Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса

Введём три системы отсчёта $\textstyle K$, $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$. Пусть скорость системы $\textstyle K'$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf {v}$, а скорость системы $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K'$ равна $\textstyle d\mathbf {v} '$. Соответственно, скорость $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf {v} +d\mathbf {v}$.

\parbox{14cm}{\large \fig Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ }

Эти скорости связаны при помощи преобразования ():

${\mathbf {v} }+d\mathbf {v} ={\frac {d{\mathbf {v} }'+\gamma {\mathbf {v} }+\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }d{\mathbf {v} }')}{\gamma \,(1+{\mathbf {v} }d{\mathbf {v} }')}}.$

(EQN)

Так как $\textstyle d\mathbf {v} '$ мало, разложим в ряд знаменатель:

$d\mathbf {v} \approx {\frac {d{\mathbf {v} }'}{\gamma }}+{\frac {\Gamma }{\gamma }}\,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }d{\mathbf {v} }')-\mathbf {v} ({\mathbf {v} }d{\mathbf {v} }')={\frac {d\mathbf {v} '}{\gamma }}-{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {v} d\mathbf {v} ')}{\gamma +1}},$

(EQN)

где учтено тождество (). Умножая левую и правую части на $\textstyle \mathbf {v}$, имеем:

$\mathbf {v} d\mathbf {v} '\approx \gamma ^{2}\,\mathbf {v} d\mathbf {v} .$

(EQN)

При помощи этого соотношения можно обратить выражение ():

$d\mathbf {v} '\approx \gamma d\mathbf {v} +{\frac {\gamma ^{3}\mathbf {v} (\mathbf {v} d\mathbf {v} )}{\gamma +1}}.$

(EQN)

Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора $\textstyle S^{\alpha }$, ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости $\textstyle U^{\alpha }=\{\gamma _{u},\,\mathbf {u} \gamma _{u}\}$:

$U\cdot S=U^{0}S^{0}-\mathbf {U} \mathbf {S} =0.$

(EQN)

Из этого соотношения следует, что $\textstyle S^{0}=\mathbf {u} \mathbf {S}$. Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () $\textstyle t\mapsto S^{0}=\mathbf {u} \mathbf {S}$ и $\textstyle \mathbf {r} \mapsto \mathbf {S}$):

$\mathbf {S} '=\mathbf {S} -\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u} \mathbf {S} )+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ).$

(EQN)

Обратное преобразование получается заменой скорости $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$:

$\mathbf {S} =\mathbf {S} '+\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u} '\mathbf {S} ')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} '),$

(EQN)

так как в любой системе отсчёта $\textstyle S^{0}=\mathbf {u} \mathbf {S}$.

Если гироскоп неподвижен ($\textstyle \mathbf {u} '=0$) относительно системы $\textstyle K'$, то:

$\mathbf {S} =\mathbf {S} '+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ').$

(EQN)

Обратное преобразование получается при помощи тождества () из соотношения () после подстановки $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {v}$:

$\mathbf {S} '=\mathbf {S} -{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ).$

(EQN)

Применим преобразование () между ИСО $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$. Пусть в системе $\textstyle K''$ находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином $\textstyle \mathbf {S} ''$. В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить $\textstyle \mathbf {v} \mapsto d\mathbf {v} '$. В результате в первом приближении по $\textstyle d\mathbf {v} '$ спин остаётся в системе $\textstyle K'$ без изменений:

$\mathbf {S} '=\mathbf {S} ''.$

(EQN)

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе $\textstyle K'$ со спином $\textstyle \mathbf {S} '$ (рис.). Когда начала систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы $\textstyle K''$ получается при изменении на $\textstyle d\mathbf {v} '$ скорости гироскопа системы $\textstyle K'$. Спин гироскопа $\textstyle K''$ в соответствии с () и () относительно $\textstyle K$ равен:

$\mathbf {S} =\mathbf {S} '+\gamma \mathbf {v} (\mathbf {S} 'd\mathbf {v} ')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ').$

(EQN)

Это значение спина гироскопа в момент времени $\textstyle t+dt$ после изменения им скорости на $\textstyle d\mathbf {v} '$ относительно системы $\textstyle K'$. Вычитая из этого выражение значение спина () в момент времени $\textstyle t$, получаем:

$d\mathbf {S} =\gamma \mathbf {v} (\mathbf {S} 'd\mathbf {v} ')=\gamma ^{2}\mathbf {v} (\mathbf {S} d\mathbf {v} ),$

(EQN)

где во втором равенстве $\textstyle d\mathbf {v} '$, при помощи (), выражено через $\textstyle d\mathbf {v}$, а вместо $\textstyle \mathbf {S} '$ подставлено выражение (). Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {v} /dt$, окончательно получаем:

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\gamma ^{2}\mathbf {v} \,(\mathbf {a} \mathbf {S} ).$

(EQN)

Если ускорение $\textstyle \mathbf {a}$ остаётся перпендикулярным вектору спина ($\textstyle \mathbf {a} \mathbf {S} =0$), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

Уравнению () можно придать ковариантную форму:

${\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}=-V^{\alpha }A^{\beta }S_{\beta },$

(EQN)

где $\textstyle V^{\alpha }=\{\gamma ,\mathbf {v} \gamma \}$ — 4-скорость, а $\textstyle A^{\alpha }$ — 4-ускорение:

$A^{\alpha }={\frac {dV^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma \,{\frac {d}{dt}}\{\gamma ,\;\mathbf {v} \gamma \}=\{(\mathbf {v} \mathbf {a} )\gamma ^{4},\;\mathbf {a} \gamma ^{2}+\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {a} )\gamma ^{4}\}$

(EQN)

и $\textstyle d\tau ={\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}\,dt$ — собственное время системы $\textstyle K'$.

Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено \cite{Weinberg1975} в предположении, что изменение 4-вектора спина $\textstyle dS^{\alpha }$ при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости $\textstyle V^{\alpha }$. При таком переносе, в силу $\textstyle V\cdot S=0$, остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:

${\frac {d(S^{\alpha }S_{\alpha })}{d\tau }}=0,$

(EQN)

хотя квадрат 3-вектора спина $\textstyle \mathbf {S} ^{2}$ изменяется:

${\frac {d\mathbf {S} ^{2}}{dt}}=2\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {S} )(\mathbf {a} \mathbf {S} ),$

(EQN)

если спин не ортогонален скорости или ускорению.

При равноускоренном движении () из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

$S_{x}(t)={\frac {S_{x0}}{\sqrt {1-v^{2}(t)}}},$

(EQN)

где $\textstyle S_{x0}=S_{x}(0)$ — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений.

На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:

${\frac {dS_{x}}{S_{x}}}={\frac {va\,dt}{1-v^{2}(t)}}=-{\frac {1}{2}}\,d{\bigl [}\ln(1-v^{2}(t)){\bigr ]}.$

(EQN)

Его интегрирование приводит к ().

Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе $\textstyle K''$ находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса $\textstyle \mathbf {L} ''$ и с центром энергии в начале координат: $\textstyle \mathbf {G} ''=0$. Записав преобразования (), () между системами $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ с $\textstyle \mathbf {v} =d\mathbf {v} '$, в первом порядке малости по $\textstyle d\mathbf {v} '$, имеем:

$\mathbf {L'} =\mathbf {L} '',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {G} '=[d\mathbf {v} '\times \mathbf {L} ''].$

(EQN)

Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом $\textstyle \mathbf {L} '$, центр энергии которого расположен в начале системы $\textstyle K'$ ($\textstyle \mathbf {G} '=0$). Когда начала систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы $\textstyle K''$ получается при изменении на $\textstyle d\mathbf {v} '$ скорости гироскопа системы $\textstyle K'$. При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.

Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в $\textstyle K$. Гироскоп $\textstyle K''$ имеет момент импульса:

$\mathbf {L} =\gamma \mathbf {L} '-\gamma [\mathbf {v} \times [d\mathbf {v} '\times \mathbf {L} ']]-\Gamma \,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {L} '),$

(EQN)

где учтено () и (), а гироскоп $\textstyle K'$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}'- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'). }

(EQN)

Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа $\textstyle K'$ на $\textstyle d\mathbf {v} '$.

Считая, что () соответствует моменту времени $\textstyle t$, а () — бесконечно близкому моменту $\textstyle t+dt$, имеем:

$d\mathbf {L} =-\gamma [\mathbf {v} \times [d\mathbf {v} '\times \mathbf {L} ']]=-\gamma \,(\mathbf {v} \mathbf {L} ')d\mathbf {v} '+\gamma \mathbf {L} '(\mathbf {v} d\mathbf {v} ').$

(EQN)

Учтём инвариантность $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {L} '=\mathbf {v} \mathbf {L}$, уравнение () и подставим $\textstyle \gamma \mathbf {L} '$ из (). Выражая при помощи () скорость $\textstyle d\mathbf {v} '$ через $\textstyle d\mathbf {v}$ и вводя ускорение $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {v} /dt$, получаем:

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {a} )\,\mathbf {L} -\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {L} )\mathbf {a} =\gamma ^{2}\,\mathbf {v} \times [\mathbf {L} \times \mathbf {a} ].$

(EQN)

Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны ($\textstyle \mathbf {v} \mathbf {a} =0$), например, при движении по окружности, уравнение () совпадает с уравнением () для ускоренного стержня.