Обсуждение:Парадокс двух конвертов

---

Равномерное ограниченное распределение

Лишая игрока возможности получить или обменять самую большую сумму, Вы очень сильно меняете шансы, заложенные в исходном условии задачи, и именно в следствие этого вновь получаете "парадоксальный" вывод. Аналогичные эффекты возможны и в других разделах.

С уважением. BurykinD 15:59, 12 сентября 2010 (UTC)

В статье рассматриваются различные варианты проведения игры с конвертами. Устранение краевого эффекта лишь один из них. Собственно он использован только в конце раздела "Равномерное ограниченное распределение". Почему он "парадоксален", не совсем ясно. Естественно, если ограничения на начало игры нет, то конверты будут приносить одинаковый доход. Однако всегда существует более выигрышная стратегия, использующая информацию о деньгах в открытом конверте.

Обратите внимание, что сегодня добавился раздел "Неравномерное распределение". Спасибо за интерес к статье. Будут ещё замечания - смело пишите. Сергей Степанов 17:42, 12 сентября 2010 (UTC)

Новая формулировка

Границы все портят. Гораздо интереснее неограниченный вариант отсюда

$\forall i\in \mathbb {N} :P\left\{x_{1}=10^{i+1}\land x_{2}=10^{i}\right\}=2^{-i}$

Да, граница осталась, но она очевидна игроку и свои 20 монет в 25% случаев он получит. Но во всех остальных случаях парадокс остается. SeTosha 05:06, 13 сентября 2010 (UTC)

Хорошая задача. Понятно, что математически она не очень корректна. Хотя распределение и нормированно, среднее значение (матожидание) равно бесконечности. Другими словами в среднем выигрыш от выбора любого конверта равен бесконечности. Сравнивать две бесконечности всегда сложно.

Тем не менее с ходу неясно, почему мы не можем сравнивать конечные условные средние. А они в данном случае, действительно, таковы, что при любой сумме в открытом конверте условное среднее закрытого больше $v_{1}<v_{2}$:

$v_{1}=10^{n},~~~~~~~~~~~~~~~v_{2}=\left\{{\begin{array}{ll}10&~~~if~n=0\\{\frac {17}{5}}\,10^{n}&~~~if~n>0\end{array}}\right.$

Вероятности обнаружить в открытом конверте сумму $10^{n}$ равны

$p_{0}={\frac {1}{4}},~~~~~~~p_{n}={\frac {3}{2^{n+1}}},~~n=1,2,..$

Если формально сокращать бесконечности при получении усреднения получится отношение:

${\frac {\left\langle v_{2}\right\rangle }{\left\langle v_{1}\right\rangle }}={\frac {17}{5}}$

Возможно ответ кроется в самом смысле условного среднего. Мы говорим: пусть в открытом конверте мы видим сумму $x$. В этом случае в среднем, при выборе закрытого конверта, мы будем получать столько-то. Однако этого среднего то и не существует. Поэтому и условные средние теряют свой смысл.

Тем не менее надо ещё подумать. Спасибо. Сергей Степанов 06:30, 13 сентября 2010 (UTC)

Приведу дополнительный аргумент, в пользу того, что проблема кроется в расходимостях средних. Рассмотрим выплачиваемые суммы с произвольным основанием: $q^{n}$. Тогда условные средние при выборе открытого ($v_{1}$) и закрытого ($v_{2}$) конвертов равны:

$v_{1}=q^{n},~~~~~~~~~~~~v_{2}=\left\{{\begin{array}{ll}q&~~~if~n=0\\{\frac {2+q^{2}}{3q}}\,q^{n}&~~~if~n>0\end{array}}\right.$

Если $(2+q^{2})/(3q)\geqslant 1$, то всегда $v_{2}>v_{1}$. Если же это множитель меньше единицы, то прямо сравнивать условные средние мы не можем, так как при $n=0$ имеем $v_{2}>v_{1}$, а в остальных случаях $v_{2}<v_{1}$. Поэтому, чтобы ответить на вопрос, какая стратегия доходнее, необходимо проводить усреднение.

Это пороговое значение происходит, когда $q\geqslant 2$. Однако именно этот же порог связан с бесконечным матожиданием, так как в асимптотике, при усреднении имеем $q^{n}/2^{n}$.

Замечу, что предложенный Вами парадокс близок к Петербургскому. Однако в отличии от последнего, в Вашем, сформулированная явная симметрия. Поэтому он существенно сложнее. Есть ещё один любопытный парадокс с курсами валют. Я хочу подробнее обсудить эти вопросы, расширив статью. Каков источник Вашего парадокса? Как лучше назвать его автора? Сергей Степанов 07:59, 13 сентября 2010 (UTC)