Многомерное распределение Гаусса

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

$\textstyle \bullet$ При изучении систем стохастических уравнений мы будем активно использовать матричные и тензорные обозначения. Для сокращения операции умножения матриц используется два типа соглашений:

$\eta _{\alpha }=\sum _{i=1}^{n}S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}\;=\;S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {\epsilon } )_{\alpha }.$

По повторяющемуся индексу всегда подразумевается суммирование, и знак суммы опускается. Выше таковым является индекс "$\textstyle i$" во втором равенстве. Повторяющиеся индексы, по которым проводится суммирование, называют "немыми". В процессе вычислений их можно переобозначить в любую букву, которая ещё не используется в выражении. Третье равенство в уравнении () — это матричная форма той же суммы, в которой матрица $\textstyle '''S'''=S_{\alpha \beta }$ и вектор $\textstyle \epsilon =\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\}$ перемножаются вообще без упоминания индексов и знака суммирования.

Рассмотрим $\textstyle n$ независимых гауссовых случайных величин, имеющих нулевое среднее и единичную дисперсию. Среднее значение их произведения Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \bigl<\varepsilon_i \varepsilon_j\bigr>} равно единице для совпадающих индексов и нулю — для различных. Подобная матрица будет обозначаться символом Кронекера:

$\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle =\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&i=j\ 0&i\neq j.\end{array}}\right.$

Вычислим, например, ковариационную матрицу случайных величин $\textstyle \eta _{\alpha }$:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \bigl<\eta_\alpha\eta_\beta\bigr> = S_{\alpha i} S_{\beta j} \bigl<\varepsilon_i\varepsilon_j\bigr> = S_{\alpha i} S_{\beta j} \delta_{ij} = S_{\alpha i} S_{\beta i} = S_{\alpha i} S^{T}_{i\beta} = ('''S''''''S'''^T)_{\alpha\beta}. }

При суммировании с символом Кронекера $\textstyle \delta _{ij}$ в сумме остаются только слагаемые с $\textstyle i=j$. Поэтому одна из сумм (по $\textstyle j$) и символ Кронекера исчезают, и остаётся только суммационный индекс $\textstyle i$. Затем вводится новая матрица $\textstyle S_{i\beta }^{T}=S_{\beta i}$ с переставленными индексами. Подобная операция называется транспонированием. В табличном представлении она соответствует перестановке местами строк и столбцов матрицы.

Матрица $\textstyle '''S'''$ может имеет обратную $\textstyle '''S'''^{-1}$, если выполняется уравнение:

$'''S'''\cdot '''S'''^{-1}='''S'''^{-1}\cdot '''S'''='''1''',$

где $\textstyle '''1'''=\delta _{ij}$ — единичная матрица (символ Кронекера). Так, для определённого выше вектора $\textstyle \eta =(\eta _{1},...,\eta _{n})$ можно записать:

$\eta ='''S'''\cdot \epsilon \;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\epsilon ='''S'''^{-1}\cdot \eta ,$

где мы умножили левую и правую части на $\textstyle '''S'''^{-1}$.

$\textstyle \bullet$ Пусть $\textstyle \epsilon =(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})$ — стандартные независимые гауссовые случайные величины $\textstyle \varepsilon _{i}\sim N(0,1)$, а величины $\textstyle \eta =(\eta _{1},...,\eta _{n})$ получены из них () при помощи перемешивающих коэффициентов $\textstyle S_{\alpha \beta }$. Среднее значение произведения $\textstyle \eta _{\alpha }\eta _{\beta }$ определяется матрицей дисперсий ():

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle D_{\alpha\beta}=\bigl<\eta_\alpha\eta_\beta\bigr>,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;'''D''' = '''S'''\cdot '''S'''^{T},}

которая является симметричной: $\textstyle D_{\alpha \beta }=D_{\beta \alpha }$.

Найдём производящую функцию для случайных величин $\textstyle \eta$. Для этого введём вектор $\textstyle '''b'''=(b_{1},...,b_{n})$ и вычислим среднее экспоненты от скалярного произведения $\textstyle '''b'''\cdot \eta =b_{1}\eta _{1}+...+b_{n}\eta _{n}$ (по $\textstyle n$ нет суммы!):

$\left\langle e^{'''b'''\cdot \eta }\right\rangle =\left\langle e^{'''b'''\cdot '''S'''\cdot \varepsilon }\right\rangle =\left\langle e^{b_{i}S_{i1}\varepsilon _{1}}\right\rangle \cdot ...\cdot \left\langle e^{b_{i}S_{in}\varepsilon _{n}}\right\rangle =e^{{\frac {1}{2}}\{(b_{i}S_{i1})^{2}+...+(b_{i}S_{in})^{2}\}}.$

Мы воспользовались независимостью величин $\textstyle \varepsilon _{i}$, разбив среднее произведения на произведение средних, и формулой (), стр. \pageref{aver_exp_gauss}. В показателе экспоненты стоит матричное выражение вида:

$(b_{i}S_{i1})^{2}+...+(b_{i}S_{in})^{2}=b_{i}S_{ik}\,b_{j}S_{jk}=b_{i}\,S_{ik}\,S_{kj}^{T}\,b_{j}='''b'''\cdot '''S'''\cdot '''S'''^{T}\cdot '''b'''.$

Поэтому окончательно производящая функция равна:

$\phi ('''b''')=\left\langle e^{'''b'''\cdot \eta }\right\rangle =e^{{\frac {1}{2}}\,'''b'''\cdot '''D'''\cdot '''b'''}.$

Взяв частные производные по $\textstyle b_{\alpha }$, несложно найти среднее от любого произведения $\textstyle \eta _{\alpha }$. Проверим, что среднее Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle \bigl<\eta_\alpha\eta_\beta\bigr>} равно $\textstyle D_{\alpha \beta }$. Возьмём производную производящей функции по $\textstyle b_{\alpha }$. Учитывая, что $\textstyle '''b'''\cdot '''D'''\cdot '''b'''$ равно $\textstyle b_{i}D_{ij}b_{j}$, имеем:

${\frac {\partial \phi ('''b''')}{\partial b_{\alpha }}}={\frac {1}{2}}\,(D_{\alpha j}b_{j}+b_{i}D_{i\alpha })\,\phi ('''b''')=D_{\alpha i}b_{i}\,\phi ('''b'''),$

где во втором равенстве мы воспользовались тем, что $\textstyle D_{\alpha \beta }=D_{\beta \alpha }$. Аналогично берётся вторая производная:

${\frac {\partial ^{2}\phi ('''b''')}{\partial b_{\alpha }\partial b_{\beta }}}=D_{\alpha \beta }\,\phi ('''b''')+D_{\alpha i}b_{i}\,D_{\beta j}b_{j}\,\phi ('''b''').$

Полагая $\textstyle '''b'''=0$ и учитывая, что

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \frac{\partial^2 \left\langle e^{'''b'''\cdot \eta}\right\rangle }{\partial b_\alpha \partial b_\beta }\Big|_{'''b'''=0} = \bigl<\eta_\alpha\eta_\beta\bigr>,}

приходим к соотношению Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}=\bigl<\eta_\alpha\eta_\beta\bigr>} . В качестве упражнения предлагается проверить следующее тензорное выражение:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bigl<\eta_\alpha\eta_\beta\eta_\gamma\eta_k\bigr> =D_{\alpha\beta}D_{\gamma k} + D_{\alpha\gamma}D_{\beta k} + D_{\alpha k}D_{\beta \gamma}.}

Таким образом, среднее любых степеней $\textstyle \eta$ полностью определяется матрицей дисперсии D.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь явный вид совместной плотности вероятности для величин $\textstyle \eta _{1},...,\eta _{n}$. Запишем сначала плотность вероятности для $\textstyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n) = P(\varepsilon_1)\cdot...\cdot P(\varepsilon_n) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,(\varepsilon^2_1+...+\varepsilon^2_n)}}{(2\pi)^{n/2}}.}

При замене переменных Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha = S_{\alpha\beta}\varepsilon_\beta} в интеграле необходимо изменить элемент объёма интегрирования Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle d^n\varepsilon=d\varepsilon_1...d\varepsilon_n} , умножив его на якобиан:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d^n \eta = \det \left|\frac{\partial \eta_\alpha}{\partial \varepsilon_\beta}\right|\,d^n\varepsilon = (\det'''S''')\, d^n\varepsilon.}

Так как при транспонировании матрицы её определитель не изменяется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \det'''D'''=(\det'''S''')^2} и, следовательно:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,...,\eta_n) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,\eta\cdot '''D'''^{-1}\cdot \eta}}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det'''D'''}},}

где в показателе экспоненты подставлены $\textstyle \epsilon ='''S'''^{-1}\cdot \eta$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \epsilon^2 = S^{-1}_{i\alpha}\eta_\alpha\,S^{-1}_{i\beta}\eta_\beta = \eta_\alpha {S^{-1}}^{T}_{\alpha i}\,S^{-1}_{i\beta}\eta_\beta =\eta\cdot {'''S'''^{-1}}^{T}\cdot'''S'''^{-1}\cdot \eta = \eta \cdot ('''S'''\cdot '''S'''^T)^{-1}\cdot \eta}

и использовано свойство обратных матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle ('''A'''\cdot '''B''')^{-1}= '''B'''^{-1}\cdot '''A'''^{-1}} (см. стр. \pageref{math_mat_tensor}). Как и любая плотность вероятности, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\eta_1,...,\eta_n)} нормирована на единицу, поэтому, учитывая выражение для производящей функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl<e^{'''b'''\cdot \eta}\bigr>} , можно записать значение следующего Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -мерного гауссового интеграла:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{'''b'''\cdot \eta - \frac{1}{2}\eta\cdot '''D'''^{-1}\cdot \eta} \,d^n\eta = (2\pi)^{n/2} \,\sqrt{\det'''D'''}\; e^{\frac{1}{2}\,'''b'''\cdot '''D'''\cdot '''b'''}. }

До сих пор мы работали с перемешанными величинами, имеющими нулевое среднее: Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle \bigl<\eta\bigr>='''S'''\cdot \bigl<\epsilon\bigr>=0} . Можно к ним прибавить некоторый постоянный вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bar{\eta}_\alpha} , который будет иметь смысл средних значений Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta_\alpha = \bar{\eta}_\alpha + S_{\alpha\beta}\varepsilon_\beta.}

Тогда общее Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -мерное гауссово распределение принимает вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,...,\eta_n) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,(\eta-\bar{\eta})\cdot '''D'''^{-1}\cdot (\eta-\bar{\eta})}}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det'''D'''}},}

где в плотность вероятности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)} подставлено $\textstyle \epsilon ='''S'''^{-1}\cdot (\eta -{\bar {\eta }})$.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Рассмотрим в качестве примера случай Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n=2} . Запишем элементы симметричной матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}} при помощи трёх независимых констант Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_2} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho} :

$'''D'''={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \,\sigma _{1}\sigma _{2}\ \rho \,\sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\ \end{pmatrix}}.$

Несложно проверить, что определитель Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''D'''} равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \det'''D''' = \sigma^2_1\sigma^2_2 (1-\rho^2),}

а обратная к Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''D'''} матрица имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle '''D'''^{-1} = \frac{1}{\det '''D'''}\, \begin{pmatrix} \sigma^2_2 & -\rho\,\sigma_1\sigma_2 \ -\rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma^2_1 \ \end{pmatrix}.}

В результате совместная плотность вероятности для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_1,\eta_2} может быть записана следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,\eta_2)=\frac{\exp\{-(x_1^2-2\rho\, x_1 x_2 + x^2_2)/2(1-\rho^2)\}}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}},}

где $\textstyle x_{i}=(\eta _{i}-{\bar {\eta }}_{i})/\sigma _{i}$ — относительные отклонения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_i} от своих средних Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bar{\eta}_i} . Параметры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_i} являются волатильностями: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl<(\eta_1-\bar{\eta}_1)^2\bigr>=D_{11}=\sigma^2_1} , а Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho} — коэффициент корреляции: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\left\langle x_1 x_2 \right\rangle } .

Матрица Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''D'''} является симметричной, тогда как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''S'''} в общем случае — нет. Поэтому Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''D'''} зависит от трёх параметров, а $\textstyle '''S'''$ — от четырёх, и одной и той же матрице дисперсии может соответствовать несколько различных матриц $\textstyle '''S'''$. Так, можно записать:

$'''S'''={\begin{pmatrix}\sigma _{1}\cos \alpha &\sigma _{1}\sin \alpha \ \sigma _{2}\sin \beta &\sigma _{2}\cos \beta \ \end{pmatrix}},$

где $\textstyle \rho =\sin(\alpha +\beta )$. Понятно, что возможны различные комбинации "углов" $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$, дающие один и тот же корреляционный коэффициент $\textstyle \rho$.

Если $\textstyle \alpha =-\beta$, то $\textstyle \rho =0$, и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''D'''='''S''''''S'''^{T}} является диагональной, а при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1=\sigma_2=1} — единичной. Матрицу Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''S'''} , удовлетворяющую уравнению Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle '''S''''''S'''^{T}='''1'''} , называют ортогональной.

Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \alpha=0} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\sin\beta} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1=\sigma_2=1} , то

$'''S'''={\begin{pmatrix}1&0\ \rho &{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\ \end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;'''D'''={\begin{pmatrix}1&\rho \ \rho &1\ \end{pmatrix}}.$

Подобная смесь переводит независимые стандартные случайные величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_1,\varepsilon_2\sim N(0,1)} в скоррелированные, так что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_1,\eta_2\sim N(0,1)}  :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \eta_1 =\;\; \varepsilon_1\ \eta_2 = \rho\,\varepsilon_1+ \sqrt{1-\rho^2}\;\varepsilon_2\ \end{array} \right. \;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\; \bigl<\eta_1\cdot\eta_2\bigr> = \rho,\;\;\;\;\;\;\bigl<\eta^2_1\bigr>=\bigl<\eta^2_2\bigr>=1.}

Это позволяет, например, при компьютерном моделировании генерить скоррелированные величины при помощи нескоррелированных.

---

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения