "решки" — наоборот. Тогда накопленная сумма у каждого игрока является стохастическим процессом, так как она случайно изменяется со временем. Если монета симметрична и вероятность выпадения каждой из сторон Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle p=1/2} , то капитал каждого игрока является мартингалом. При смещённом центре тяжести Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle p\neq 1/2} для проигрывающего в среднем игрока это будет супермартингал, а для выигрывающего — субмартингал.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Мартингальные процессы оказываются удобной и очень общей моделью эффективного рынка, на котором нельзя гарантированно или в среднем получать прибыль. Если бы $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ в будущем было отлично от Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_0} , то при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle x\right\rangle > x_0} такой финансовый инструмент имело бы смысл покупать, а при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle x\right\rangle < x_0} — продавать, получая в среднем доход Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle |\left\langle x\right\rangle - x_0|} . На самом деле, цены на многих рынках в долгосрочной перспективе растут. Например, рост экономики сопровождается ростом фондовых рынков. Однако, в силу их существенной волатильности, на относительно краткосрочных интервалах времени мартингальная модель вполне адекватна. Она обычно лежит в основе вычисления справедливых цен опционов и других производных ценных бумаг.

В заключение отметим, что, при всей своей математической изящности, непрерывные стохастические процессы являются лишь моделью, причём достаточно ограниченной. На самом деле рынки имеют разрывную динамику, так как существуют периоды времени, когда они закрыты и торговля не ведётся. Достаточно искусственным является также допущение о непрерывности торговли в ультракоротких периодах времени. Тем не менее, аппарат непрерывных стохастических процессов достаточно эффективно используется в вычислительных финансах и является обязательным инструментом любого финансового аналитика.

---

Случайные процессы <<	Оглавление	>> Уравнения Ито

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения