Поле равномерно двигающегося заряда

Закон Кулона <<	Оглавление	>> Уравнения Максвелла

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим точечный заряд $\textstyle Q$, находящийся в начале системы отсчёта $\textstyle S'$. Сила, с которой он действует на "пробный" заряд $\textstyle q$, равна:

Заметим, что, записывая закон Кулона, мы предполагаем, что сила зависит от расстояния от неподвижного в системе $\textstyle S'$ заряда $\textstyle Q$, но не зависит от скорости $\textstyle \mathbf {u} '$ пробного заряда $\textstyle q$. Найдём, как будет выглядеть это же взаимодействие в "неподвижной" системе отсчёта $\textstyle S$, мимо которой система $\textstyle S'$ двигается с произвольной постоянной скоростью $\textstyle \mathbf {v}$.

Преобразования Лоренца (), стр. \pageref{lorenz_vec0_f}, для радиус-вектора $\textstyle \mathbf {r}$ в момент времени $\textstyle t=0$ (когда начала систем совпадали) имеют вид:

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} +(\gamma -1){\frac {(\mathbf {r} \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} '^{2}=\mathbf {r} ^{2}+{\frac {(\mathbf {r} \mathbf {v} )^{2}}{1-v^{2}}}=\gamma ^{2}r^{2}\cdot \left(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right),$

где $\textstyle \mathbf {n} =\mathbf {r} /r$ — единичный вектор в направлении от заряда $\textstyle Q$ к пробному заряду $\textstyle q$. Квадрат векторного произведения $\textstyle [\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}=\mathbf {n} ^{2}\mathbf {v} ^{2}-(\mathbf {n} \mathbf {v} )^{2}$ можно записать при помощи угла $\textstyle \theta$ между скоростью и радиус-вектором: $\textstyle [\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}=v^{2}\sin ^{2}\theta$.

Сила кулоновского взаимодействия $\textstyle \mathbf {F} '$ в системе $\textstyle S'$, выраженная через величины измеряемые в системе $\textstyle S$, равна:

$\mathbf {F} '={\frac {qQ}{r^{3}}}\cdot {\frac {\mathbf {r} +(\gamma -1)\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} )/v^{2}}{\gamma ^{3}\left\{1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right\}^{3/2}}}.$

Чтобы найти силу, действующую на заряд $\textstyle q$, двигающийся в системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle \mathbf {u}$, необходимо $\textstyle \mathbf {F} '$ подставить в преобразования (стр. \pageref{lorenz_force2}):

$\mathbf {F} \;=\;\gamma \,\mathbf {F} '-(\gamma -1)\,{\frac {(\mathbf {v} \mathbf {F} ')\mathbf {v} }{v^{2}}}\;+\;\gamma \,[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {F} ']].$

После несложных вычислений находим:

$\mathbf {F} ={\frac {qQ}{r^{3}}}\,{\frac {1-v^{2}}{\left(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right)^{3/2}}}\,{\bigl (}\mathbf {r} +[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]]{\bigr )}.$

Обратим внимание, что мы использовали постулат инвариантности зарядов частиц, оставив их неизменными в системе $\textstyle S$. Это очень сильное допущение. Аналогично инвариантности массы, мы считаем, что заряд — это собственная характеристика объекта, не зависящая от его скорости.

$\textstyle \bullet$ Полученное выше выражение для силы зависит от скорости $\textstyle \mathbf {v}$ заряда $\textstyle Q$, создающего силовое поле. Кроме этого оно разбивается на два слагаемых, первое из которых не зависит от скорости пробного заряда $\textstyle \mathbf {u}$, а второе зависит. Напомним, что в системе $\textstyle S'$, связанной с зарядом $\textstyle Q$, сила действия на пробный заряд не зависела от его скорости. Однако, если заряд, создающий поле, двигается, теория относительности приводит к тому, что должна появиться ещё одна компонента силового воздействия, зависящая не только от положения пробного заряда, но и от его скорости. Её удобно выделить в виде отдельного поля, переписав выражение для силы в форме закона Лоренца:

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ],$

где введены электрическое и магнитное поля:

$\mathbf {E} ={\frac {Q}{r^{3}}}\,\mathbf {r} \cdot {\frac {1-v^{2}}{\left(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right)^{3/2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =[\mathbf {v} \times \mathbf {E} ].$

(EQN)

Появление магнитного поля (т.е. силового воздействия, зависящего от скорости пробной частицы) это чисто релятивистский эффект, возникающий благодаря преобразованию силы между двумя системами отсчёта. Как мы увидим чуть позже, уравнения Максвелла — это "лишь" закон Кулона плюс преобразования Лоренца! Магнит, притягивающий металл, является самым первым известным человечеству релятивистским эффектом (конечно, после видимого света).

Напомним также, что в книге принята система единиц, в которой $\textstyle c=1$. Для "восстановления" фундаментальной скорости $\textstyle c$ мы должны величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, умножить на $\textstyle c$ в той же степени. При применении этого правила сила делится на $\textstyle c^{2}$. Чтобы при этом нерелятивистский закон Кулона не изменился, заряд необходимо разделить на $\textstyle c$, поэтому:

$\mathbf {F} \mapsto {\frac {\mathbf {F} }{c^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Q\mapsto {\frac {Q}{c}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {E} \mapsto {\frac {\mathbf {E} }{c}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} \mapsto {\frac {\mathbf {B} }{c}}.$

Учитывая, что для скорости $\textstyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} /c$, сила Лоренца и связь магнитного и электрического полей с восстановленной константой $\textstyle c$ имеют вид:

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\,[\mathbf {v} \times \mathbf {E} ].$

Дальше мы будем по-прежнему использовать систему $\textstyle c=1$, считая, что восстановление $\textstyle c$ в любой формуле не составит для Читателя труда.

$\textstyle \bullet$ Изучим теперь подробнее характер электрического и магнитного полей, создаваемых двигающимся зарядом. На одном и том же расстоянии эти поля достигают минимального значения в точках находящихся на линии движения заряда $\textstyle Q$, когда $\textstyle [\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]=0$ и максимального на плоскости, перпендикулярной к скорости и проходящей через заряд $\textstyle Q$. Например, для электрического поля:

$|\mathbf {E} _{min}|={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\,{\frac {Q}{r^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\mathbf {E} _{max}|=\gamma \,{\frac {Q}{r^{2}}}.$

"Густота" линий напряженности символизирует величину поля, поэтому электрическое поле двигающегося заряда выглядит примерно так, как изображено на левом рисунке:

Образно говоря, силовые линии "сплющиваются", прижимаясь к плоскости перпендикулярной скорости заряда $\textstyle \mathbf {v}$.

На правом рисунке изображены силовые линии магнитного поля. Так как $\textstyle \mathbf {B}$ равно векторному произведению скорости $\textstyle \mathbf {v}$ на электрическое поле $\textstyle \mathbf {E}$, то магнитные силовые линии оказываются замкнутыми (см. правило штопора, стр. \pageref{m_vectors}). В отличие от электрической составляющей силы, для которой линии напряжённости всегда начинаются на заряде, магнитное поле не имеет зарядов. Это чисто кинематический эффект, родственный замедлению времени, аберрации и т.п.

Заметим, что "сплющивание" силы является эффектом второго порядка по скорости, поэтому при малых скоростях заряда $\textstyle \mathbf {v}$ для электрической составляющей силы приближённо справедлив закон Кулона, а магнитная составляющая имеет первый порядок по скорости:

$\mathbf {E} \approx {\frac {Q}{r^{3}}}\,\mathbf {r} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} \approx {\frac {Q[\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]}{r^{3}}}.$

Действие магнитного поля на двигающийся пробный заряд зависит от его скорости $\textstyle \mathbf {u}$ и, благодаря векторному произведению в силе Лоренца, всегда перпендикулярно к скорости и магнитному полю. Магнитная составляющая силы в данной точке пространства всегда меньше электрической, приближаясь к последней только при $\textstyle \mathbf {v}$, $\textstyle \mathbf {u}$ стремящимся к единице (скорости света).

$\textstyle \bullet$ Проинтегрируем электрическое поле по сфере, окружающей заряд:

$\int \limits _{S}\mathbf {E} d\mathbf {S} =Q\int \limits _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1-v^{2}}{\left(1-v^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\sin \theta d\theta =4\pi \,Q.$

(EQN)

Интегрирование проводится по сферическим углам на фиксированном расстоянии $\textstyle r$ от заряда ($\textstyle \lessdot$ H). Таким образом, полный поток электрического поля через сферу не зависит от скорости заряда и определяется только величиной заряда. Несмотря на то, что вектор напряжённости электрического поля не обладает сферической симметрией, значение интеграла такое же, как и в случае неподвижного заряда.

Этот же результат можно получить в дифференциальной форме, вычислив дивергенцию:

$\nabla \mathbf {E} =Q\nabla \left({\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\right)\cdot {\frac {1-v^{2}}{\left(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {Q}{r^{3}}}\,(\mathbf {r} \nabla ){\frac {1-v^{2}}{\left(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right)^{3/2}}}.$

Действие наблы в первом слагаемом равно $\textstyle 4\pi \delta (\mathbf {r} )$. Для вычисления второго слагаемого заметим, что $\textstyle [\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}=\mathbf {v} ^{2}-(\mathbf {n} \mathbf {v} )^{2}$, поэтому ($\textstyle \lessdot$ H):

$\nabla {\frac {1}{\left(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {3(\mathbf {n} \mathbf {v} )\,[\mathbf {n} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {n} ]]}{r\,\left(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ]^{2}\right)^{5/2}}}.$

(EQN)

Так как $\textstyle \mathbf {r} \cdot [\mathbf {n} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {n} ]]=0$, второе слагаемое в $\textstyle \nabla \mathbf {E}$ равно нулю. Поэтому для двигающегося заряда $\textstyle Q$ по-прежнему справедлив закон Гаусса в дифференциальной форме:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi \,Q\,\delta (\mathbf {r} ).$

То, что коэффициент при дельта функции равен $\textstyle 4\pi$, следует из (). Стоит обратить внимание, что это уравнение оказывается более общим, чем закон Кулона в исходной записи. Оно имеет в качестве решения как сферически симметричный вектор $\textstyle \mathbf {E}$ для $\textstyle \mathbf {v} =0$, так и сплюснутый "ёжик" для двигающегося заряда.

Полученные выражения для электрического и магнитного полей позволяют описать поля, создаваемые любой системой равномерно двигающихся зарядов, имеющих произвольные скорости и положения в пространстве. Для этого, используя принцип суперпозиции, необходимо сложить силовые воздействия от каждого заряда системы. В частности, электрическое поле по-прежнему удовлетворяет уравнению

$\nabla \mathbf {E} =4\pi \,\rho (\mathbf {r} ),$

где $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ — плотность зарядов, равномерно двигающихся с различными скоростями.