При изучении систем стохастических уравнений мы будем активно использовать матричные и тензорные обозначения. Для сокращения операции умножения матриц используется два типа соглашений:
По повторяющемуся индексу всегда подразумевается суммирование, и знак суммы опускается. Выше таковым является индекс "" во втором равенстве. Повторяющиеся индексы, по которым проводится суммирование, называют "немыми". В процессе вычислений их можно переобозначить в любую букву, которая ещё не используется в выражении. Третье равенство в уравнении () — это матричная форма той же суммы, в которой матрица и вектор перемножаются вообще без упоминания индексов и знака суммирования.
Рассмотрим независимых гауссовых случайных величин, имеющих нулевое среднее и единичную дисперсию. Среднее значение их произведения
равно единице для совпадающих индексов и нулю — для различных. Подобная матрица будет обозначаться символом Кронекера:
Вычислим, например, ковариационную матрицу случайных величин :
При суммировании с символом Кронекера в сумме остаются только слагаемые с . Поэтому одна из сумм (по ) и символ Кронекера исчезают, и остаётся только суммационный индекс . Затем вводится новая матрица с переставленными индексами. Подобная операция называется транспонированием. В табличном представлении она соответствует перестановке местами строк и столбцов матрицы.
Матрица может имеет обратную , если выполняется уравнение:
где — единичная матрица (символ Кронекера). Так, для определённого выше вектора можно записать:
где мы умножили левую и правую части на .
Пусть — стандартные независимые гауссовые случайные величины , а величины получены из них () при помощи перемешивающих коэффициентов . Среднее значение произведения определяется матрицей дисперсий ():
которая является симметричной: .
Найдём производящую функцию для случайных величин . Для этого введём вектор и вычислим среднее экспоненты от скалярного произведения (по нет суммы!):
Мы воспользовались независимостью величин , разбив среднее произведения на произведение средних, и формулой. В показателе экспоненты стоит матричное выражение вида:
Поэтому окончательно производящая функция равна:
Взяв частные производные по , несложно найти среднее от любого произведения . Проверим, что среднее равно . Возьмём производную производящей функции по . Учитывая, что равно , имеем:
где во втором равенстве мы воспользовались тем, что . Аналогично берётся вторая производная:
Полагая и учитывая, что
приходим к соотношению . В качестве упражнения предлагается проверить следующее тензорное выражение:
Таким образом, среднее любых степеней полностью определяется матрицей дисперсии .
Найдём теперь явный вид совместной плотности вероятности для величин . Запишем сначала плотность вероятности для :
При замене переменных в интеграле необходимо изменить элемент объёма интегрирования , умножив его на якобиан:
Так как при транспонировании матрицы её определитель не изменяется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то и, следовательно:
где в показателе экспоненты подставлены :
и использовано свойство обратных матриц . Как и любая плотность вероятности, нормирована на единицу, поэтому, учитывая выражение для производящей функции , можно записать значение следующего -мерного гауссового интеграла:
До сих пор мы работали с перемешанными величинами, имеющими нулевое среднее: . Можно к ним прибавить некоторый постоянный вектор , который будет иметь смысл средних значений :
Тогда общее -мерное гауссово распределение принимает вид:
где в плотность вероятности подставлено .
Рассмотрим в качестве примера случай . Запишем элементы симметричной матрицы при помощи трёх независимых констант , и :
Несложно проверить, что определитель равен
а обратная к матрица имеет вид:
В результате совместная плотность вероятности для может быть записана следующим образом:
где — относительные отклонения от своих средних . Параметры являются волатильностями: , а — коэффициент корреляции: .
Матрица является симметричной, тогда как в общем случае — нет. Поэтому зависит от трёх параметров, а — от четырёх, и одной и той же матрице дисперсии может соответствовать несколько различных матриц . Так, можно записать:
где . Понятно, что возможны различные комбинации "углов" и , дающие один и тот же корреляционный коэффициент .
Если , то , и является диагональной, а при — единичной. Матрицу , удовлетворяющую уравнению , называют ортогональной.
Если , , , то
Подобная смесь переводит независимые стандартные случайные величины в скоррелированные, так что :
Это позволяет, например, при компьютерном моделировании генерить скоррелированные величины при помощи нескоррелированных.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения