Системы стохастических уравнений

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

---

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dx_i = a_i(\mathbf{x},t)\, dt + b_{i\alpha}(\mathbf{x},t)\,\delta W_\alpha, }

(EQN)

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle i=1,...,n} , по повторяющемуся индексу Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \alpha=1,...,m} предполагается суммирование, и в общем случае Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n\neq m} . Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:

$d\mathbf {x} =\mathbf {a} (\mathbf {x} ,t)\,dt+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {W} ,$

(EQN)

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{a}} — векторная функция, а Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}} — матричная, размерности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n\,} xНевозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \,m} . Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta \mathbf{W} = \{\delta W_1,...,\delta W_m \} = \{ \varepsilon_1,..., \varepsilon_m \}\cdot \sqrt{t} = \mathbf{\epsilon}\cdot \sqrt{t}. }

(EQN)

Мы будем считать, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha \varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}} , а эффекты корреляции переносить на матрицу $\textstyle b_{i\alpha }$. Скоррелированные величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon'_\alpha} можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon'= \mathbf{S}\cdot \epsilon} , поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}'\cdot \epsilon' \sqrt{dt}} эквивалентен Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\mathbf{b}'\cdot \mathbf{S})\cdot \epsilon \sqrt{dt}} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta t} . После этого генерится вектор $\textstyle m$ нормально распределённых чисел Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{\epsilon} = \{ \varepsilon_1,..., \varepsilon_m \}} и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_i= x_{0i} + a_i(\mathbf{x}_0, t_0)\,\Delta t + b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\,\varepsilon_\alpha\, \sqrt{\Delta t}. }

(EQN)

Процессы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}(t)=\{x_1(t),...,x_n(t)\}} мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_{0i}} - это значение Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle i} -того процесса в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t_0} , т.е. $\textstyle x_{0i}=x_{i}(t_{0})$.

Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle x_i-x_{0i}\right\rangle /\Delta t= a_i(\mathbf{x}_0, t_0)} , а диффузия:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\left\langle (x_i-x_{0i})\cdot (x_j-x_{0j})\right\rangle }{\Delta t}=b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\, b_{j\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0) = (\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}^{T})_{ij} }

(EQN)

при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta t\to 0} стремится к произведению матриц волатильности, где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b^{T}_{ij}=b_{ji}} - операция транспонирования (перестановки) индексов.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Обобщим лемму Ито на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -мерный случай. Пусть $\textstyle F(\mathbf {x} ,t)$ — дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}_0, t_0} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(\mathbf{x},t) = F(\mathbf{x}_0, t_0) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\Delta x_i +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j} \,\Delta x_i \Delta x_j+... }

(EQN)

По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}_0, t_0} . В соответствии с ():

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x_i = a_i(\mathbf{x}_0, t_0)\Delta t + b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\,\varepsilon_\alpha\,\sqrt{\Delta t}. }

(EQN)

Изменение функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle dF=F(\mathbf{x},t) - F(\mathbf{x}_0, t_0) } подчиняется стохастическому уравнению Ито:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dF = A(\mathbf{x}_0,t_0)\, dt + B_{\alpha}(\mathbf{x}_0,t_0)\,\delta W_\alpha. }

(EQN)

Подставляя () в () и сохраняя члены порядка $\textstyle {\sqrt {\Delta t}}$, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta t} , получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F-F_0 \approx \left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x_i}\,a_i + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\,b_{i\alpha}b_{j\beta}\varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta\right)\,\Delta t +\frac{\partial F}{\partial x_i}\,b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha \sqrt{\Delta t}.}

Снос Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle A(\mathbf{x}_0,t_0)} по определению равен пределу Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle F-F_0\right\rangle /\Delta t} при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta t\to 0} и находится с учётом соотношений Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha \varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}} . Для диффузии, в соответствии с (), имеем:

${\frac {\left\langle (F-F_{0})^{2}\right\rangle }{\Delta t}}\;=\;{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{j}}}\;b_{i\alpha }b_{j\alpha }\;=\;B_{\alpha }B_{\alpha }.$

Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n+1} переменных Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle F(\mathbf{x},t)} , в которую вместо аргументов Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}} подставлены случайные процессы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}(t)} , записывается следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x_i} \,a_i +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\, b_{i\alpha} b_{j\alpha}\right)\, dt + \frac{\partial F}{\partial x_i}\, b_{i\alpha} \,\delta W_\alpha. }

(EQN)

Если функция Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle F} — не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.

Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathrm{Tr}\,\mathbf{A} = A_{\alpha\alpha} = A_{11}+...+A_{nn}} , можно записать лемму Ито в матричном виде:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dF = \left( \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \,\mathbf{a} +\frac{1}{2} \mathrm{Tr}\,\left[ \mathbf{b}^T \cdot \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2} \cdot \mathbf{b} \right] \right)\, dt + \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \mathbf{b} \cdot \delta \mathbf{W}, }

(EQN)

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \partial^2 F/\partial \mathbf{x}^2} — матрица вторых производных.

---

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Получим многомерное уравнение Фоккера-Планка. Для этого необходимо повторить рассуждения из одномерной задачи. Рассмотрим случайный вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{y}=\mathbf{x}(t)} в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t} и предшествующий ему Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}=\mathbf{x}(t-\Delta t)} в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t-\Delta t} . Они связаны диффузным стохастическим процессом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{y}= \mathbf{x} + \mathbf{a} \;\Delta t + \mathbf{b}\cdot \epsilon \;\sqrt{\Delta t},}

где векторная Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{a}=a_i(\mathbf{x}, t-\Delta t)} и матричная Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}=b_{i\alpha}(\mathbf{x}, t-\Delta t)} функции вычислены в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t-\Delta t} . Предположим, что плотность вероятности случайной величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}} равна Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)} . Распределение для гауссовой переменной нам известно. Чтобы найти распределение для величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{y}} , необходимо вычислить среднее от произвольной функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle F(\mathbf{y})} с известными плотностями Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\epsilon)} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle F(\mathbf{y})\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} \overbrace{F(\mathbf{x}+\mathbf{a}\Delta t +\mathbf{b}\cdot \epsilon \sqrt{\Delta t})}^{F(\mathbf{y})}\cdot \overbrace{P(\mathbf{x}, t-\Delta t) P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_m)}^{P(\mathbf{x},\varepsilon)} \,d^nx d^m\varepsilon.}

Разложим первый множитель в ряд по малой величине Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{a}\,\Delta t + \mathbf{b}\,\varepsilon \sqrt{\Delta t}} : \begin{eqnarray*} F(y)&=&F(x) + \frac{\partial F}{\partial x_i}\cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t})\\ &+&\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} \cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t}) \cdot (a_j\Delta t+b_{j\beta}\varepsilon_\beta\sqrt{\Delta t}), \end{eqnarray*} где по повторяющимся индексам, как и раньше, подразумевается суммирование. По $\textstyle \Delta t$ раскладываем также Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)} .

При интегрировании по всем Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_i} происходит усреднение, которое даёт Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha\right\rangle =0} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}} . В результате, повторяя рассуждения на стр. \pageref{stat_fokker_plank_2}, получаем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle { \;\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[b_{i\alpha} b_{j\alpha} P\Bigr] = 0\; }. }

(EQN)

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a_i=a_i(\mathbf{x},t)} , $\textstyle b_{i\alpha }=b_{i\alpha }(\mathbf {x} ,t)$, а Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P=P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t)} - условная плотность вероятности. Если в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t_0} значение Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}_0} известно точно, то для решения этого уравнения используется начальное условие в виде Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} - мерной дельта - функции Дирака, равной произведению одномерных функций по каждой координате: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t_0)=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Аналогично выводится уравнение для производной от среднего:

${\frac {d\left\langle F{\bigl (}\mathbf {x} (t),t{\bigr )}\right\rangle }{dt}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}{\bigl [}F(\mathbf {x} ,t)\cdot P(\mathbf {x} _{0},t_{0}\Rightarrow \mathbf {x} ,t){\bigr ]}d^{n}x.$

Раскрывая производную произведения и подставляя Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \partial P/\partial t} из уравнения Фоккера - Планка, получаем динамические уравнения для средних:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle { \;\frac{d\left\langle F\bigl(\mathbf{x}(t),t\bigr)\right\rangle }{dt} = \left\langle \frac{\partial F}{\partial t} \;+\; a_i\,\frac{\partial F}{\partial x_i} \;+\; \frac{1}{2}\, b_{i\alpha} b_{j\alpha} \, \frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} \right\rangle \; }. }

(EQN)

Как и лемму Ито, это соотношение можно записать в матричной форме при помощи символа следа Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Tr} . Усреднение производится при условии, что в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t} вектор случайного процесса был равен Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_0)} .

Уравнение для среднего справедливо и для векторных или тензорных функций, так как выводится независимо для каждой из компонент. Выбирая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle F = x_\nu} и учитывая, что $\textstyle \partial x_{\nu }/\partial x_{i}=\delta _{\nu i}$, получаем временную динамику среднего в компонентной и матричной форме:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\left\langle x_\nu\right\rangle } = \left\langle a_\nu(\mathbf{x}, t) \right\rangle ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dot{\left\langle \mathbf{x}\right\rangle } = \left\langle \mathbf{a}(\mathbf{x}, t) \right\rangle . }

(EQN)

Только для линейных по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bf x} сносов динамика среднего значения будет совпадать с решением детерминированного уравнения. Функциональная зависимость волатильности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}(\mathbf{x}, t)} при этом роли не играет. Если снос нелинеен по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{x}} , то функция $\textstyle \left\langle \mathbf {x} \right\rangle ={\overline {\mathbf {x} }}(t)$ будет отличаться от детерминированного решения с $\textstyle \mathbf {b} =0$.

Производные от произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_\mu x_\nu} выражаются через символ Кронекера следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial (x_\mu x_\nu)}{\partial x_i} = x_\mu\delta_{\nu i}+x_\nu\delta_{\mu i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 (x_\mu x_\nu)}{\partial x_i\partial x_j} = \delta_{\mu j}\delta_{\nu i}+\delta_{\nu j}\delta_{\mu i}.}

Поэтому, выбирая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle F} в тензорном виде Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle F=x_\mu x_\nu} , можно записать уравнение для среднего от произведения случайных процессов:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\left\langle x_\mu x_\nu\right\rangle } = \left\langle x_\mu a_\nu + x_\nu a_\mu + b_{\nu\alpha} b_{\mu \alpha}\right\rangle . }

(EQN)

В частности, для свёртки (суммирования) по индексам Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mu} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \nu} имеем матричное выражение для изменения квадрата Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle }=2\left\langle \mathbf{x} \cdot\mathbf{a} \right\rangle + \mathrm{Tr}\,left\langle \mathbf{b} \cdot\mathbf{b}^{T} \right\rangle } .

---

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения