Найдём решение линейных стохастических уравнений (по — сумма):
Постоянный вектор можно убрать сдвигом . В решении делается обратный сдвиг. Поэтому будем изучать однородное уравнение, которое запишем в матричной форме:
где и — не зависящие от и времени матрицы.
Для определения среднего проще всего сразу воспользоваться соотношением (6.16):
|
(6.20)
|
где — вектор начального значения. Если мы хотим "вернуть" , то потребуются две замены: и .
Монотонная зависимость от в матричной записи решения (6.20) обманчива. Рассмотрим стохастический осциллятор из предыдущего раздела:
|
(6.21)
|
В этом случае матрицу можно разбить на сумму двух матриц:
- Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathbf{A } = \begin{pmatrix} -\lambda & -\omega \\ \omega & -\lambda \\ \end{pmatrix} = \omega \cdot \mathbf{q} -\lambda \cdot \mathbf{1},\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\; \mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\; \mathbf{q}= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.}
Несложно проверить, что:
Так как матрицы и коммутируют друг с другом (), экспонента суммы разбивается на произведение . Раскладывая второй множитель по степеням и учитывая аналогичное разложение для синуса и косинуса, решение можно представить в следующем виде:
|
(6.22)
|
Оно же выше было получено другим методом. Таким образом, "монотонная" зависимость от времени в матричных соотношениях вполне может превратиться в периодическую функцию.
Найдём более практичное, чем (6.20), представление для решения линейного уравнения. Будем его искать в виде:
|
(6.23)
|
Постоянный вектор является собственным вектором матрицы , а параметр ""— её собственным значением. Перенося в левую часть, получаем систему однородных уравнений относительно , которая имеет ненулевое решение, только если её детерминант равен нулю:
Это уравнение называется характеристическим и является полиномом -той степени по . Обычно оно имеет различных решений . Часть из них может оказаться комплексными. Для каждого из них мы решаем уравнение (6.23) и находим собственные вектора . Внимание! Верхний индекс — это номер собственного вектора, а не его компонента.
Теперь общее решение для среднего значения вектора переменных состояния можно записать в следующем виде:
|
(6.24)
|
где — произвольные константы, выражающиеся через начальные условия . Прямой подстановкой в исходное уравнение можно проверить справедливость этого решения. Действительная часть собственных значений будет приводить к экспоненциально уменьшающимся () или увеличивающимся () решениям. Мнимая часть соответствует колебательным режимам.
Если матрица симметрична, то собственные вектора можно выбрать ортогональными: (звёздочка — комплексное сопряжение). В этом случае .
Когда выражены через , можно найти явное представление экспоненты от матрицы. Действительно, из (6.20), взяв производную по компонентам начального условия, имеем . В частности, если собственные вектора ортогональны (), то:
|
(6.25)
|
В качестве упражнения ( H) предлагается найти для матрицы 2x2, у которой . Необходимо это сделать прямым разложением экспоненты при помощи собственных значений.
Выразим теперь решение стохастической линейной системы через гауссовы переменные. Введём новый вектор , удовлетворяющий, по лемме Ито (6.13), следующему уравнению:
Матрица зависит только от времени, поэтому решение этого уравнения легко найти при помощи итерационного метода:
Сумма независимых гауссовых чисел снова пропорциональна гауссовому числу, которое удобно представить в виде суммы независимых величин (второе равенство). Найдём значения . Для этого вычислим среднее от :
Учитывая независимость случайных величин и , а также переходя к непрерывному пределу , получаем ():
или:
|
(6.26)
|
Напомню, что (см. стр. \pageref{math_mat_tensor}). Решение для запишем в матричном виде, учитывая, что при :
Поэтому, так как , окончательное решение системы линейных стохастических уравнений имеет вид:
|
(6.27)
|
где . Вектор представляет собой набор независимых случайных чисел с гауссовым распределением, имеющим нулевое среднее и единичную дисперсию, а — среднее значение (6.20), (6.24). В качестве упражнения ( H) предлагается найти матрицу для двухмерного осциллятора и проверить решение (6.27).
Вычислим матрицу дисперсий:
Учитывая (6.26), имеем:
|
(6.28)
|
Это соотношение можно ( H) сразу получить
из уравнения для средних (6.17), из которых следует матричное уравнение:
|
(6.29)
|
Если существует стационарный режим, то и уравнение (6.29) позволяет легко найти .
Распределение для имеет гауссовый вид, поэтому, зная матрицу дисперсий, можно записать марковскую плотность вероятности:
где — обратная матрица дисперсий и — средние значения динамических переменных. Они полностью определяют свойства процесса. В частности, характеристическая функция ( H):
позволяет легко находить моменты произвольных порядков.
При помощи (6.27), (6.28) несложно ( H) найти ковариационную матрицу:
|
(6.30)
|
Если в пределе у системы существует стационарный режим, то в этом случае матрица дисперсий становится постоянной, а ковариация зависит только от разности времён .
Таким образом, алгоритм решения линейной задачи следующий:
- Находим собственные значения и вектора матрицы .
- Записываем решение для средних (6.24) и выражаем через .
- При помощи соотношения находим .
- Вычисляем матрицу дисперсий .
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения