Многомерное распределение Гаусса

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

$\textstyle \bullet$ При изучении систем стохастических уравнений мы будем активно использовать матричные и тензорные обозначения. Для сокращения операции умножения матриц используется два типа соглашений:

$\eta _{\alpha }=\sum _{i=1}^{n}S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}\;=\;S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {\epsilon } )_{\alpha }.$

По повторяющемуся индексу всегда подразумевается суммирование, и знак суммы опускается. Выше таковым является индекс "$i$" во втором равенстве. Повторяющиеся индексы, по которым проводится суммирование, называют "немыми". В процессе вычислений их можно переобозначить в любую букву, которая ещё не используется в выражении. Третье равенство в уравнении () — это матричная форма той же суммы, в которой матрица $\mathbf {S} =S_{\alpha \beta }$ и вектор $\textstyle \epsilon =\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\}$ перемножаются вообще без упоминания индексов и знака суммирования.

Рассмотрим $n$ независимых гауссовых случайных величин, имеющих нулевое среднее и единичную дисперсию. Среднее значение их произведения $\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle$ равно единице для совпадающих индексов и нулю — для различных. Подобная матрица будет обозначаться символом Кронекера:

$\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle =\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&i=j\\0&i\neq j.\end{array}}\right.$

Вычислим, например, ковариационную матрицу случайных величин $\textstyle \eta _{\alpha }$:

${\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }{\bigr \rangle }=S_{\alpha i}S_{\beta j}{\bigl \langle }\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}{\bigr \rangle }=S_{\alpha i}S_{\beta j}\delta _{ij}=S_{\alpha i}S_{\beta i}=S_{\alpha i}S_{i\beta }^{T}=(\mathbf {S} \mathbf {S} ^{T})_{\alpha \beta }.$

При суммировании с символом Кронекера $\textstyle \delta _{ij}$ в сумме остаются только слагаемые с $\textstyle i=j$. Поэтому одна из сумм (по $\textstyle j$) и символ Кронекера исчезают, и остаётся только суммационный индекс $\textstyle i$. Затем вводится новая матрица $\textstyle S_{i\beta }^{T}=S_{\beta i}$ с переставленными индексами. Подобная операция называется транспонированием. В табличном представлении она соответствует перестановке местами строк и столбцов матрицы.

Матрица $\textstyle \mathbf {S}$ может имеет обратную $\textstyle \mathbf {S} ^{-1}$, если выполняется уравнение:

$\mathbf {S} \cdot \mathbf {S} ^{-1}=\mathbf {S} ^{-1}\cdot \mathbf {S} =\mathbf {1} ,$

где $\textstyle \mathbf {1} =\delta _{ij}$ — единичная матрица (символ Кронекера). Так, для определённого выше вектора $\textstyle \eta =(\eta _{1},...,\eta _{n})$ можно записать:

$\eta =\mathbf {S} \cdot \epsilon \;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\epsilon =\mathbf {S} ^{-1}\cdot \eta ,$

где мы умножили левую и правую части на $\textstyle \mathbf {S} ^{-1}$.

$\textstyle \bullet$ Пусть $\textstyle \epsilon =(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})$ — стандартные независимые гауссовые случайные величины $\textstyle \varepsilon _{i}\sim N(0,1)$, а величины $\textstyle \eta =(\eta _{1},...,\eta _{n})$ получены из них () при помощи перемешивающих коэффициентов $\textstyle S_{\alpha \beta }$. Среднее значение произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha\eta_\beta} определяется матрицей дисперсий ():

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D_{\alpha\beta}=\bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{D} = \mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^{T},}

которая является симметричной: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}=D_{\beta\alpha}} .

Найдём производящую функцию для случайных величин Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta} . Для этого введём вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}=(b_1,...,b_n)} и вычислим среднее экспоненты от скалярного произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}\cdot \eta=b_1\eta_1+...+b_n\eta_n} (по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} нет суммы!):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle = \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \mathbf{S}\cdot \varepsilon}\right\rangle = \left\langle e^{ b_{i} S_{i1} \varepsilon_1}\right\rangle \cdot ...\cdot\left\langle e^{b_{i} S_{in} \varepsilon_n}\right\rangle = e^{\frac{1}{2}\{(b_{i} S_{i1})^2+...+(b_{i} S_{in})^2\}}.}

Мы воспользовались независимостью величин Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_i} , разбив среднее произведения на произведение средних, и формулой. В показателе экспоненты стоит матричное выражение вида:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (b_{i} S_{i1})^2+...+(b_{i} S_{in})^2 = b_{i} S_{ik}\, b_{j} S_{jk} = b_i \,S_{ik}\, S^T_{kj}\,b_j = \mathbf{b}\cdot \mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^T\cdot \mathbf{b}.}

Поэтому окончательно производящая функция равна:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi(\mathbf{b})=\left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle = e^{\frac{1}{2}\,\mathbf{b}\cdot \mathbf{D}\cdot \mathbf{b}}.}

Взяв частные производные по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_\alpha} , несложно найти среднее от любого произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha} . Проверим, что среднее Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle} равно Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}} . Возьмём производную производящей функции по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_\alpha} . Учитывая, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}\cdot \mathbf{D}\cdot \mathbf{b}} равно Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_i D_{ij} b_j} , имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \phi(\mathbf{b}) }{\partial b_\alpha} = \frac{1}{2}\, (D_{\alpha j} b_j + b_i D_{i\alpha} ) \, \phi(\mathbf{b}) = D_{\alpha i} b_i \, \phi(\mathbf{b}),}

где во втором равенстве мы воспользовались тем, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}=D_{\beta\alpha}} . Аналогично берётся вторая производная:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 \phi(\mathbf{b}) }{\partial b_\alpha \partial b_\beta} = D_{\alpha \beta} \, \phi(\mathbf{b}) + D_{\alpha i} b_i \, D_{\beta j} b_j \,\phi(\mathbf{b}).}

Полагая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}=0} и учитывая, что

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle }{\partial b_\alpha \partial b_\beta }\Big|_{\mathbf{b}=0} = \bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle,}

приходим к соотношению $\textstyle D_{\alpha \beta }={\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }{\bigr \rangle }$. В качестве упражнения предлагается проверить следующее тензорное выражение:

${\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }\eta _{\gamma }\eta _{k}{\bigr \rangle }=D_{\alpha \beta }D_{\gamma k}+D_{\alpha \gamma }D_{\beta k}+D_{\alpha k}D_{\beta \gamma }.$

Таким образом, среднее любых степеней $\textstyle \eta$ полностью определяется матрицей дисперсии $\mathbf {D}$.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь явный вид совместной плотности вероятности для величин $\textstyle \eta _{1},...,\eta _{n}$. Запишем сначала плотность вероятности для $\textstyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}$:

$P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})=P(\varepsilon _{1})\cdot ...\cdot P(\varepsilon _{n})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\,(\varepsilon _{1}^{2}+...+\varepsilon _{n}^{2})}}{(2\pi )^{n/2}}}.$

При замене переменных Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha = S_{\alpha\beta}\varepsilon_\beta} в интеграле необходимо изменить элемент объёма интегрирования Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle d^n\varepsilon=d\varepsilon_1...d\varepsilon_n} , умножив его на якобиан:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d^n \eta = \det \left|\frac{\partial \eta_\alpha}{\partial \varepsilon_\beta}\right|\,d^n\varepsilon = (\det\mathbf{S})\, d^n\varepsilon.}

Так как при транспонировании матрицы её определитель не изменяется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \det\mathbf{D}=(\det\mathbf{S})^2} и, следовательно:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,...,\eta_n) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot \eta}}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det\mathbf{D}}},}

где в показателе экспоненты подставлены Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon=\mathbf{S}^{-1}\cdot \eta} :

$\epsilon ^{2}=S_{i\alpha }^{-1}\eta _{\alpha }\,S_{i\beta }^{-1}\eta _{\beta }=\eta _{\alpha }{S^{-1}}_{\alpha i}^{T}\,S_{i\beta }^{-1}\eta _{\beta }=\eta \cdot {\mathbf {S} ^{-1}}^{T}\cdot \mathbf {S} ^{-1}\cdot \eta =\eta \cdot (\mathbf {S} \cdot \mathbf {S} ^{T})^{-1}\cdot \eta$

и использовано свойство обратных матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\mathbf{A}\cdot \mathbf{b})^{-1}= \mathbf{b}^{-1}\cdot \mathbf{A}^{-1}} . Как и любая плотность вероятности, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\eta_1,...,\eta_n)} нормирована на единицу, поэтому, учитывая выражение для производящей функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\bigr\rangle } , можно записать значение следующего Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -мерного гауссового интеграла:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\mathbf{b}\cdot \eta - \frac{1}{2}\eta\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot \eta} \,d^n\eta = (2\pi)^{n/2} \,\sqrt{\det\mathbf{D}}\; e^{\frac{1}{2}\,\mathbf{b}\cdot \mathbf{D}\cdot \mathbf{b}}. }

До сих пор мы работали с перемешанными величинами, имеющими нулевое среднее: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle\eta\bigr\rangle=\mathbf{S}\cdot \bigl\langle\epsilon\bigr\rangle=0} . Можно к ним прибавить некоторый постоянный вектор $\textstyle {\bar {\eta }}_{\alpha }$, который будет иметь смысл средних значений Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta_\alpha = \bar{\eta}_\alpha + S_{\alpha\beta}\varepsilon_\beta.}

Тогда общее Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -мерное гауссово распределение принимает вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,...,\eta_n) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,(\eta-\bar{\eta})\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot (\eta-\bar{\eta})}}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det\mathbf{D}}},}

где в плотность вероятности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)} подставлено Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon=\mathbf{S}^{-1}\cdot (\eta-\bar{\eta})} .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим в качестве примера случай Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n=2} . Запишем элементы симметричной матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}} при помощи трёх независимых констант Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_2} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{D} = \begin{pmatrix} \sigma^2_1 & \rho\,\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma^2_2 \\ \end{pmatrix}. }

Несложно проверить, что определитель $\textstyle \mathbf {D}$ равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \det\mathbf{D} = \sigma^2_1\sigma^2_2 (1-\rho^2),}

а обратная к Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} матрица имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{D}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{D}}\, \begin{pmatrix} \sigma^2_2 & -\rho\,\sigma_1\sigma_2 \\ -\rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma^2_1 \\ \end{pmatrix}. }

В результате совместная плотность вероятности для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_1,\eta_2} может быть записана следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\eta_1,\eta_2)=\frac{\exp\{-(x_1^2-2\rho\, x_1 x_2 + x^2_2)/2(1-\rho^2)\}}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}},}

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_i=(\eta_i-\bar{\eta}_i)/\sigma_i} — относительные отклонения $\textstyle \eta _{i}$ от своих средних Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bar{\eta}_i} . Параметры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_i} являются волатильностями: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle(\eta_1-\bar{\eta}_1)^2\bigr\rangle=D_{11}=\sigma^2_1} , а Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho} — коэффициент корреляции: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\left\langle x_1 x_2 \right\rangle } .

Матрица Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} является симметричной, тогда как $\textstyle \mathbf {S}$ в общем случае — нет. Поэтому Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} зависит от трёх параметров, а Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}} — от четырёх, и одной и той же матрице дисперсии может соответствовать несколько различных матриц Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}} . Так, можно записать:

$\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}\cos \alpha &\sigma _{1}\sin \alpha \\\sigma _{2}\sin \beta &\sigma _{2}\cos \beta \\\end{pmatrix}},$

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\sin(\alpha+\beta)} . Понятно, что возможны различные комбинации "углов" Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \alpha} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \beta} , дающие один и тот же корреляционный коэффициент Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho} .

Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \alpha=-\beta} , то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=0} , и $\textstyle \mathbf {D} =\mathbf {S} \mathbf {S} ^{T}$ является диагональной, а при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1=\sigma_2=1} — единичной. Матрицу Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}} , удовлетворяющую уравнению Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}\mathbf{S}^{T}=\mathbf{1}} , называют ортогональной.

Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \alpha=0} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\sin\beta} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1=\sigma_2=1} , то

$\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&0\\\rho &{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\\\end{pmatrix}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {D} ={\begin{pmatrix}1&\rho \\\rho &1\\\end{pmatrix}}.$

Подобная смесь переводит независимые стандартные случайные величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_1,\varepsilon_2\sim N(0,1)} в скоррелированные, так что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_1,\eta_2\sim N(0,1)}  :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \eta_1 =\;\; \varepsilon_1\\ \eta_2 = \rho\,\varepsilon_1+ \sqrt{1-\rho^2}\;\varepsilon_2\\ \end{array} \right. \;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\; \bigl\langle\eta_1\cdot\eta_2\bigr\rangle = \rho,\;\;\;\;\;\;\bigl\langle\eta^2_1 \bigr\rangle=\bigl\langle\eta^2_2\bigr\rangle=1. }

Это позволяет, например, при компьютерном моделировании генерить скоррелированные величины при помощи нескоррелированных.

---

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения