Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение

Обозначим через $\textstyle X=\{t,\,\mathbf {r} \}$ 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как $\textstyle X'=\mathbb {L} (\mathbf {v} )\,X$ или в явной компонентной записи (см. раздел 2):

$t'=\gamma \,(t-{\mathbf {v} }{\mathbf {r} }),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {r} }'={\mathbf {r} }-\gamma {\mathbf {v} }t+\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }{\mathbf {r} }).$

(EQN)

Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора $\textstyle \mathbf {n}$ на угол $\textstyle \phi$ в матричном виде обозначим как $\textstyle X'=\mathbb {R} (\mathbf {n} ,\phi )\,X$ или

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} \,\cos \phi +\mathbf {n} (\mathbf {n} \mathbf {r} )(1-\cos \phi )-[\mathbf {n} \times \mathbf {r} ]\sin \phi$

(EQN)

при неизменности времени ($\textstyle t'=t$).

Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора $\textstyle \mathbf {n}$ одна система координат относительно другой. Расписав преобразования () в компонентах $\textstyle \mathbf {r} =\{x,y,z\}$ и $\textstyle \mathbf {r} '=\{x',y',z'\}$, мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора $\textstyle \mathbf {n} =\{n_{x},n_{y},n_{z}\}$ берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор $\textstyle \mathbf {r}$. В этом случае, после замены $\textstyle \phi \mapsto -\phi$, формула () устанавливает векторную связь двух различных векторов $\textstyle \mathbf {r} '$ и $\textstyle \mathbf {r}$.

Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.

Инфинитезимальные преобразования Лоренца $\textstyle \mathbb {L} (d\mathbf {v} )$:

$t'=t-{\mathbf {r} }d{\mathbf {v} },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {r} }'={\mathbf {r} }-td{\mathbf {v} }$

(EQN)

и вращения $\textstyle \mathbb {R} (\mathbf {n} ,d\phi )$:

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} -[\mathbf {n} \times \mathbf {r} ]d\phi$

(EQN)

записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.

Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО $\textstyle K_{1}$ движется относительно $\textstyle K$ со скоростью $\textstyle \mathbf {v} _{1}$, а $\textstyle K_{2}$ относительно $\textstyle K_{1}$ со скоростью $\textstyle \mathbf {v} _{2}$. Тогда

$X_{1}=\mathbb {L} (\mathbf {v} _{1})\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_{2}=\mathbb {L} (\mathbf {v} _{2})\,X_{1}$

(EQN)

или

$X_{2}=\mathbb {L} (\mathbf {v} _{2})\mathbb {L} (\mathbf {v} _{1})\,X.$

(EQN)

Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.

Результат произведения матриц () может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в () исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники \cite{Stepanov2010r}. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:

$\mathbb {L} (\mathbf {v} _{2})\,\mathbb {L} (\mathbf {v} _{1})=\mathbb {R} (\mathbf {n} ,\,\phi )\,\mathbb {L} (\mathbf {w} ).$

(EQN)

Угол поворота $\textstyle \phi$ и единичный вектор $\textstyle \mathbf {n}$ находятся из уравнения:

$\mathbf {n} \,\sin \phi =-[\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}]\,{\frac {\gamma _{1}\gamma _{2}\,(1+\gamma _{w}+\gamma _{1}+\gamma _{2})}{(1+\gamma _{w})(1+\gamma _{1})(1+\gamma _{2})}},$

(EQN)

а итоговая скорость $\textstyle \mathbf {w}$ имеет смысл скорости начала системы $\textstyle K_{2}$ относительно $\textstyle K$:

$\mathbf {w} ={\frac {\mathbf {v} _{2}+\mathbf {v} _{1}\gamma _{1}+\Gamma _{1}\mathbf {v} _{1}(\mathbf {v} _{1}\mathbf {v} _{2})}{\gamma _{1}\,(1+\mathbf {v} _{1}\mathbf {v} _{2})}}.$

(EQN)

Факторы $\textstyle \gamma _{1}$ и $\textstyle \Gamma _{1}$ относятся к скорости $\textstyle \mathbf {v} _{1}$, а $\textstyle \gamma _{2}$ — к скорости $\textstyle \mathbf {v} _{2}$. Фактор Лоренца $\textstyle \gamma _{w}$ для скорости $\textstyle \mathbf {w}$ равен:

$\gamma _{w}=\gamma _{1}\gamma _{2}\,(1+\mathbf {v} _{1}\mathbf {v} _{2}).$

(EQN)

Формула () была получена Стаппом в 1956 г. \cite{Stapp1956}, а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением \cite{Wigner1939}.

Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:

$\mathbb {L} (\mathbf {v} _{2})\,\mathbb {L} (\mathbf {v} _{1})=\mathbb {L} ({\tilde {\mathbf {w} }})\,\mathbb {R} (\mathbf {n} ,\,\phi ),$

(EQN)

когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол $\textstyle \phi$ и единичный вектор $\textstyle \mathbf {n}$ () остаются без изменений, а итоговая скорость $\textstyle {\tilde {\mathbf {w} }}$ получается из () перестановкой индексов 1 и 2:

${\tilde {\mathbf {w} }}={\frac {\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\gamma _{2}+\Gamma _{2}\mathbf {v} _{2}(\mathbf {v} _{2}\mathbf {v} _{1})}{\gamma _{2}\,(1+\mathbf {v} _{1}\mathbf {v} _{2})}}.$

(EQN)

Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы $\textstyle K$ относительно $\textstyle K_{2}$. Заметим, что $\textstyle |{\tilde {\mathbf {w} }}|=|\mathbf {w} |$, поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение

${\frac {{\tilde {\mathbf {w} }}\times \mathbf {w} }{w^{2}}}=\mathbf {n} \,\sin \phi ,$

(EQN)

из которого следует, что угол между векторами скоростей $\textstyle \mathbf {w}$ и $\textstyle {\tilde {\mathbf {w} }}$ соответствует вигнеровскому повороту ().

Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона \cite{Jackson_1965} и Мёллера \cite{Myoler_1975}. Пусть есть три системы отсчёта: $\textstyle K$, $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$, описанные в первом разделе, где $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а $\textstyle K$ — лабораторная ИСО.

В \cite{Jackson_1965} предполагается, что $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ связаны с $\textstyle K$ бустами:

$X'=\mathbb {L} (\mathbf {v} )\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb {L} (\mathbf {v} +d\mathbf {v} )\,X,$

(EQN)

откуда, учитывая, что $\textstyle \mathbb {L} ^{-1}(\mathbf {v} )=\mathbb {L} (-\mathbf {v} )$, получаем:

$X''=\mathbb {L} (\mathbf {v} +d\mathbf {v} )\mathbb {L} (-\mathbf {v} )\,X'.$

(EQN)

Используя общие соотношения (), () с $\textstyle \mathbf {v} _{1}=-\mathbf {v}$, $\textstyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} +d\mathbf {v}$, в первом приближении по $\textstyle d\mathbf {v}$, находим бесконечно малый угол поворота:

$\mathbf {n} \,d\phi ={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\,[\mathbf {v} \times d\mathbf {v} ],$

(EQN)

где учтено, что в векторном произведении () стоит малая величина $\textstyle d\mathbf {v}$, поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по $\textstyle d\mathbf {v}$: $\textstyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=\gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}$, $\textstyle \gamma _{w}=\gamma ^{2}(1-\mathbf {v} ^{2})=1$. В явном виде преобразование между $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ записывается следующим образом:

$t''=t'-\mathbf {r} '\Delta \mathbf {v} ,\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} ''=\mathbf {r} '-d\phi \,[\mathbf {n} \times \mathbf {r} ']-t'\Delta \mathbf {v} ,$

(EQN)

где

$\Delta \mathbf {v} =\gamma (d\mathbf {v} +\Gamma (\mathbf {v} d\mathbf {v} )\mathbf {v} ).$

В первом приближении по $\textstyle d\mathbf {v}$ скорости $\textstyle \mathbf {w}$ и $\textstyle {\tilde {\mathbf {w} }}$ совпадают и равны $\textstyle \Delta \mathbf {v}$.

Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$. При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (). Таким образом, их оси "параллельны" $\textstyle K$, а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.

В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.

Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера \cite{Myoler_1975}, который рассматривает последовательность преобразований:

$X'=\mathbb {L} (\mathbf {v} )X,\;\;\;\;X''=\mathbb {L} (d\mathbf {v} ')X',$

(EQN)

откуда

$X''=\mathbb {L} (d\mathbf {v} ')\mathbb {L} (\mathbf {v} )X.$

(EQN)

Подставляя $\textstyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {v}$, $\textstyle \mathbf {v} _{2}=d\mathbf {v} '$ в соотношения (), (), в первом приближении по $\textstyle d\mathbf {v} '$ имеем:

$\mathbf {n} \,d\phi =-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,[\mathbf {v} \times d\mathbf {v} '],$

(EQN)

где учтено, что $\textstyle \gamma _{2}\approx 1$ и $\textstyle \gamma _{w}\approx \gamma _{1}=\gamma$. Итоговая скорость () равна:

$\mathbf {w} ={\frac {d\mathbf {v} '+\mathbf {v} \gamma +\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} d\mathbf {v} ')}{\gamma \,(1+\mathbf {v} d\mathbf {v} ')}}\approx \mathbf {v} +{\frac {d\mathbf {v} '}{\gamma }}-{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {v} d\mathbf {v} ')}{\gamma +1}},$

(EQN)

где приближенное равенство записано в первом порядке малости по $\textstyle d\mathbf {v} '$. Величина $\textstyle d\mathbf {v} '$ является скоростью $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K'$ и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения $\textstyle K'$.

Скорость $\textstyle \mathbf {w}$ имеет смысл скорости системы $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K$, поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:

$d\mathbf {v} =\mathbf {w} -\mathbf {v} .$

(EQN)

Умножая её векторно на $\textstyle \mathbf {v}$, несложно переписать () в виде:

$\mathbf {n} \,d\phi =-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\,[\mathbf {v} \times d\mathbf {v} ],$

(EQN)

что с точностью до знака совпадает с выражением () Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы $\textstyle K$ в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении $\textstyle \mathbb {L} (d\mathbf {v} ')\mathbb {L} (\mathbf {v} )=\mathbb {R} (\mathbf {n} ,d\phi )\mathbb {L} (\mathbf {v} +d\mathbf {v} )$ участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от $\textstyle K$ к $\textstyle K'$, а затем к $\textstyle K''$. В правой части лоренцевское преобразование $\textstyle \mathbb {L} (\mathbf {v} +d\mathbf {v} )$ осуществляет переход от $\textstyle K$ к системе $\textstyle {\tilde {K}}''$, из которой (в результате поворота) получается система $\textstyle K''$. Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы $\textstyle K$, а относительно $\textstyle {\tilde {K}}''$.