Прежде чем изучать способы решения стохастических дифференциальных уравнений, имеет смысл остановиться и поразмышлять. Мы выбрали в качестве математической модели шума величину . Она умножается на некоторую функцию и, тем самым, может изменять со временем и значением свою волатильность (величину шума). Однако единственен ли подобный выбор?
Что, если рассмотреть уравнения без корня от временного интервала? Пусть, например:
В этом случае скорость — это случайная величина с гауссовым распределением. Решим уравнение в разностях:
Через итераций получится сумма гауссовых чисел, которая статистически эквивалентна единственному гауссовому числу, умноженному на :
Записывая итерационные решения, мы предполагаем, что в конечном счёте необходимо будет сделать предельный переход , . При этом произведение равно конечному интервалу времени, прошедшему от начального момента . Полученное решение имеет вид , и при стремится к тривиальной константе . Ни какой стохастической динамикой подобное уравнение не обладает.
Рассмотрим другую возможность со случайным шумом, также пропорциональным :
В этом случае решение имеет вид:
где введена случайная величина:
Каковы её статистические свойства? Так как для всех справедливо , то среднее значение . В пределе , мы получаем конечное решение, пропорциональное времени .
Найдём среднее значение квадрата :
|
(2.11)
|
В сумме по и усредняются слагаемых. Из них имеют одинаковые индексы типа , а оставшиеся слагаемых с различными индексами: , и т.д. ( C). Так как случайные числа независимы, то среднее их произведения равно произведению средних: . Кроме этого, для нормированных гауссовых величин мы имеем: , .
В результате дисперсия величины равна и стремится к нулю при . Это означает, что плотность вероятности при становится бесконечно узкой и высокой в окрестности значения . Мы имеем дело с детерминированным числом! Этот результат не зависит от типа распределения и предполагает только существование конечного момента четвёртого порядка . Аналогичная ситуация и для уравнения ( H).
Таким образом, члены вида в дифференциальном уравнении приводят к детерминированной динамике , такой же, как и в отсутствие . Это утверждение часто записывают в символическом виде "неслучайности" квадрата изменения винеровской переменной:
|
(2.12)
|
Подобное соотношение необходимо понимать в смысле детерминированности бесконечной итерационной процедуры. Оно справедливо и в случае, когда , так как локально на малом интервале функцию всегда можно считать примерно постоянной. При этом возможно разбиение сколь угодно малого интервала на большое количество итерационных шагов.
Мы видим, что альтернатив для записи малого шума не так и много. Только сочетание с корнем из сохраняет свою случайность при бесконечном итерационном решении уравнения. Поэтому уравнения Ито являются если и не единственным, то очень естественным методом введения шума в дифференциальные законы изменения величин со временем ( C).
Естественно, шум в реальных системах не обязательно будет аддитивен, как в (2.4). Например, параметр частоты осциллятора вполне может оказаться случайной величиной. Однако в этом случае для него можно рассматривать отдельное динамическое уравнение типа Ито и решать систему стохастических уравнений.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения